книги / Механика и прикладная математика логика и особенности приложений математики

за идеальную жидкость. Такие смелые переходы могут служить об­ разцами преодоления психологических барьеров.)

2. Ошибки в выборе модели. Эти ошибки могут происходить от разнообразных причин. Самой вульгарной причиной служит не­ понимание ситуации, приводящее к выбору неадекватных гипотез.

Вкачестве примера напомним рассказанную Эддингтоном историю

орыбаке, который ловил рыбу только одной сетью. Разглядывая

свои уловы, он решил, что наименьшие среди пойманных рыб — это самые маленькие рыбы в море; он допустил ошибку, не учитывая важную особенность ситуации — определенный размер ячеек сети *).

Знаменитый в истории науки пример неправильной математиче­ ской модели, основанной на полном непонимании ситуации, содер­ жится в первой работе Кеплера, посвященной выяснению вопроса: почему имеется ровно шесть планет? Он отверг «объяснение» Ретикуса, который усмотрел причину в том, что 6 является первым совершенным числом 52, и выдвинул другое «объяснение», основан­ ное на рассмотрении пяти правильных многогранников, которое, по мнению Кеплера, определяет не только число планет, но и их рас­ стояния от Солнца. Так, если вокруг сферы с центром в Солнце, проходящей через Землю, описать додекаэдр, то его вершины будут лежать на сфере, проходящей через Марс; если вокруг последней сферы описать тетраэдр, то его вершины будут лежать на сфере, проходящей через Юпитер, и т. д. (наличие хорошего числового согласия только для трех расстояний из пяти Кеплера почему-то не смутило).

С современной точки зрения подобная модель представляется совершенно нелепой, как, впрочем, и сама постановка вопроса. Однако для науки того времени, в которой непререкаемый авторитет геометрии Евклида был окружен мистическим ореолом, связь между такими «совершенными» объектами, как Солнце и планеты, с одной стороны, и сферой и правильными многогранниками — с другой, могла казаться вполне возможной, не менее естественной, чем изве­ стная уже пифагорейцам связь между музыкальными интервалами и арифметическими отношениями. Д. Пойа говорит по этому поводу [262, с. 215]: «Может возникнуть искушение отнестись к предполо­ жению Кеплера, как и странному заблуждению. Однако нам следо­ вало бы учитывать возможность, что некоторые теории, которые мы с почтением обсуждаем сегодня, могут рассматриваться как стран­ ное заблуждение, если и не будут совершенно забыты в недалеком будущем. Я думаю, что предположение Кеплера чрезвычайно по-

*) Эта история поучительна во многих отнош ениях, в частности в вычис­ лительном. Приведя ее, Р . Хемминг [332, с. 397] замечает: «Так же и при

перепутать эффекты использованной при вычислениях модели с эффектами модели, принятой заказчиком при формулировании задачи». Например, при построении течения жидкости с помощью метода сеток легко спутать не- у стойчивость вычислительного метода (п. 5.15) с неустойчивостью течения.

272 ГЛ. 3. СУБЪЕКТИВНЫЕ ПРОБЛЕМЫ

учительно. Оно с особой ясностью показывает обстоятельство, кото­ рое стоит иметь в виду: доверие, с которым мы относимся к предпо­

времени».

Таким образом, даже такой великий ученый, как Кеплер, ока­ зался на ложном пути под влиянием в значительной степени схола­ стической системы взглядов своего времени. В описанной модели нет даже намека на подлинное объяснение, а в действительности связь между называемой причиной и следствием отсутствует. Кон­ цепции, в основу которых полагаются такие «связи», в настоящее время квалифицируются как антинаучные (вспомним предсказания судеб по линиям рук в хиромантии, составление гороскопов, пе­ чально известную «модель» наследственности и т. п.); см. [80, 149].

