книги / Механика и прикладная математика логика и особенности приложений математики

законам; так возникают аналогии — вроде электромеханической аналогии в теории колебаний (см. выше) или гидродинамической аналогии в теории кручения стержней. Такое «замыкание» двух или более физических умозрительных моделей на общую математическую модель может быть, в частности, использовано для наглядного об­ суждения отображаемых качественных свойств изучаемого явления. (Впрочем, в литературе встречаются и малопродуктивные формаль­ ные аналогии подобного рода. Так, дифференциальное уравнение для формы вынужденных колебаний балки при гармоническом воз­ буждении совпадает с уравнением изгиба статически нагруженной балки, лежащей на упругом основании с соответственно подобран­ ным отрицательным (!) коэффициентом жесткости. Из такой анало­ гии затруднительно получить что-либо полезное.)

Один и тот же объект а может иметь много неэквивалентных моделей. Это прежде всего связано с существованием различных аспектов изучения объекта а, т. е. с необходимостью исследования различных систем S u S 2, ... его характеристик; яркие примеры это­ го приведены в главе 2 книги В. И. Феодосьева [324]. (О важной взаимосвязи аспекта описания и изучения объекта а и выбора языка для этого описания см. [351].) Но разные, даже принципиально раз­ ные модели могут появиться и при изучении одной и той же харак­ теристики; это относится, в частности, и к математическим моде­ лям. Так, один и тот же реальный объект можно описывать с по­ мощью непрерывной или дискретной, детерминированной или сто­ хастической и т. д. моделей *). Выбор типа модели, весьма сущест­ венный для направления всего исследования, может естественно подсказываться моделируемым объектом или разумными традиция­ ми **), однако и тогда полезно иметь в виду возможность изменить

*) Ю. И. Неймарк пишет по аналогичному поводу [241, с. 13]: «...при­ нятие той или иной математической модели зависит от целей, поставленных исследователем, от фактического уровня науки и в значительной мере от имеющихся средств изучения. Последнее обстоятельство, несмотря на ка­ жущуюся его непринципиальность, подчас играет решающую роль». Напри­ мер, для применения ЭВМ удобнее одни модели, а для аналитического иссле­ дования — другие.

**) Впрочем, нередко тип модели выбирается из слепого подражания или определяется пробелами в образовании исследователя. В результате все исследование может превратиться в математическое упражнение, не представ­ ляющее теоретического интереса, а из-за неадекватности модели не имеющее прикладного значения. Так, опубликовано немало статей относительно колебаний балки на упругом основании, причем в некоторых из них прини­ малось, что основание обладает упругими свойствами, но лишено массы. Однако пренебрежение инерционными свойствами основания недопустимо в подавляющем большинстве реальных ситуаций, так как присоединенная масса основания, как правило, значительно больше массы самой балки. Лю­ бопытно (хотя и очень досадно), что такие публикации порой получают под­ держку как у сугубых практиков, так и у теоретиков. Первые с особым ува­ жением относятся к выкладкам, которые их завораживают своей респекта­ бельностью и непонятностью, а вторые, не задумываясь над свойствами реаль­ ного объекта, следят лишь за правильностью выкладок и искренне радуются,

5*

тип модели. Построение различных моделей одного и того же объекта может иметь целью различную детализацию описания изучаемых характеристик *); в более сложных ситуациях сравнение результа­ тов исследования с помощью моделей разного типа может существен­ но обогатить познания об изучаемом реальном объекте, значительно повысить их достоверность (см. пп. 3.5, 3.6). На целесообразности такого «спора моделей» останавливается Е. С. Вентцель [72, с. 15]. (В связи с химическими моделями мы слышали термин «зоопарк моделей» — каждая имеет название и находится в своей «клетке».)

Конечно, общие контуры математической модели вырисовы­ ваются уже на этапе умозрительного физического моделирования. Однако и после завершения этого этапа, как правило, возможны разнообразные модификации математической модели: иногда в урав­ нениях можно оставлять одни члены и отбрасывать другие; нелиней­ ные зависимости заменять линейными, сложные геометрические формы — более простыми и т. д. Впрочем, в некоторых случаях дело обстоит проще, и умозрительная физическая модель допускает непосредственную математическую формулировку; такие модели, представленные обычно схематическим чертежом, называются рас­ четными схемами (расчетные схемы стержневых систем в строитель­ ной механике, схемы электрических цепей и т. д.).

