книги / Механика и прикладная математика логика и особенности приложений математики

Оба эти «уклона» могут каждый по-своему создавать иллю­ зию точности и строгости решения в целом. Если идет речь только о возможном увеличении значения р0, то в оптимальной ситуации значения 1—р ех и 1—p in должны быть, как правило, одного по­ рядка. Однако это не всегда достижимо, и порой приходится де­ лать выбор между громоздкой моделью, обладающей высоким внеш­ ним правдоподобием, но вынуждающей довольствоваться грубым решением, и более простой моделью, у которой внешнее правдопо­ добие понижено, но решение можно сравнительно легко получить с высокой точностью, причем ожидаемый итоговый уровень адек­ ватности решения в обоих случаях примерно одинаков. В подобных случаях, пожалуй, предпочтительней второй тип моделей, так как в них обычно более ясны сделанные предположения и более про­ зрачно видно влияние учтенных параметров задачи на ее решение *).

Приведем в заключение отрывок из книги [21, с. 65—66), относящийся к необходимости уравновешивания внутреннего и внешнего правдоподобия.

«До сих пор мы предполагали, что нас интересуют точные решения математических задач. Однако во многих инженерных проблемах интересу­ ются в основном решениями физических задач, а не точными решениями математических. Современные представления о законах природы позволяют формулировать задачи, которые более общи и сложны по сравнению с теми, которые мы можем на самом деле решить. Упрощения, основанные на физи­ ческих или инженерных соображениях, нужно рассматривать как прибли­ жения, формирующие по крайней мере одну стадию процесса решения. На­ пример, линеаризация задачи аналогична замене функций двумя первыми членами их рядов Тейлора, техническая теория изгиба балки сводит трех­ мерную задачу к двумерной и т. д. Строго говоря, точные оценки в таких случаях будут учитывать не только погрешности, обусловленные численным методом решения данной задачи (или в случае балки обусловленные реше­ нием двумерной задачи), но также и погрешности, связанные с линеариза­ цией или уменьшением числа измерений.

альных уравнений гидродинамики, весьма далекие от действительности. На наш взгляд, практическая ценность этих работ существенно снижается прос­ тым замечанием, что сами-то уравнения гидродинамики лишь весьма прибли­ женно отражают многие важные физические явления. Поэтому некоторые ре­ зультаты так называемой точной теории по бессмысленности напоминают выкладки с огромным числом знаков над величинами, только очень грубо приближающими точные».

*)[Р. Акоф и М. Сасиени в связи с задачами исследования операций пи­ шут (3, с. 454—455J: «Как правило, лишь несколько переменных играют важ­ ную роль. Именно эти переменные представляют наибольший интерес для исследователя, ибо он должен стремиться построить адекватную модель, включающую минимальное число переменных. Напротив, руководители обыч­ но стремятся к тому, чтобы в модели содержалось как можно больше пере­ менных, полагая, что она станет максимально «реалистичной», (Это — уклон первого типа, о котором мы только что говорили.— Авт.) Можно сказать, что в определенном смысле цель ученого состоит в том, чтобы построить про­ стейшую модель, отображающую реальную действительность с приемлемой точностью и полнотой... Модель, содержащая всего несколько переменных, может отображать действительность более точно, чем модель, описываемая целым сонмом переменных, если в первой соотношения между переменными ближе к реальным зависимостям, чем во второй». См. также высказывание У. Прагера на с. 169— 170 и (2221 -

Из этого следует сделать общий вывод о том, что мы должны изучать как априорные, так и апостериорные оценки в едином комплексе всей задачи

сучетом сложности и удобства расчета. Необходимо учесть все эти аспекты

ивыбрать надежный метод вычислений. Здесь имеются три возможности: во-первых, может оказаться совершенно необходимым получить точную оценку погрешности; во-вторых, может оказаться достаточным построение (математическими методами) верхней и нижней границ погрешности; в-треть- их, достоверность результата, возможно, удастся проверить на основе инже­ нерных соображений. Примером математической оценки служит асимпто­ тическая оценка с последующей корректировкой. Надежность расчета с инженерной точки зрения может быть проверена, например, тем, что мы найдем точное решение другой математической задачи, близкой к исходной».

2. Замечание о взаимодействии прикладника и математика.