Иногда принятые в модели причинно-следственные связи в прин­ ципе не абсурдны, но не являются определяющими в исследуемом явлении. Один из авторов этой книги, приходя на работу, обычно замечал, что пол его комнаты влажный, так как уборщица его протирала мокрой тряпкой перед началом работы. Как-то, вклю­ чив сразу же вентилятор, автор обратил внимание на то, что вскоре та половина пола комнаты, где стоял вентилятор, совершенно просохла, тогда как другая половина пола еще оставалась сырой. Автор решил, что это явление связано с воздушным потоком, созда­ ваемым вентилятором, и попробовал произвести прикидки, но по прикидкам необходимая мощность вентилятора оказалась непомерно большой. Вопрос разъяснился, когда то же явление было обнару­ жено и при неработающем вентиляторе: попросту,, выяснилось, что смочив тряпку один раз, уборщица протирала ею весь пол в опре­ деленном порядке и потому начальная смоченность пола оказыва­ лась неравномерной *). Таким образом, в этом примере модель была основана на первой попавшейся на глаза причинно-следственной связи, бесконтрольно принятой за основную, что и привело к грубой неадекватности модели явлению.

Если даже столь грубые ошибки не совершаются, модель может оказаться неадекватной из-за того, что при ее построении применена схема (круг представлений, понятия и их связи), разработанная и адекватная для иной области явлений, к которой изучаемое явле­ ние не относится; гипотезы, на которые опирается модель, могут в изучаемой ситуации быть необоснованными или даже несправед­ ливыми. Это может произойти из-за различных причин.

*) Еще пример неадекватной модели. Рассказывают, что после одного из сильных землетрясений из развалин был откопан находивш ийся в туалете соверш енно невредимый человек, который выглядел не только испуганным, но и очень виноватым. Он просил прощения у спасителей, признаваясь, что слишком сильно дернул ручку промывного устройства, не предвидя столь катастрофических последствий.

Так, исследователь может понимать, что он применяет модель или схему построения модели за пределами области О, где эта мо­ дель или схема обоснованы, однако все же делает это, не видя луч­ шего выхода и надеясь, что ошибка будет невелика или что ее удаст­ ся в процессе исследования как-то компенсировать. Это случай, когда исследователь сознательно идет на риск, и известно много примеров, в которых этот риск оправдывался (впрочем, есть и противополож­ ные примеры). Более опасны случаи, когда исследователь не соз­ нает, что он вышел за пределы области О; чем основательнее апро­ бирована модель в О, тем увереннее он пользуется ею в исследуемом случае. Лишь дополнительная информация,— например, явная ошибочность какого-либо из выводов, которые получаются с помо­ щью этой модели,— может привести исследователя к необходимости изменить модель. Ситуация становится наиболее опасной, если ис­ следователь приписывает модели абсолютный, универсальный ха­ рактер; расхождение следствий, полученных путем изучения моде­ ли, с реальной картиной он готов объяснить любыми причинами, но только не неприменимостью модели *).

Описанные три типа ситуаций можно сравнить с вариантами поведения людей, которым надо перейти через канаву по ненадеж­ ной, уже треснувшей доске. Один человек видит трещину, но наде­ ется, что она не помешает переходу, и рассчитывает, что если поло­ жение станет опасным, то он успеет предпринять спасительные дей­ ствия. Другой не видит трещины, но в общем готов правильно оценить ситуацию при появлении дополнительных сигналов (треск доски или предупреждение со стороны). Наконец, догматик упрямо вообще отрицает наличие трещины, даже если ему на нее указывают, а треска разрушающейся под его весом доски он не хочет слы­ шать...

Если исследователь отчетливо сознает слабость отдельных звеньев, принятых им при построении модели, а модель в дальней­ шем оказывается в изучаемой ситуации неприемлемой, то HCCJV ю- вание все же было небесполезным, так как оно сможет помочь у:^ч- нению области применимости модели и, во всяком случае, будет способствовать воспитанию правильной интуиции. Вообще, «абсо-

*) В статье (2711 И. М. Рабинович в связи с историей расчета статически неопределимых систем делает общее замечание (с. 206): «...предвзяты е идеи вредны; к ним нужно относиться с чрезвычайной осторожностью; в некоторых

необходимыми орудиями человеческой мысли, выполняющими двоякую задачу — пополнения и систематизации знаний. Однако они становятся опас­ ными, когда перерастают в абсолютные утверждения или догмы, и вредными, когда они прививают исследователю иммунитет, освобождающий его от не­

только к тому, что научный работник, выбрав раз неверное направление, бу ­

дет упорно шагать, даж е когда упрется в стену» (это-ещ е не худш ий вари­ ант.— Лет.).