Роль выбора математической модели, в значительной степени опреде­ ляющего общее направление исследования, ярко охарактеризовали А. Н. Ти­ хонов и Д. П. Костомаров [309, с. 14— 15]: «В прикладных задачах построе­ ние математической модели — это один из наиболее сложных и ответственных этапов работы. Опыт показывает, что во многих случаях правильно вы­ брать модель — значит решить проблему более чем наполовину. Трудность данного этапа состоит в том, что он требует соединения математических и специальных знаний. ... Обычно над математической моделью совместно работают математики и специалисты из той области, к которой относится изучаемый объект. Для успеха их деятельности очень важно взаимопони­ мание, которое приходит тогда, когда математики обладают специальными знаниями об объекте, а их партнеры—определенной математической куль­ турой, опытом применения математических методов исследования в своей области. В противном случае совместная работа легко может превратиться в диалог глухих со слепыми».

Авторы отмечают (с. 10) три основных элемента прикладной математики: математические модели, вычислительные алгоритмы и ЭВМ.

что теория оказалась якобы полезной для практики. В действительности же автор такой работы попросту не знает, как учесть присоединенную массу основания. Как не вспомнить здесь анекдот о пьяном, который ночью искал потерянные деньги под светом фонаря, хотя и помнил, что кошелек был об­ ронен в другом месте, «но там темно»...

*) Приведя пример сведения задачи об управлении реактором к уравне­ ниям различных типов, X. Розенброк и С. Стори пишут [279, с. 296]: «Такая ситуация с позиций математиков и инженеров имеет разный смысл. Для ма­ тематиков уравнения (2) и (3) ведут к двум разным задачам. Для инженеров они ведут к двум различным способам решения одной и той же задачи — отысканию наилучшего распределения температур для рассматриваемой фи­ зической системы. Эти способы отличаются разной степенью упрощения за­ дачи».

134 ГЛ. 2. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ МЕХАНИКИ

гут быть и рабочие модели — достаточно вспомнить о разнообраз­ ных автоматических устройствах.)

Рассмотрим, в частности, случай, когда изучается влияние на объект а воздействий некоторого класса V, причем каждому воз­ действию V отвечает некоторый отклик r=r(v). (При этом в по­ нятие воздействия можно формально включить все, что задается, в том числе и начальные условия, если они существенны.) В соот­ ветствующей математической модели а' воздействие v' и отклик г' уже представляют собой наборы чисел, векторов, функций и т. п., причем от v* (соответственно от г') можно перейти к v (соответственно к г) и обратно, а сама модель определяет зависимость г' (vf). Тогда условием моделирования является требование, чтобы эта зависи­ мость имитировала зависимость г (и), каков бы ни был механизм этой имитации. Иногда проявляют высшую степень безразличия к струк­ туре объекта а и трактуют модель как черный ящик, для которого входами служат возмущения из выбранного класса V', а выходами — выбранные отклики на эти входы. Может оказаться, что из-за не­ полноты информации (например, задаются не все параметры, су­ щественно влияющие на выходы) или в силу самой природы изучае­ мой системы вход v' определяет выход г' неоднозначно; в этом слу­ чае модель иногда может описывать объект а в том или ином вероят­ ностном смысле.

Полученная указанным образом математическая модель в прин­ ципе не снимает вопроса о внутреннем устройстве оригинала. Без «зондирования» внутреннего устройства оригинала невозможно предсказать, как изменится его математическая модель после ка­ ких-либо изменений этого устройства, и поэтому всякое преобразо­ вание оригинала повлечет за собой необходимость заново строить всю математическую модель. Очевидно, что этим недостатком в го­ раздо меньшей степени страдает «классический» путь построения математической модели *).

