книги / Механика и прикладная математика логика и особенности приложений математики

[59], где наряду с примерами содержится обсуждение общей мето­ дики построения аксиоматических теорий в физике).

Эти области являются, в основном, разделами физических и технических дисциплин (по специфике изучаемой структуры), но их можно считать и разделами математики (по характеру применя­ емых методов). Так, теорию линейных цепей можно считать своеоб­ разным разделом линейной алгебры, однако выделяющимся из нее специфической терминологией, кругом задач; то же можно сказать о теории массового обслуживания или теории надежности как о раз­ делах теории вероятностей и т. п. В подобных теориях роль далеко развитых дедуктивных понятий и методов математики особенно велика. Эти методы могут не только дать эффективные конкретные результаты, но и способствовать развитию правильной интуиции, более глубокому пониманию взаимосвязей, а при интерпретации — более глубокому пониманию реальных закономерностей. Например, привлечение понятия метрики приводит к более глубокому понима­ нию того, что такое средние и эффективные значения в электро­ технике, и тем самым позволяет избежать возможных ошибок в этой области. Рассмотрение свойств нелинейных операторов может дать правильное понимание действий с нелинейными элементами цепей и т. д. Таким образом, абстрактный математический подход может ока­ заться весьма плодотворным. (По поводу аксиоматизации отдель­ ных нематематических дисциплин и их фрагментов см., в частности, [175, 195, 260, 280, 344, 415, 453, 548].)

Признавая несомненную пользу многих таких разделов, надо отметить реальную возможность ошибок при их применении, проис­ ходящую от того, что предположение о справедливости аксиом мо­ жет оказаться неприемлемым и даже соответствующая терминоло­ гия — существенно неадекватной. Например, применение теории линейных цепей может привести к ошибкам в случаях существенной нелинейности элементов или связей; то же относится к применению теории движения идеальной жидкости в случаях существенного влияния ее вязкости; предположение о показательном распределе­ нии интервала между заявками и времени обслуживания может привести к качественно неверным выводам при анализе систем массового обслуживания и т. п. Эта неадекватность может усугуб­ ляться психологическими причинами, о которых говорилось в п. 3.7.

Прикладная дисциплина не может сводиться к своим матема­ тическим разделам; неформальные, содержательные соображения, а с ними и рациональные рассуждения должны играть в ней опре­ деляющую роль.

13. Роль примеров. Трудно преувеличить роль примеров пр выборе метода исследования того или иного класса прикладных математических задач, при анализе и отработке этого метода и его элементов. Они призваны играть роль моделей для исследуемой модели реального явления, и потому к ним полностью относятся высказанные в § 4 соображения по поводу адекватности и простоты.

242 ГЛ. 2. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ МЕХАНИКИ

Каждый пример имитирует исследуемую модель, вообще говоря, лишь по некоторым ее свойствам, причем иногда лишь в процессе рассмотрения примера выясняется — по каким именно. Серия примеров, имитирующих различные свойства модели, способствует пониманию этих свойств в более общем интересующем нас случае; об этом мы говорили в п. 3.2г. Примеры часто удается исследовать значительно детальнее и с более высокой степенью достоверности (во многих случаях на полностью дедуктивном уровне), чем основ­ ную модель; этим создается правильная интуиция в рассматрива­ емой области *). Именно поэтому гипотезы часто оказывается полезным проверять на примерах; более того, разбор примеров может сам подсказать гипотезы, относящиеся к более общей или к аналогичной ситуации. Конечно, справедливость гипотезы для от­ дельного примера не может служить доказательством этой гипотезы в общем случае, но эта справедливость повышает правдоподобие гипотезы, если пример представляется характерным, а ее проверка для серии примеров может довести правдоподобие до практически

С другой стороны, разбор даже отдельного примера (если он не относится к категории «искусственно противоречащих» — см. п. 3.2а) может о п р о в е р г н у т ь гипотезу и тем самым удер­ жать от неправильных путей и ошибочных выводов. Поучительная история описана в книге [253, § 26]. Лагранж в первом издании «Аналитической механики» (1788 г.) и во втором издании (1811 г.), а также Лаплас в «Небесной механике» ошибочно утверждали, что при исследовании эволюции автономной системы вблизи состояния равновесия в случае равных собственных значений обязательно появляются члены вида t cos pt или teXt и что поэтому для устойчи­ вости состояния равновесия системы без диссипации необходимо, чтобы собственные значения были различными. На данную ошибку впоследствии указали Вейерштрасс и О. И. Сомов в 1858—1859 гг. По этому поводу Томсон и Тэт писали (цитируется по [256, с. 150]):