274 ГЛ. 3. СУБЪЕКТИВНЫЕ ПРОБЛЕМЫ

лютно достоверные работы, являющиеся неизбежным следствием полученных ранее результатов, обычно не дают существенного толч­ ка науке» [212, II, с. 102].

Приведем несколько примеров. Первый из них относится к так называемой проблеме Айзермана. Математическая модель системы автоматического регулирования (САР) может иметь вид автономной системы дифференциальных уравнений относительно неизвестных функций xx(t), *2(0» •••» включающей единственную нелиней­ ность, например слагаемое вида ф(хп), а в остальном линейной. Допустим, что эта нелинейная характеристика удовлетворяет оценке

а ^ хп ^ р (для всех хп).

Тогда для проверки устойчивости по Ляпунову нулевого реше­ ния системы может представиться правдоподобным следующий при­ ем. Заменим в уравнениях ф (х„) на yxUJ где у — произвольная по­ стоянная, заключенная между а и р. Если для любой такой у сис­ тема окажется устойчивой (а это легко проверить по расположению корней характеристического уравнения), то и исходная нелинейная система устойчива. Правильно ли это заключение? — в этом и со­ стоит проблема М. А. Айзермана.

По существу здесь возникает вопрос скорее не об адекватности модели, а о правильности рабочей гипотезы (состоящей в законно­ сти применения указанного метода проверки устойчивости). Но так как модель вместе с рабочей гипотезой можно рассматривать как новую модель исходной САР, то здесь нет принципиальной раз­ ницы.

Как показала серия исследований, выполненных различными авторами, в общем случае указанная гипотеза н е в е р н а ; однако был выделен и ряд важных классов систем, для которых она верна, а также была найдена правильная (и притом эффективная!) про­ цедура проверки устойчивости системы. Так, анализ гипотезы, ока­ завшейся в общем случае несправедливой, способствовал воспита­ нию правильной интуиции в данной области.

Сходный характер имеет проблема замораживания, которая

впростейшем случае состоит в следующем. Пусть дана линейная

не а в т о н о м н а я система, т. е. на математическом языке — линейная система дифференциальных уравнений с коэффициентами зависящими от времени /. Пусть для любого фиксированного значения t= t0 соответствующая система с постоянными заморожен­ ными значениями коэффициентов ац(и) оказывается устойчивой. Тогда может представиться правдоподобным, что и исходная систе­ ма устойчива. Однако в общем случае это не так, что показывает, например, явление параметрического резонанса (см. 41). Впрочем, специальное исследование обнаружило, что имеются важные случаи (например, случай достаточно медленного изменения коэффициен­

тов a.ij(t)), когда распознавание устойчивости по методу заморажи­ вания возможно.

Приведем еще один, совсем простой пример. Пусть рассматри­ ваются вынужденные колебания осциллятора с диссипацией энер­

Пусть теперь рассматривается система с о т р и ц а т е л ь н ы м трением, т. е. при k< 0. Если пользоваться только последней фор­ мулой, то может показаться, что никакого принципиального изме­ нения решения не произойдет, т. е. получатся те же вынужденные гармонические колебания. Однако на самом деле это далеко не так. Дело в том, что последняя формула описывает при fc>0 вынужден­ ные колебания, поскольку свободные колебания, определяемые начальными условиями, при k> 0 затухают. Но при k< 0 эти сво­ бодные колебания разрастаются, система становится неустойчивой! Следовательно, после сложения разрастающегося решения с огра­ ниченным решением (78) получается решение, уходящее в беско­ нечность.