Обычно в прикладном исследованиия, в котором применяется математика, строится несколько моделей. Эти модели могут отно­ ситься к различным компонентам или различным аспектам изучае­ мого явления, могут иметь разные степени абстрактности, а их ана­ лиз может чередоваться с действиями нематематического характера. Кроме того, могут возникать цепочки, в которых каждое последую­ щее звено служит моделью для предыдущего. Например, мы можем реальную строительную конструкцию мысленно заменить на систе­ му стержней, пластин или оболочек (умозрительное физическое мо­ делирование); затем записать систему уравнений, определяющих напряжения и деформации в этих элементах (математическое моде­ лирование); далее упростить полученную систему уравнений, от­

*) Функциональный и структурный подходы, с соответствующими изме­ нениями, проявляются и в других областях знания. Таково, например, соот­ ношение между бихевиоризмом и этологией в изучении поведения животных 1191, с. 200—2131.

брасывая члены, которые нам представляются менее существенными (такое упрощение есть, конечно, моделирование одного математи­ ческого объекта другим), и т. д. В процессе исследования происхо­ дят переходы от одних моделей к другим, а иногда и параллельное изучение нескольких моделей. Отметим, что при этом возможен и переход от математических соотношений к их физическим моделям. Такие модели могут быть предметными (вычислительные устрой­ ства) либо теоретическими; последние применяются для иллюстра­ ции отдельных утверждений и даже разделов математики (см., напри­ мер, [274]) и развития соответствующей интуиции, которая может оказаться весьма полезной при решении математических задач.

В заключение заметим, что понятие «изучить модель» существен­ но сложней, чем это может показаться с первого взгляда; лишь в ред­ ких случаях это изучение приводит к искомому короткому ответу (числу с небольшим количеством верных цифр, ответу типа «да» или «нет» и т. п.), который обычно является окончательной целью иссле­ дования. Гораздо чаще изучение модели еще подливает воды в море информации, связанной с исследуемой проблемой, и может потребо­ ваться новый взгляд на ситуацию, чтобы «выудить» из этого моря необходимый результат. Поэтому важна целеустремленность по­ строения моделей: надо не изучать все то, что связано с поставлен­ ной проблемой, а стараться по возможности экономным путем идти к цели. Исследование модели тем успешнее, чем больше принято во внимание при ее построении основательных соображений о предпо­ лагаемых свойствах изучаемого объекта. («То, что мы видим, зави­ сит от того, куда мы смотрим»,— писал Л. Леонидов в «Литератур­ ной газете» 12 мая 1976 г. на особо популярной 16-й странице.) Впрочем, это благое пожелание, реализация которого должна на­ чинаться уже с продуманного выбора «естественной» системы коорди­ нат, гораздо проще высказать, чем осуществить...

С этой точки зрения наиболее привлекательны поиски и иссле­ дование таких характеристик, которые дают лаконичное описание наиболее важных свойств изучаемого объекта, без ненужной дета­ лизации. Таковы, например, способы нахождения огибающих в различных колебательных задачах (способ Ван дер Поля и т. п.). Хотя при этом мы не улавливаем все подробности протекания со­ ответствующих процессов, но эти подробности, как правило, не­ существенны (см. п. 4.9, 4.10 и 6.4)*).

*) По поводу понятия и методов построения модели (в особенности мате­ матической), помимо указанных на с. 12, см. также [67, 138, 146, 147, 157, 161, 167, 172, 223, 227, 236, 240, 278, 307, 340, 360, 361, 376, 391, 403, 416, 422, 429, 445, 449, 456, 457, 478, 496, 500, 501, 519, 523, 536]. Подробное обсужде­ ние математических, в том числе вычислительных, моделей в задачах физики см. в [265, 2831. Особо отметим книгу [203], в которой содержится ряд общих соображений, связанных с построением математических моделей, большое число конкретных примеров и обширный список литературы, а также книгу [142J, в которой излагаются некоторые принципы математического моделиро­ вания сложных систем — экономических, экологических, лингвистических и т. д.

3. Требование адекватности. Важнейшим требованием к мате­ матической модели является требование ее адекватности изучаемо­ му реальному объекту (процессу и т. д.) относительно выбранной системы его характеристик. Под этим обычно понимается:

1) правильное качественное описание объекта по выбранным ха­ рактеристикам (например, в результате изучения динамической модели мы делаем правильный вывод о затухании колебаний реаль­ ного объекта, об устойчивости его движения и т. п.);

2) правильное количественное описание объекта по выбранным характеристикам с некоторой разумной степенью точности.