*) С. К. Годунов и В. С. Рябенький пишут [99, с. 9 — 10): «Современная вычислительная техника и накопленный опыт позволяют с помощью разност­ ных схем приближенно вычислять решения очень сложны х и плохо поддаю ­ щихся исследованию другими методами задач. Уверенность в том, что реш е­ ние вычислено правильно, достигается применением той же вычислительной схемы для расчета немногих задач, точные решения которых заранее извест­ ны, сопоставлением результатов расчета с физическим экспериментом в том диапазоне параметров, где этот эксперимент возможен, и с помощью других методов, которые нельзя считать математически строгими. (Точнее, строгими с точки зрения чистой математики.— Авт.) Н о понимание сущности дела, необходимое для построения пригодных разностных схем, достигается путем рассмотрения серии правильно подобранных модельных задач, достаточно простых для детального изучения на принятом в математике уровне строго­ сти, но все же улавливающ их те или иные интересующие нас черты исходной задачи, недоступной для строгого изучения либо ввиду сложности, либо ввиду недостатка времени»,

заинтересоваться вопросом, можно ли пользоваться формулой (66), если

колебаний. Примем для определенности, что применение*зависимости (66) допустимо, если подсчитанная по ней амплитуда колебаний отличается от результата, который дает уточненная формула (67), не более чем на 5 % , Тогда мы получаем неравенство (sin и)!и > 0 ,9 5 , откуда и < 0 ,5 5 , т. е. й)<>т< 1,1. Другими словами, длительность т этапа возрастания силы должна быть мень­

чески еще более важный результат аналогичного характера. Очевидно, что если внеш няя сила F0 возрастает достаточно медленно, то процесс является квазистатическим, т. е. можно принять, что отклонение осциллятора про­ порционально этой силе: х —F(t)ic, где с ~т соо — коэффициент жесткости. Однако насколько медленным долж но быть для этого возрастание силы? Положим, как и выше, что сила сначала возрастает по линейному закону за время т, а потом остается постоянной, и примем, что процесс можно считать

квазистатистическим, если при t > т осциллятор в процессе колебаний откло­ няется не более чем на 5 °Ь от равновесного положения x^—Fjc, Тогда в

Аналогичным образом в задаче о гармоническом возбуждении линейного осциллятора с диссипацией энергии можно было бы про­ анализировать влияние конечного времени возбуждения, отклоне­ ние реального закона возбуждения от гармонического и т. д.

Думается, что оценки подобного рода были бы полезны в учеб­ никах механики для разъяснения понятий «мгновенный скачок» и «квазистатическое нагружение» и т. п. не только с качественной, но и с количественной точек зрения.

Интересный анализ уточнения математической модели задач баллистики приведен в [309, с. 19—29].

15. ЭВМ. Прикладная математика имеет с вычислительной ма­ тематикой обширные пересечения. Почти все реальные вычисления, проводимые в настоящее время, а также соображения, связанные с формулировкой вычислительной задачи, выбором эффективных вы­ числительных методов и их усовершенствованием и т. п., непосред­ ственно относятся к прикладной математике, составляют ее неотъ­ емлемую часть. Вместе с тем вычислительная математика включает

многие вопросы, не имеющие целью реальные вычисления и изу­ чаемые на чисто дедуктивном уровне, которые более естественно отнести к чистой математике; впрочем, и из разработок таких во­ просов часто бывает возможно извлечь ту или иную прикладную пользу. (Об этих двух аспектах вычислительной математики см. 114, с. 1191, а также [361, где приведен содержательный анализ методологических проблем прикладной вычислительной матема­ тики.)

У нас нет возможности останавливаться на вопросах вычисли­ тельной математики, даже органически связанных с приложениями. Мы ограничимся указанием на книгу Н. С. Бахвалова [281, значи­ тельно выходящую за рамки обычного курса вычислительной мате­ матики и нацеленную на применение вычислений в реальных ус­ ловиях, причем автор подробно останавливается на многих возни­ кающих при этом проблемах, включая отношения с «заказчиком». Роль рациональных рассуждений в этой книге очень велика.