Поучительная история связана с внедрением в практику формул для устойчивости стержневых систем. Первые формулы для крити­ ческой нагрузки при сжатии упругих стержней получил еще Эйлер

в1744 г., однако они долгое время представляли лишь академи­ ческий интерес. Практический интерес к вопросам устойчивости стержневых систем пробудился примерно в 40-х годах XIX столетия

всвязи с массовым строительством больших железнодорожных мостов. При этом была проведена серия экспериментов (опыты Ходкинсона), которые дали значения критической нагрузки в несколько

за пределами пропорциональности, при пластических деформациях, вовсе не учитываемых в выводе формулы Эйлера. Другими словами, эти эксперименты относились к ситуации, в принципе не описывае­ мой моделью Эйлера. Таким образом, для определенных условий модель Эйлера была «реабилитирована» и в дальнейшем нашла прак­ тическое применение. Однако и эти злоключения принесли опреде­ ленную пользу, так как они способствовали уточнению области применимости модели.

О том же источнике ошибок говорит И. М. Рабинович (271, с. 2061, когда он указывает «на опасность доверия к интуиции, ос­ нованной на опыте, когда ее хотят распространить на явления, по своему характеру недостаточно близкие к объектам этого опыта. Примером может служить незаконная попытка провести аналогию между расчетами балки на равномерно распределенную статическую

нагрузку и на равномерно распределенную импульсивную на­ грузку».

Подобное неадекватное «продолжение» математических моделей и их элементов — понятий и соотношений между ними, а также методов изучения этих моделей встречается во всех областях при­ ложения математики *); см. по этому поводу [34, 69, 253].

Аналогичны случаи, когда исследователь бессознательно **) отбирает экспериментальные данные так, чтобы обосновать гипо­ тезу, сформулированную им априори, без достаточной мотивировки. Эта опасность особенно велика, если опорой служат данные, на которые могут существенно повлиять ошибки наблюдения и неучи­ тываемые факторы — в этих условиях легко подобрать достаточное количество фактов, подтверждающих принятую гипотезу, объясняя особенно заметные отклонения от нее шумовыми эффектами ***).

Еще одна распространенная причина появления неадекватных моделей состоит в том* что может не учитываться влияние факторов, которые по тем или иным причинам (например, из-за относительной

*) И. Н . Коваленко в предисловии к книге [336, с. 5 — 6], говоря об исследовании операций, пишет: «...весьма частые ошибки и просчеты возни­ кают из-за неправильно выбранного критерия эффективности системы. Это в свою очередь объясняется необоснованным перенесением на новые системы методов, выработанных для других систем. Остановимся, например, на моде­ лировании систем массового обслуж ивания, отражающ их процессы функцио­ нирования многих современных сложных систем. Известно, что теория массо­ вого обслуживания получила свое первоначальное развитие главным обра­ зом благодаря вопросам телефонии, для которой наибольший интерес пред­ ставляет изучение стационарного процесса загрузки телефонной станции. Буквально в последнее десятилетие на первый план выдвинулись нестацио­ нарные задачи массового обслуживания. Это произош ло благодаря запросам такой дисциплины, как исследование операций, имеющей дело главным об­ разом с нестационарными, кратковременными процессами. В то же время, составляя математическую модель той или иной операции, зачастую заботятся по-прежнему о вычислении стационарных показателей, не имеющих подчас

какая опасность таится в необъективности интерпретации эксперименталь­ ных данных, имеющих статистический характер, когда ученому хочется по­ лучить желаемый результат. Обработку статистических данных он проводил очень осторожно; интересен метод, который он применял. Счет сцинцилляций проводили обычно студенты, которые не знали, в чем заключается опыт. К ри­ вые по полученным точкам проводили люди, которые не знали, что долж но было получиться. Насколько мне помнится, Резерфорд и его ученики не сде­ лали ни одного ошибочного открытия, в то время как их было немало в д р у ­ гих лабораториях». Поучительный пример описания подобного «открытия» приведен в [212, I, с. 103].