В частности, если изучается отклик объекта на воздействия того или иного класса (п. 4.2), то модель, адекватная относительно одного класса воздействий, может оказаться неадекватной относительно другого класса (примеры см. ниже). Таким образом, адекватность моделирования определяется не только моделируемым объектом и его моделью, но также видом рассматриваемых воздействий, вы­ бранным классом откликов на них и принятым уровнем точности описания. Это отвечает общему определению адекватности, так как под характеристикой реального объекта можно, в частности, пони­ мать его реакции на воздействия того или иного класса. Поэтому модель типа черного ящика (п. 4.2) адекватна, если для заданного класса входных возмущений она определяет с требуемой точностью тот же оператор преобразования входов в выходы.

В областях, еще не подготовленных для применения развитых количественных методов (например, в некоторых социальных нау­ ках), адекватность модели по необходимости является лишь каче­ ственной; в связи с этим можно вспомнить о возможности не только количественной, но и неколичественной математизации (148, 255]. В частности, модель может выявлять существенные качественные характеристики изучаемого явления (такие, как равновесие, устой­ чивость и т. д.) и влияние одних характеристик на другие. На этих вопросах останавливается Саати в своей книге [513]. Сходным об­ разом говорит МакРей по поводу моделирования управления пред­ приятиями [483, с. 4]: «Управленческая модель может иметь низ­ кую прогнозную ценность, но если она помогает нам понять струк­ туру проблемы, то этого достаточно для того, чтобы оправдать рас­ ходы на ее построение».

Даже в технике, где применение математики давным-давно апро­ бировано, модель может оказаться количественно неадекватной из-за сложности изучаемого объекта. Однако и здесь понимание роли существенных свойств (таких, например, как действие обрат­ ной связи, возможность резонансных состояний и т. д.), выявлен­ ной на моделях качественного характера, помогает правильно ориен­ тироваться в сложных задачах.

Возвращаясь к общему случаю, отметим, что естественно гово­ рить не просто об адекватности модели, но также о большей или

меньшей адекватности. Поэтому мы будем условно говорить о сте­ пени адекватности модели, понимая под этой степенью как бы долю истинности модели относительно выбранной характеристики изучае­ мого объекта, нечто вроде коэффициента взаимосвязи модели и ис­ ходного объекта по этой характеристике. Это типично размытая величина, и хотя естественно считать, что степень адекватности должна принимать числовые значения от 0 (полная неадекватность, т. е. отсутствие связи между моделью и моделируемым объектом) до 1 (полная адекватность), но предложить регулярный способ приписывания таких значений в общем случае вряд ли возможно. (Сравните аналогичные затруднения в п. 3.1 при рассмотрении сте­ пени достоверности.)

Еще раз подчеркнем, что адекватность модели следует ассматривать т о л ь к о по определенным признакам, характеристикам, принятым в данном исследовании за основные. (Как сказал поэт Велимир Хлебников, «если мы хотим построить роту по росту в одну шеренгу, нам совершенно неинтересно, из какой губернии родом каждый солдат» — цит. по [189, с. 34].) Если эти характеристики явно не указаны, то они должны подразумеваться; впрочем, как всегда в прикладном исследовании, они могут уточняться по ходу исследования. Не существует «универсальной адекватности», ибо такая адекватность означала бы тождество модели и моделируемого объекта.

В качестве характерного примера рассмотрим задачу о распространении тепла в однородном изотропном твердом теле. Стандартные рассуждения, основанные на феноменологическом законе Фурье (плотность теплового потока пропорциональна градиенту температуры), приводят к известному уравнению теплопроводности

проводности. Это уравнение хорошо описывает реальную эволюцию темпе­ ратуры, т. е. является в этом смысле адекватным в количественном отно­ шении. Кроме того, из него вытекает ряд следствий качественного характера, также правильно описывающих реальный процесс: сохранение количества тепла и выравнивание температуры при t -*• <х> для теплоизолированного

тела, асимптотическое достижение температуры окружающей среды в случае лучеиспускания, невозможность концентрации и осцилляций температуры и т. д. Таким образом, относительно этих утверждений (которые можно при­ нять за «характеристики» изучаемого процесса) уравнение теплопроводности является адекватным в качественном отношении.