Естественно, что реальным вычислениям и тому, что с ними непосредственно связано, свойственны те подходы и способы рассуждений, о которых говорилось в гл. I в связи с прикладной ма­ тематикой вообще: при рассмотрении теоретически бесконечного процесса для решения задачи важны не только факт сходимости, но и скорость сходимости; сам факт сходимости часто не может быть вполне строго доказан и т. п. *) В частности, важнейший вопрос о необходимой точности вычислений, который может сыграть ос­ новную роль при выборе вычислительного метода, решается на не­ формальном уровне с учетом реального смысла задачи, потребно­ стей, возможностей измерения, вычислительных средств и т. д.**).

кация, опыт и интуиция вычислителя. Математическая строгость не является здесь самоцелью. Строгий математический анализ задач вычислительной практики всегда оставляет некоторые вопросы нерешенными. Практические расчеты требуют таланта, знания и опыта, способности схватывать сущность задачи и выбирать комбинации известных методов, а также умения использо­ вать строгий математический язык для адекватного описания трудностей проблемы». Р. В. Хемминг, заверш ая свою книгу [3321, в которой рациональ­ ные рассуждения играют выдающуюся роль, пишет [332, с. 3981: «Для про­ гресса машинной математики очень важно, чтобы интуитивные методы, ко­ торыми мы теперь пользуемся, были более ясно поняты и приведены, на­

кой-то степени формализованным, но именно «в какой-то степени», а не до конца», он «...долж ен быть разумным сочетанием формальных и неформаль­ ных процедур». Аналогичные вопросы обсуждаю тся в [4381.

**) Все зто дало основание для вывода, сделанного Р . Хеммингом [332, с. 99|: «Здравая вычислительная практика требует постоянного исследования изучаемой задачи не только перед организацией вычисления, но также в про­ цессе его развития и особенно на той стадии, когда полученные числа пере­ водятся обратно и истолковываются на языке первоначальной задачи».

246 ГЛ. 2. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ МЕХАНИКИ

Сказанное в полной мере относится к ЭВМ, предназначенным

на машине включает три этапа: планирование, выполнение плана и интерпре­ тацию результатов... На первом этапе все расчеты носят, как правило, х а ­ рактер набросков, в которых определяется объем вычислений, машинное время и т. д ... Начальный этап включает в себя оценки времени программи­ рования, кодировки, машинного времени, оценки того, когда будут получены результаты и как они будут использованы .

Обычно в процессе решения задачи возникает обратная связь между постановкой задачи и вычислением, и потому точная постановка всей задачи возможна лишь после начала вычислений. Тем не менее выходить на машину нужно, лишь тщательно выполнив этап планирования.

На этапе «выполнения» план часто меняется... В фазе «интерпретации» необходимо не только обсудить и объяснить результаты, но также и про­ верить, соответствуют ли результаты физической модели и не является ли часть из них следствием формально проведенных вычислений, а не физиче­ ских закономерностей. Кроме того, нуж но объяснить все изменения в плане вычислений... Обычно в математических кругах пренебрегают первой и треть­

третья, которой пренебрегают чаще всего, имеют решающее значение для успеха всей работы».

Огромное значение ЭВМ для прикладной математики сейчас совершенно очевидно *); поэтому мы не случайно связали начало