Вообще заметим, что получение и обработка статистических данных тре­ буют значительно больш его внимания и навыков, чем это иногда себе пред­ ставляют. Не только для развлечения читателя Р . М изес приводит [215] шуточные слова одного англичанина: «Существует три вида лжи: во-первых, ложь вынужденная, которая извинительна, ложь низкая, для которой нет никакого извинения, и статистика».

малости характеризующих их параметров) считаются второстепен­ ными, но на самом деле являются существенными, иногда опреде­ ляющими изучаемую характеристику. Один из примеров таких ошибок, связанный с расчетом статически неопределимых систем, был указан в п. 7.1.

В качестве второго примера [241, с. 61—67] рассмотрим центро­ бежный фрикционный регулятор скорости вращения, схематически изображенный на рис. 26. Его идея сос­ тоит в том, что при возрастании скорости вращения увеличивается тормозящий момент трения между шариком А массы ш, расположенным на конце подвижного рычага В, и ограничительным кольцом

К. Этот регулятор широко используется

вустройствах, не требующих большой точности в поддержании постоянной ско­ рости вращения. Однако повышение пре­ цизионности регулятора привело к нео­ жиданному эффекту — «качаниям» ско­

рости вращения, вызванным нарушением устойчивости режима вращения с постоянной скоростью. При этом интересно, что наибо­ лее естественное, казалось бы, уравнение вращения регулятора

/о) = М — h (со) — k (со) тггсо2

(здесь М — вращающий момент, который можно считать постоян­ ным; h (со) — момент сопротивления вращению всей системы без учета регулятора; &(со) — коэффициент трения шарика об ограни­ чительное кольцо; смысл остальных обозначений ясен из рис. 26) ни при каком виде зависимостей Л (со) и k (со) не имеет решений, описывающих такие качания. По этому поводу Ю. И. Неймарк пишет: «Таким образом, налицо недостаточная полнота математи­ ческой модели. Принятая излишне простая идеализированная модель не может объяснить наблюдаемые явления, и поэтому необходимо учесть еще что-то. Что же именно нужно учесть? Здесь очень трудно дать общие рекомендации. В каждом по-настоящему новом случае это требует интуитивной догадки, представляя собою некоторое от­ крытие. В рассматриваемом случае нужно учесть контактную упру­ гость между ограничительным кольцом и шариком и ничтожные, возможные благодаря этой упругости изменения угла ft шарика фрикционного центробежного регулятора... Причиной столь су­ щественного влияния незначительных по величине изменений угла ft является то, что вызываемые этими незначительными движениями изменения момента трения по углу ср вовсе не малые». В книге [241] приводится исследование более полной модели, учитывающей ука­ занную упругость; оно позволяет проследить за возникновением ка­ чаний со и установить условия устойчивости режима со= const.

Последний случай может служить типичным примером достаточ­

278 ГЛ. 3. СУБЪЕКТИВНЫЕ ПРОБЛЕМЫ

но опасной и, к сожалению, не очень редкой ситуации, когда уравнение первого приближения, которое кажется адекватной моделью изучаемого явления, в действительности не в состоянии удовлетво­ рительно описать даже его важные качественные особенности. Из­ вестен ряд других задач механики, в которых возникла такая ситуа­ ция; среди них отметим: задачу о потере устойчивости равномерно нагруженной сферической оболочки (ошибочное решение, основан­ ное на линеаризации уравнения), задачу о напряжениях в углах опертой пластины (неприемлемость обычно принимаемой гипотезы Кирхгофа о прямых нормалях), задачу о колебаниях балки на упру­ гом основании (необходимость учета не только упругих, но и инер­ ционных свойств основания) и т. п.

При появлении сигналов о качественной неадекватности модели (физическая абсурдность выводов, принципиальное расхождение с экспериментом или с другими апробированными фактами), а также если интуиция исследователя в рассматриваемом классе задач недо­ статочна, приходится повышать «класс точности» модели и метода ее изучения, вплоть до дедуктивного уровня.