С другой стороны, известно, что из уравнения (15) вытекает физически абсурдный вывод о бесконечной скорости распространения тепла. Таким образом, если в качестве существенной характеристики процесса рассмат­ ривать скорость v распространения тепла (потребность в этом возникает довольно редко), то уравнение (15) как модель реального процесса оказыва­ ется неадекватным не только в количественном, но и в качественном отно­ шениях. Чтобы получить модель, адекватную и по данной характеристике, надо уточнить закон Фурье и учесть инерционность молекул, которая в этом случае оказывается решающей. Это приводит к более полному

уравнению

(а<гЧг)* <16>

где Т и L — характерные время и длина в рассматриваемом процессе. От­ сюда получаем скорость распространения тепла

v = V Ъ > Т '

которая, как и должно быть, оказывается конечной. Для вопросов, указан­ ных в предыдущем абзаце, описываемая здесь поправка несущественна, и поэтому при их изучении привлечение взамен (15) более сложного уравнения (16) не оправдано.

Другим простым примером может служить так называемая система с 3/2 степеней свободы (см., например, [253, § 221). Именно, рассмотрим ча­ стицу пренебрежимо малой массы т —0, движущуюся вдоль оси х под дей­

ствием силы упругости —сх и вязкого сопротивления —kx. Если задано состояние частицы при /= 0 , то для нахождения закона движения, казалось бы, надо решить дифференциальное уравнение

Однако эти соотношения представляются внутренне противоречивыми, так как произвольно задаваемые значения (18) могут не удовлетворить урав­ нению (17). Объяснение этого кажущегося противоречия состоит в том, что на первом (релаксационном) этапе движения, продолжительность которого

имеет порядок m/ky член тх вовсе не мал и «дельта-слагаемое» в х обеспечи­

вает быстрый переход х от х0 до значения — cx0!k, удовлетворяющего соот­ ношению (17); после этого закон движения получается из дифференциаль­ ного уравнения (17) при единственном начальном условии д:(0)=Хо. Таким образом, применение уравнения (17) в качестве математической модели для описания движения на первом этапе неадекватно; на этом этапе членом

тх пренебрегать нельзя.

Забвение того, что всякая адекватность лишь относительна и име­ ет свои рамки применимости, может привести (и не раз приводило) к попыткам навязать реальному объекту свойства его модели — на­ пример, к всерьез высказываемому утверждению, что скорость рас­ пространения тепла «на самом деле» бесконечна.

Еще одним примером могут служить малые свободные колеба­ ния реальной автономной системы с малым трением. Если при мате­ матическом анализе колебаний заменить эту систему на линейную консервативную (без трения) модель, то такая упрощенная модель может иметь высокую степень адекватности по частотам и формам колебаний, но будет, очевидно, совершенно неадекватной по зату­ ханию колебаний.

К сожалению, в более сложных случаях неадекватность модели бывает не столь ясной, а применение неадекватной модели может привести к тому, что мы не уловим или чрезмерно исказим то, что на самом деле есть и нам нужно, но зато будем изучать то, что нам

не нужно (и даже то, чего на самом деле нет!) *). Как правило, в та­ ких случаях (а также, если рассматривается адекватность модели реальному объекту) проверка адекватности не может осуществлять­ ся на чисто дедуктивном уровне. Более того, понятие адекватности может показаться логически порочным, так как для полной уверен­ ности в правильном описании свойств объекта мы должны знать эти свойства из какого-то дополнительного источника информации; но если эти свойства известны, то надобность в модели может от­ пасть. Положение усугубляется тем, что характеристики, относи­ тельно которых рассматривается адекватность, далеко не всегда мо­ гут быть отчетливо перечислены, а критерии, по которым устанав­ ливается согласование модели с моделируемым объектом, зачастую определены неоднозначно и нечетко. Но дело, разумеется, в том, что адекватность модели является типично рациональным понятием (§ 3), и поэтому повышение ее степени — с помощью уточнения в про­ цессе исследования, контроля на частных примерах, аналогий, про­ верки следствий и т. п. — также осуществляется на рациональном уровне. В частности, при этом выясняется, приводят ли принятые упрощения лишь к допустимой потере точности или к качественному отличию модели от моделируемого объекта. Проверка адекватности модели может служить также рациональным обоснованием закон­ ности применения гипотез, принятых при выводе, к рассматриваемо­ му кругу вопросов. Мы не будем здесь заниматься обсуждением важ­ ного и мало разработанного вопроса об общих методах проверки адекватности модели; отметим только, что связанная с ним (но обыч­ но трактуемая значительно более узко) проблема проверки гипотез является предметом детального обсуждения в математической ста­ тистике.