в математике все еще составляют предмет ожесточенных споров. Математики демонстрируют полную гамму разных отношений к этому вопросу — от рав­ нодушия до враждебности; лишь немногие чувствуют, что вычислительным машинам предназначено сыграть важ ную роль в будущ ем развитии матема­ тики, не говоря уж е об их бесспорной полезности как мощного орудия науч­ ных и технических исследований». В книге [144] приведены примеры того, как эксперимент на ЭВМ позволяет угадать формулировки чисто математи­ ческих теорем (см. также конец п. 5 .7 и [509]); в последнее время все чаще го ­ ворят даж е о возникновении экспериментальной математики, которая так же относится к чистой математике, как экспериментальная физика — к теорети­ ческой [442, 443]. Кроме того, сейчас известен ряд машинных доказательств новых теорем, в основном теорем комбинаторного характера. Так, один из наиболее сенсационных результатов в чистой математике последних лет — решение знаменитой проблемы четырех красок 47 — был получен К. Аппелем и В . Хакеном [374] с помощью ЭВМ IBM 310-168, которая за 1000 часов про­ анализировала огромное количество необходимых вариантов (см. [31]). П ри­ менение ЭВМ к дедуктивному доказательству утверждений, связанных с не­ прерывными переменными, затруднено необходимостью учета влияния ош и­ бок округления. В последние годы появились работы П. С. Панкова, в кото­ рых такой учет проводится на дедуктивном уровне, что дает возможность применить «доказательные вычисления на ЭВМ» и к чистому анализу. Л ю бо­ пытно, что в основе подобных исследований лежит своеобразный постулат об отсутствии сбоев в работе ЭВМ , еще больше расширяющий спектр уровней строгости в чистой математике. (См. также [198, с. 55— 57; 207].)

Д ум ается, что сущ ественно большее влияние ЭВМ на чистую математику обнаружится через несколько десятков лет. Д ело в том, что вычислительные методы, средства и традиции в значительной степени стихийно формируют всю «математическую идеологию»: какие задачи надо сводить к каким (например,

современного периода развития математики с созданием первых ЭВМ. Они не только повысили на много порядков скорость и точность вычислений для известных ранее классов задач *), но и впервые сделали возможным решение с удовлетворительной точ­ ностью и в приемлемое время многих других задач. Однако при этом пришлось видоизменить и даже принципиально заменить многие вычислительные методы, вообще произвести коренные из* менения в «вычислительной идеологии».

Так, значительную роль приобрел вычислительный экспери­ мент, проводимый для подтверждения (вплоть до доказательства на рациональном уровне) или опровержения той или иной гипотезы. Мы упоминали в п. 5.9 о возможности выяснения устойчивости по Ляпунову определенного решения системы дифференциальных уравнений путем его сравнения (с помощью численного интегри­ рования на ЭВМ) с несколькими решениями, для которых началь­ ные данные мало отличаются от исходных. Аналогичным образом можно приближенно вычислять важные числовые характеристики систем дифференциальных уравнений (такие, как, например, ха­ рактеристические показатели4б), осуществлять разбиение про­ странства начальных данных или пространства параметров на области одинакового асимптотического поведения решений и т. п. Правда, при дискретном «прощупывании» (своеобразной пальпации) этих областей всегда имеется опасность того, что их границы будут выяснены не вполне отчетливо, а некоторые интересные, но малые или неудачно расположенные области будут пропущены. Эта опас­ ность тем выше, чем выше размерность пространств и чем более «закрученными» являются интересующие нас области; она может усилиться также при неудачном выборе интервала времени, на котором осуществляется интегрирование, или шага интегриро­ вания. Однако привлечение качественных соображений и здравого смысла позволяет для многих задач выяснить картину с достаточной отчетливостью и достоверностью **).

как отметил Л . А . Люстерник, именно из-за этого мы традиционно сводим линейное автономное дифференциальное уравнение вида P(d/dt)д:= 0 к ал­ гебраическому уравнению Р (Х )= 0 , а не наоборот), на каком этапе задача при­ знается решенной и т. д. Более того, вопрос о том, чем надо заниматься в чис­ той математике, в конечном счете зависит от математических методов реш ения нематематических задач, а сейчас на создание и развитие этих методов с у ­ щественно влияют ЭВМ . Особенно сущ ественно может сказаться это влияние на постановке и методах реш ения задач так называемой конечной матема­ тики {5151.

К настоящему времени первый коэффициент надо увеличить еще раз в сто.

**) Рассмотрение возникающих здесь интересных вопросов содержится, например, в работе 3 , С. Баталовой {26J. В этой работе устанавливается связь между степенью точности и достоверности результатов, полученных при ис­ следовании на ЭВМ стационарных режимов движения динамических систем

Машине можно поручить вычисление практически важных функционалов от решений — экстремальных и средних значений, вероятностных характеристик «стохастических» (см. конец п. 5.8) траекторий динамических систем, когда детальный анализ отдель­ ных траекторий неэффективен, и т. д.