О совокупном влиянии внешнего и внутреннего правдоподобий на итоговую адекватность решения важно помнить, в частности, в случаях, когда к исследованию математической модели привлека­ ются математики, не участвовавшие в ее построении. Математик (особенно имеющий малый опыт работы в приложениях), воспитан­ ный на дедуктивных построениях, часто бывает склонен абсолюти­ зировать предложенную ему модель и вообще «заказ» прикладника, что может привести к затрате неоправданно больших усилий, не отвечающих повышению достоверности результата, или даже к отказу от сотрудничества. На самом деле оптимальным, а порой и единственно возможным является образ действий, при котором в процессе построения решения сама модель может пересматриваться и видоизменяться в зависимости от обстоятельств *) и желательного уровня точности. Но для этого совместная работа математика и прикладника должна носить характер непрерывного сотрудниче­ ства, причем математик должен иметь отчетливое представление о физической ситуации, а прикладник — о схеме построения мате­ матического решения.

Вспоминается, как на I Всесоюзном съезде по теоретической и прикладной механике в 1960 г. был сделан доклад о колебаниях упругой балки при движении по ней грузов. В разложении искомо­ го решения по собственным функциям задачи о свободных колеба­ ниях докладчику удалось учесть несколько десятков слагаемых (конечно, с применением ЭВМ). Выступавший в прениях Г. Ю. Джа­ нелидзе обратил внимание докладчика на то, что учет столь боль­ шого числа форм станет логичным лишь при условии, что исходная модель, которая соответствовала обычной технической теории из­ гиба, будет заменена уточненной, т. е. отражающей влияния сдви­ гов и инерции поворотов. Иначе, в этой работе достигнутый в вы­ числениях высокий уровень внутреннего правдоподобия резко не соответствовал уровню внешнего правдоподобия; докладчик, будучи

*) X. Розенброк и С. Стори [279, с. 30]: «Каждая возникающая матема­ тическая трудность должна вызывать подозрение — свойственна ли она фи­ зике, или вызвана ошибкой в формулировании (т. е. в построении математи­ ческой модели.— Авт.), или просто является математической трудностью, которую можно избежать другой формулировкой!»

прикладником по сфере интересов, вел себя как чистый математик, которому как будто нет дела до внешнего правдоподобия модели.

В книге Я. И. Хургина [339, с. 7—23] описаны другие распро­ страненные промахи малоопытных прикладников. В одном слу­ чае построение математической модели не было подчинено цели реального исследования, а в другом исследователь не понимал важ­ ности упрощения модели. Разобрав эти случаи, автор, сам матема^ тик, приходит к выводу: «Консультируя специалистов других об­ ластей науки, математик должен разбираться в их задачах по суще­ ству, а не просто отвечать на задаваемые ему вопросы».

При этом важную роль играет умение математика идти навст­ речу прикладнику-заказчику. В частности, «нельзя ожидать от за* казчика, чтобы он точно знал, что он хочет. На многих стадиях исследовательской работы не знать в точности, что ты ищешь, вполне естественно» [332, с. 392].

И. С. Бахвалов [28. с. 12— 13]: «Начинающий работу математик часто жалуется на трудность контактов с представителями других наук, которые «даже» не могут формулировать стоящих перед ними задач. Правильное формулирование задачи — это проблема не менее сложная, чем само реше­ ние задачи, и не нужно надеяться, что кто-то другой целиком сделает это за вас. При постановке проблемы первостепенное внимание должно быть уделено выяснению цели исследования: принимаемая математическая модель явления не есть что-то однозначное, раз навсегда связанное с этим явлением, а зависит от цели исследования. Прежде чем выписывать дифференциальные уравнения, выбирать метод решения и обращаться к ЭВМ, стоит подумать, а не будут ли бесполезны все результаты вычислений?».

Н, Н. Моисеев [222, с. 6—7]: «Математику самому приходится искать то «жемчужное зерно», которое он впоследствии назовет моделью... Именно модель — приближенное математическое описание — вот что является клю­ чом к успеху».

И. Грекова [101, с. 108— 109]: «Современный прикладной математик (или группа таковых), занятый решением практической проблемы, непременно должен участвовать не только в решении, но и в постановке задач. Не только в построении модели, но и в выборе целевой функции, в организации рас­ четов, осмыслении результатов, выдаче рекомендаций. Словом, прикладная математика не должна быть «белоручкой», в таком качестве она попросту никому не нужна.