Часто неадекватные модели возникают при анализе сложных систем, когда известны не все связи между определяющими величи­ нами, а недостающие зависимости назначаются, исходя из слабо мотивированных и, в сущности, произвольных соображений или да же из желаемого результата. Однако после математической обра­ ботки и применения ЭВМ произвольность становится малозаметной, сомнительность — завуалированной, а решение приобретает види­ мость математически обоснованного. Так получилось, в частности, с недавними гигантскими гидротехническими проектами, вызвав­ шими известную глубокую обеспокоенность общественности и ожив­ ленную дискуссию в прессе *). Именно поэтому желательно по воз­ можности четко, в явном виде формулировать все гипотезы и все основные соотношения, принятые при построении математической модели.

Особенно распространены неадекватные модели в гуманитарных науках, социальных явлениях и человеческих отношениях, прежде всего из-за трудности оценки сравнительной роли различных факто­ ров, к тому же весьма размытых, зачастую неизвестных или неформализуемых. Хрестоматийный пример ошибки такого рода — траге­ дия Отелло и Дездемоны **).

*) Несравненно более скромный, но яркий пример можно найти в жур­ нале «Наука и жизнь» (JVb 1 за 1987 г., с. 74). На ЭВМ было рассчитано, что с помощью мышечной силы человек якобы не может превысить скорость 94,8 км/ч (какова точность!). После этого фирма «Дюпон» — явно не поверив в правильность расчета — объявила премию тому, кто первым превысит скорость 105 км/ч на экипаже, движимом только силой человека. Вскоре эту премию завоевал Ф. Маркхэм, который на специальном велосипеде развил скорость 105,375 км/ч на участке длиной 200 м.

**) А. М. Молчанов ({203, с. 3—4): «Глубокое внутреннее родство, общ­ ность происхождения современной физики и современной математики привели

3. Ошибки в выборе метода исследования. На таких ошибках мы уже подробно останавливались в § 5; здесь мы сделаем только

случаев, когда исследователь не представляет себе четко, что он собирается искать, так и случаев, когда такое представление имеет­ ся, но движение к цели происходит по слишком извилистому пути и при этом добывается слишком много по существу ненужной ин­ формации.

Еще Лаплас отметил, что при исследовании дождя можно поста­ вить целью определение траекторий всех капель; но для вывода о том, что после дождя трава будет мокрой, эта информация, говоря современным языком, явно избыточная. Беда состоит в том, что исследователь может искренне верить в необходимость вычисления траекторий всех капель для упомянутого вывода. В каком-то смысле так бывает очень часто: мы уже упоминали о том, что в подав­ ляющем большинстве прикладных исследований, краткость оконча­ тельного вывода («мост достаточно прочный», «флаттер самолета возникнет при скорости 1500 км/ч» и т. д.) находится в противоречии с объемом и сложностью промежуточных вычислений. Конечно, здесь дело в отсутствии (или, во всяком случае, в неизвестности) прямых путей для получения таких выводов, так что, как правило, избыточная информация неизбежна. Однако разным методам свой­ ственно генерировать различные объемы такой информации, и это необходимо учитывать при выборе метода.

Для уменьшения объема избыточной информации часто бывает полезным по возможности прямое изучение интегральных характе­ ристик рассматриваемой системы и применение различных интег­ ральных соотношений — таких, как закон сохранения энергии и т. п. В этом смысле поучительны общие теоремы динамики механи­ ческой системы; например, теорема о движении центра масс не позволяет описать движение каждой из точек системы, но дает воз­ можность получить в некотором смысле интегральное представление

одвижении, во многих случаях достаточное для приложений.

Вкачестве другой распространенной ошибки укажем на не­ достаточное внимание к доброкачественности исходных данных. Большой труд, потраченный на реализацию самого точного числен­ ного метода, будет в значительной мере обесценен, если воспользо­ ваться неверными или чересчур неточными исходными данными.