Адекватная модель обычно обладает той или иной побочной адек­ ватностью, другими словами, она дает правильное качественное и количественное описание не только характеристик, для которых она была построена, но также и ряда других, независимых харак­ теристик, потребность изучения которых может возникнуть в даль­ нейшем. (Конечно, это свойство не повышает степени адекватности, так как она относится только к характеристикам, для которых мо­ дель была задумана. Побочная адекватность — это своего рода не­ реализованная, потенциальная адекватность; ею может обладать и модель с невысокой степенью адекватности.) Чем выше эта побочная адекватность, тем шире область приложимости модели, и потому обычно тем модель оказывается «долговечнее». Побочная адекват­ ность модели повышается с усилением в ней роли хорошо проверен­ ных физических законов (таких, как закон сохранения энергии), утверждений геометрии, апробированных в изучаемой области спо­

*) Нечто в этом роде произошло в так называемой теории катастроф — дисциплине, вообще говоря, полезной для приложений, но порой приме­ няемой для получения широковещательных выводов из малоадекватных моделей.

собов приложения математического анализа и т. п. Иными словами, она тем выше, чем эта модель «правильней», глубже отражает реальную картину, хотя уточнить даже на рациональном уровне, что означает эта «правильность», не просто *). Возможно, что по этой причине структурные модели, о которых мы говорили в п. 4.2, обладают, как правило, более высокой побочной адекватностью, чем функциональные (хотя последние обычно бывают проще первых) **); более того, по отношению к чисто функциональным моделям во­ прос о «других свойствах» чаще всего оказывается вообще лишен­ ным смысла. (См. также [148, п. VI.3].)

Искусственные допущения, привлекаемые порой для согласова­ ния следствий из той или иной модели с заранее известными свойст­ вами реального объекта, могут сделать эту модель адекватной по этим свойствам, но совершенно ненадежной относительно других важных свойств этого же объекта. Несмотря на это, прагматическая роль подобных моделей может быть очень велика, тем более, что мо­ дель, адекватная по некоторым характеристикам, одновременно яв­ ляется адекватной и по другим характеристикам, которые можно вывести в качестве следствий из первых. Хорошо известным приме­ ром служит модель атома Бора, которая, будучи неадекватной со­ временным представлениям о внутриатомной структуре, с успехом применяется во многих разделах физики и химии. В качестве дру­ гого примера упомянем о гипотезе Кирхгофа — Лява (гипотезе прямых нормалей) в технической теории пластин и оболочек. Как показала экспериментальная проверка, сама эта гипотеза выпол­ няется с невысокой точностью. Однако точность важных для инже­ нерной практики следствий из нее (значения деформаций, усилий, критических нагрузок и т. п.) является приемлемой. Таким образом, модель, основанная на этой гипотезе, оказывается адекватной отно­ сительно указанных свойств.

*) Поэтому особой привлекательностью обладают математические моде­ ли, элементы которых имеют отчетливый физический смысл, адекватный фи­ зическим закономерностям в изучаемом реальном объекте. Однако X. Розен* брок и С. Стори пишут по этому поводу [279, с. 37—38J: «Ясно подчеркнув необходимость тщательно учитывать физику проблемы при формулировании метода решения, мы можем теперь сказать, что это не всегда приведет к наи­ более эффективным математическим методам решения. Например, существуют более хорошие методы интегрирования, чем метод Эйлера. Некоторые из них, такие, как методы Рунге — Кутта, не являются следствием физической цепи аргументов».

**) Аналог побочной адекватности возникает также, когда какое-либо утверждение, положенное в основу при построении модели, оказывается справедливым в более широких условиях, чем оно было первоначально обос­ новано. Примером может служить так называемая центральная предельная теорема теории вероятностей, доказанная Лапласом для суммы независимых одинаково распределенных величин, принимающих значения 0 и 1, но спра­ ведливая, как было установлено позже, и для зависимых различно распре­ деленных величин, принимающих любые значения, если эта зависимость не слишком сильная, а среди слагаемых нет небольшого числа превалирующих по порядку влияния на дисперсию суммы.