...Практик обращается к математику с какими-то смутными, неопреде­ ленными жалобами на положение вещей и похож в этот момент на больного, который сам не знает, что с ним. И это естественно, неужели же мы будем требовать от больного, чтобы он приходил к врачу с уже готовым диагнозом? А вот чистые математики классической школы часто требуют у практиков уже готовой, четкой постановки задачи. Мое. мол, дело не ставить задачи, а решать уже поставленные. Глубоко порочная позиция. Прикладной мате­ матик для того и прикладной, чтобы уметь не только решать кем-то уже поставленные задачи, но и самостоятельно ставить их. В прикладных обла­ стях правильно поставить задачу — значит больше чем наполовину ее ре­ шить (остальное более или менее вопрос техники — преобразований или вы­ числений). Настоящий прикладной математик должен уметь распознать в реальной ситуации главное, уметь отделить его от побочного, второстепен­ ного; уметь вычленить из живого тела ситуации ее математический скелет; уметь разузнать у практика, что, собственно, ему нужно. Иногда растолко­ вать это самому практику. Поддерживая с ним постоянную, оперативную связь, построить математическую модель, руководить расчетами по ней, лич­

Добавим, чго контакт математиков с исследователями в сравнительно тради­ ционных областях приложения математики носит обычно иной характер.

или ее качественное изучение тем эффективнее, чем больше мы име­ ем предварительных сведений об этом решении. Такие сведения да­ ют возможность оценить сравнительное значение отдельных компо­ нент в уравнениях задачи и иногда на основании этого упростить уравнения; выбрать метод решения и конкретизировать его (напри­ мер, выбрать координатные функции в методе типа Галеркина или нулевое приближение в итерационном методе) и т. п.

Довольно часто эти сведения доставляют навыки и интуиция исследователя в его специальной области. Сформулировав на мате­ матическом языке (что, конечно, бывает непросто), их желательно использовать в максимальной степени.

Во многих случаях существенные сведения можно извлечь из предварительного прикидочного исследования модели или ее эле­ ментов. Хотя содержание таких прикидок и их ценность как важной составной части прикладного математического исследования доста­ точно хорошо известны, коротко остановимся на прикидочном иссле­ довании. Оно может быть направлено, в частности, на

—упрощение уравнений задачи, уточнение их структуры в связи с предполагаемым методом их решения;

—получение предварительных сведений о самом решении. Основной метод упрощения уравнения основан на прикидке

сравнительных величин отдельных его членов в изучаемом диапазо­ не изменения переменных и параметров задачи. После этого относи­ тельно малые слагаемые в уравнении обычно можно либо совсем отбросить, либо упростить по форме, если имеются рациональные основания ожидать, что такое упрощение не внесет в интересую­ щую нас характеристику решения ни качественных, ни существен­ ных количественных изменений. После решения упрощенного урав­ нения можно путем подстановки проверить, в самом ли деле отно­ сительно малы отброшенные члены; положительный ответ на этот вопрос служит рациональным подтверждением законности про­ цедуры.

Аналогичным образом могут производиться и иные упрощения этого уравнения, например замена заданной в уравнении нелиней­ ной зависимости на линейную. В некоторых случаях подобное упрощение удается после разбиения диапазона изменения перемен­ ных на части, причем в разных частях упрощенное уравнение имеет различный вид. Тогда может получиться, что при построении

206 ГЛ. 2. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ МЕХАНИКИ

искомого решения приходится пользоваться несколькими приб­ лиженными уравнениями и возникает задача о «склейке», «сшива­ нии» решений этих уравнений, которая может представлять опре­ деленные трудности *).

Если речь идет об упрощении дифференциального уравнения, то приходится производить прикидку величин производных от иско­ мого решения, диапазоны изменения которых часто заранее не за­ даются. При этом обычно пользуются следующим рациональным правилом: если рассматривается функция у(х), причем характер­ ным интервалом изменения аргумента служит Л, а функции — L, то характерным значением производной dy/dx служит L/h, характер­ ным значением второй производной d2y/dx2 служит L/h2 (если dy/dx не является приближенно постоянной, т. е. функция у(х) не близка к линейной) и т. д. Для проверки можно рассмотреть пе­ риодическую функцию у ^ А sin kx. Для нее h= nlk, а в качестве L можно взять хотя бы удвоенное среднее квадратичное значение

получаем A k2i V 2 и т. д. С другой стороны, L / h ~ V 2 A k / n , L/h2—

- V 2 Ak2/n2, т. e. по порядку получаются те же значения. Впро­ чем, видно также, что для более точных прикидок при оценке вто­ рой и последующих производных требуется брать поправочные чис­ ловые множители, учитывающие характер изменения функции. Аналогичный результат получится, если перейти к безразмерным переменным, выбрав за единицы измерения характерные диапазоны их изменения, после чего отдельные члены в уравнении сравни­

*) Задача о «склейке» решений возникает и в том случае, когда решение уравнения на различных интервалах изменения независимой переменной строится разными методами. Например, можно склеивать асимптотические разложения около различных точек или асимптотическое разложение на бес­ конечности с численным решением на конечном интервале и т. п.