Более того, если не обратить внимания на недостоверность этих данных, то можно создать ошибочное представление о доброкачест­

к опасному ... представлению о том, что всякое явление обязано иметь мате­ матическую модель. Это представление тем опаснее, что оно часто считается само собой разумеющимся». Думается,что обнаружение принципиально новых областей адекватного приложения математики в ряде случаев может быть приравнено к другим выдающимся открытиям.

280 ГЛ. 3. СУБЪЕКТИВНЫЕ ПРОБЛЕМЫ

венности окончательного вывода, а когда его недоброкачественность будет обнаружена, метод может оказаться незаслуженно опорочен­ ным *). Поэтому выбираемый метод решения задачи должен быть рассчитан на введение в него только таких данных, которые можно реально получить с нужной достоверностью. Если достаточно точ­ ные исходные данные получить невозможно, то во многих случаях целесообразно изменить метод, обычно упростив его — труд, свя­ занный с применением метода высокой точности, не должен ока­ заться напрасным.

Исключительно важен вопрос о величинах, которые в математи­ ческой модели считаются заданными.

Применительно к моделям, ориентированным на теорию игр и теорию вероятностей, об этом трудно сказать лучше, чем в следующей, по необхо­ димости весьма обширной цитате из статьи И. Грековой [101, с. I l l — 112J: «Кстати, к вопросу об информации, которая считается «заданной» в матема­ тической модели. Это одно из больных мест тех математических работ, ко­ торые претендуют на роль «прикладных», а по существу представляют собой абстрактные упражнения. Использование начинается с классической форму­ лировки: «Пусть заданы...» — и далее перечисляются параметры, которые предполагаются «известными». Откуда они известны, из какого источника? Такой вопрос даже не ставится. Известны — и все, И вот строятся модели, которые иначе не назовешь, как «информационно уродливыми». Возьмем, например, классическую модель конфликтной ситуации — парную антаго­ нистическую игру. Предполагается, что в такой игре каждая сторона в точности знает все стратегии (способы поведения), которыми может пользо­ ваться противник, и неизвестно только, какую именно из них он выберет в данной партии игры. Слов нет, получается изящная математическая теория, позволяющая сформулировать рекомендации сторонам: в каких пропорциях каждая из них должна применять свои стратегии, чтобы добиться максималь­ ной выгоды. Но позвольте спросить: откуда известен полный набор возмож­ ных стратегий? На практике так почти никогда не бывает. Как правило, разумное поведение в условиях конфликтной ситуации состоит в том, чтобы выйти за пределы известных противнику стратегий, а не смешивать их в хитроумно найденных пропорциях. Уж не здесь ли причина того, что иг­ ровые модели, за которые вначале с азартом ухватились многие, оказались сравнительно бедны реальными приложениями?

Другой пример: известная задача математической статистики о построе­ нии доверительного интервала при малом числе опытов. Для этого разработан довольно тонкий аппарат, основанный на допущении, что нам известен за­ кон распределения наблюдаемой случайной величины (нормальный). И опять возникает вопрос: а откуда, собственно, это известно? И с какой точностью? И какова, наконец, практическая ценность самого «продукта» — довери­ тельного интервала? Мало опытов — значит, мало информации, и дело наше плохо. А будет ли при этом доверительный интервал немного больше или меньше» не так уж важно (тем более что и доверительная вероятность на­ значена произвольно). Й все же зачастую этой проблеме уделяется незаслу­ женно большое внимание. Здесь налицо явное несоответствие между грубо­ стью постановки задачи, малой ценностью выводов и тонкостью аппарата.

*) Д. Хорафас [336, с. 47J, говоря о применении методов теории операций к производству, упоминает о случае, когда «администрация фирмы настаива­ ла на том, чтобы математик приступал к исследованию, имея лишь устарев­ шие и недостоверные данные. Все это основывалось на том мнении, что дос­ таточно лишь применить математические методы, и весь производственный процесс станет прибыльным. Бедная фирма!»