М. А. Лаврентьев и Б. В. Шабат [183, с. 7—8]: «...большинство интерес­ ных физических процессов столь сложно, что при современном состоянии науки очень редко удается создавать их универсальную теорию, действую­ щую во все время и на всех участках рассматриваемого процесса. Вместо этого нужно посредством экспериментов и наблюдений постараться понять ведущие факторы, которые в тот или иной отрезок времени управляют про­ цессом на том или ином участке. Выделив эти факторы, следует абстрагиро­ ваться от других, менее существенных, и для данного участка и данного отрез­ ка времени построить возможно более простую математическую схему (мо­ дель процесса), которая учитывает лишь выделенные факторы.

В ряде случаев в решения таких локальных задач нужно внести поправ­ ки, учитывающие второстепенные, но также существенные факторы. Этот учет производится при помощи дополнительных алгоритмов, действующих на решения модельных задач. Для получения общей картины процесса теперь остается только склеить решения отдельных локальных задач. Эта склейка производится при помощи достаточно общих соображений таких, как не­ прерывность поля скоростей и др. Следует отметить, что описанная общая схема решения задач гидродинамики достаточно хорошо приспособлена для организации машинного счета».

вать по их коэффициентам. (Различные методы оценки математи­ ческих выражений см. в [211, п. 1.1].)

Прикидка решения может быть в ряде случаев получена с по­ мощью рассмотрения наиболее грубых аппроксимаций уравнений задачи или даже непосредственно из постановки задачи. Знание, хотя бы самое грубое, качественных и количественных характерис­ тик искомого решения может помочь при выборе более точного ме­ тода, а также дать дополнительное средство контроля. Поэтому такие прикидки (для всего решения и его элементов) могут ока­ заться полезными не только в начале, но и на дальнейших стадиях исследования.

Пользу, подобную прикидке решения, может принести построе­ ние решения в экстремальных либо других примечательных ситуациях, о которых мы говорили в п. 3-5. Естественно, что при этом надо иметь в виду ту специфичность (например, ту или иную вырожденность), которую может внести особенность ситуации. В ряде случаев это рассмотрение может также позволить выделить глав­ ную часть решения в условиях, близких к экстремальным, что в свою очередь сделает возможным уточнение решения на основе ка­ кого-либо варианта метода малого параметра или итераций.

Общей методологии математического исследования ситуаций, близких к особым, предельным ситуациям посвящена работа Р. Г. Баранцева [24]. Такие ситуации автор называет асимптотиче­ скими явлениями, а общую методологию их изучения — асимпто- тологией. Под асимптотическими методами понимаются «...методы исследования асимптотических явлений путем упрощения за счет локализации, точность которых растет вместе с локализацией». Приводя высказывание К. Фридрихса и Л. Сегела о том, что «...асим­ птотический подход больше чем еще один приближенный метод, а скорее играет фундаментальную роль в математическом описании физических явлений», Р. Г. Баранцев уделяет основное внимание неформальному, эвристическому этапу изучения асимптотических явлений, а также тем способам рассуждений, которые в этой книге названы рациональными.

4. Выбор степени точности метода. Вопрос о выборе степени точности вычислительного метода решения уравнений задачи яв­ ляется одним из центральных в проблеме согласования уровней внешнего и внутреннего правдоподобий. Мы уже упоминали в п. 5.1 о том, что степень точности вычислений должна отвечать степени точности исходных данных. Добавим, что под «степенью точности исходных данных» здесь следует понимать не только точность задания (например, в результате измерения) параметров задачи, но и степень адекватности математической модели изучаемому ре­ альному явлению.

Это, казалось бы, очевидное соображение учитывается далеко не всегда. Особенно существенно оно в случаях, когда из-за слож­ ности картины или из-за недостатка знаний имеются веские осно­

Казалось бы, все ясно. Однако простой подсчет показывает, что при 0,15а< < х < 0,18а значение V отличается от Ктах менее чем на 1 %. А так как по­ грешности при конструировании коробки будут не меньшими, то и высокая точность в значении х (скажем, выше 10 %) в данном примере излишняя.

Это замечание относится не только к задачам на отыскание экстремумов, но и ко многим задачам на отыскание критических значений параметров системы, определяющих область ее устойчи­ вости, и т. п.

К сожалению, часто встречаются работы, в которых к заведомо грубой математической модели применяются громоздкие вычис­ лительные методы, дающие высокий уровень точности решения математической задачи и тем самым уместные для точных моделей. Такие работы обладают низкой эффективностью и, кроме того, могут создавать вредную иллюзию точности. Ие следует вводить в за­ блуждение себя и других, надо сохранять здоровый скептицизм, даже чувство юмора по отношению к возможностям математиче­ ского исследования.

Иллюзия точности может также создаваться лишними значащи­ ми цифрами в ответах. Существенный вклад в эту невольную мисти­ фикацию вносят ЭВМ, которые обычно выдают ответы с предусмот­ ренным для них числом значащих цифр, независимо от грубости примененного вычислительного метода (и, тем более, математиче­ ской модели). Поэтому здесь особенно важен контроль точности ответов, о котором говорилось в § 3.

Переход к грубому методу решения часто производится и при доброкачественных исходных данных, если проведение более точно­ го метода, хотя и принципиально возможное, требует неоправдан­ ных усилий и затрат или, тем более, если оно недоступно совре­ менным ЭВМ. Это особенно относится к довольно распространенным задачам, обладающим широкой областью практически равноценных решений; типичный пример — упомянутая выше задача о поиске экстремального значения функции или функционала. Если даже происходит определенная «потеря качества» решения, она оправды­ вается возможностью эффективного построения этого решения. В связи с этим в последнее время распространился рациональный термин квазиоптимальные решения — эффективно реализуемые ре­ шения, не приводящие к слишком большой потере качества по срав­ нению с оптимальными. Развиваются также различные эвристиче­ ские алгоритмы, включающие случайные компоненты и т. п. (Общее обсуждение этой проблемы и конкретные примеры см., в частности, в [284, 320].)

Типичным примером здесь может служить «задача о комми­ вояжере», получившая в последние годы многочисленные приложе­ ния. В ее простейшем варианте считается, что задано некоторое число населенных пунктов, причем известна длина пути от любого из них до любого другого, и требуется составить кратчайший мар­

210 ГЛ. 2. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ МЕХАНИКИ

шрут для посещения всех этих пунктов. Оптимальное решение этой задачи в общем случае до сих пор не найдено, однако имеется це­ лый ряд квазиоптимальных, например, такое: посетив какой-либо пункт, коммивояжер должен отправиться в ближайший из еще не посещенных.

5. Вариационные и экстремальные подходы. Задачи на экстре­ мум рассматривались в математике, начиная с древнегреческой эпохи. Ферма обнаружил общий подход к решению таких задач, основанный на приравнивании нулю дифференциала исследуемой величины; такой подход и его модификации будем условно назы­ вать вариационными.

Сейчас большое число математических моделей строится с рас­ четом на то, чтобы искомый объект получился в результате реше­ ния вариационной задачи или задачи на экстремум. Это дает воз­ можность не только применять далеко разработанные для задач этого класса математические методы, но и выявлять глубокие аналогии между ситуациями из далеких друг от друга областей приложения математики и даже находить новые ситуации, допуска­ ющие такое приложение.

Исходная задача может либо с самого начала иметь экстремаль­ ный характер (именно так возникло вариационное исчисление, а в последние годы — математическое программирование, матема­ тическая теория оптимального управления и т. п.), либо же этот характер ей намеренно придается — например, с помощью при­ влечения того или иного экстремального принципа. Так, в механике широко распространен принцип минимума потенциальной энергии, который сейчас удалось распространить далеко за рамки первона­ чальной области его применимости (см., в частности, с. 187). Ана­ логична роль вариационных принципов в современной науке: до­ статочно указать на активное внедрение в самые разнообразные области функции Гамильтона 43 и других понятий, связанных с ней.

Между вариационными и экстремальными подходами нет прин­ ципиальной разницы и они часто объединяются, что, впрочем, порой приводит к недоразумениям. При обоих подходах рассматривается соответствующий функционал (целевая функция) на том или ином многообразии конкурирующих между собой объектов (положений системы, траекторий, планов поведения и т. п.), из .которых выби­ рается нужный нам объект. При экстремальном подходе этот объ­ ект выбирается так, чтобы наш функционал принимал на нем мак­ симальное или минимальное (локально или тотально, в зависимо­ сти от постановки задачи) значение, тогда как при вариационном подходе мы при этом выборе либо руководствуемся вариацией (для конечномерных многообразий — полным дифференциалом) первого порядка, либо привлекаем также вариацию (дифференциал) второго порядка. Аналогичный характер имеют экстремальные и вариаци­ онные методы построения приближенных решений математической