Существенные черты вычислительного эксперимента имеет так­ же широко применяемый в последние годы метод Монте-Карло в его разнообразных вариантах, прежде всего при изучении случай­ ных явлений. Вообще, математические модели таких явлений можно грубо подразделить на два типа: аналитические и статистические (монте-карловские). Первые, связанные с составлением и решением (точным либо приближенным) соответствующих систем уравнений, обычно оказываются удобными для осмысливания, анализа и оп­ тимизации результатов в сравнительно простых задачах. Для более сложных задач статистические модели оказываются не только более эффективными, но зачастую и единственно возможными. Здесь модель реализуется в виде программы для ЭВМ., а случайные ком­ поненты вводятся с помощью датчика случайных чисел; при этом искусственная статистика, полученная при многократном «разыгры­ вании» модели на ЭВМ, автоматически обрабатывается. Именно этот метод прикладного изучения случайных явлений является сейчас основным. Более того, оказалось, что этот метод также наи­ более эффективен для ряда классических вычислительных задач (см. п. 5.8).

В последние годы при изучении сложных экономических, со­ циологических, экологических и т. д. задач широко распростра­ нился характерный для ЭВМ метод, не совсем удачно названный имитационным моделированием. Здесь рассматриваются сложные системы, включающие размытые величины, так что говорить о сколько-нибудь точной модели явления обычно не представляется возможным. Тем не менее, образуя с помощью ЭВМ различные варианты структур, имитирующих реальную ситуацию, и изменяя параметры системы, можно делать полезные выводы о последствиях этого изменения и глубже понять моделируемое явление. По этому поводу см., в частности, (218, 221—223, 348, 361, 495, 525]. Особую роль при имитационном моделировании, как и при других слож­ ных вычислениях на ЭВМ, играет диалоговый режим, организация которого постепенно превращается в новое научное направление. Алгоритмы, включающие в себя человеческое звено, в ближайшие десятилетия могут стать одной из основ прикладной математики. «Самое главное, значительно более важное, чем непосредственный счет, что пришло вместе с ЭВМ в жизнь людей,— это возможность

и временем интегрирования, расстоянием между «пробными» точками в фа­ зовом пространстве, степенью сложности изучаемых режимов и т. п.

Вопросам моделирования динамических систем на ЭВМ специально по­ священа книга [492]. О гносеологических основах математического экспери­ мента см. [305].

объединить формальное и неформальное мышление, естественным образом объединить способность машины во много раз быстрее, точнее и лучше человека делать формальные, арифметические опе­ рации, отслеживать логические цепочки, с удивительными свой­ ствами человеческого интеллекта — интуицией, способностью к ассоциациям и т. д.» (222, с. 8—9].

Значительные перспективы открываются перед ЭВМ в связи с задачами синтеза, выбора оптимальной математической модели и

т.д. *).

Вкачестве примера перестройки психологии, вызванной ЭВМ,

укажем на решение нелинейных дифференциальных уравнений.

В «домашинную» зру считалось само собой разумеющимся, что если

втаком уравнении возможно с помощью некоторой подстановки понизить порядок, то это следует сделать. Например, для решения уравнения

рекомендовалось рассматривать зависимость y fz=zp от у, что при­ водит к уравнению первого порядка pdpldy= f(y, р). Если нам удастся его проинтегрировать, т. е. найти общее решение /?=

=ср(у; Ci), то затем получаем соотношение \d y ly(y\ C1) = x Jr C2

между х и у. Такая процедура при аналитическом исслёдовании решения иногда приводит к цели, однако это удается редко, так что приходится прибегать к численному решению. Но для числен­ ного решения эта процедура плохо приспособлена, менее трудо­ емким оказывается непосредственное интегрирование уравнения (68) без понижения его порядка. Так и надо поступать при работе на ЭВМ.

Таким образом, надо уметь хотя бы совсем грубо оценивать объем вычислительной работы, необходимой для доведения решения задачи до конца. В частности, именно по этой причине вопросы фор­ мального интегрирования в значительной мере потеряли сейчас свое былое значение. Более того, изменился даже смысл выраже­ ния «задать функцию»: функция, получающая как хорошо алгоритмизуемое решение какой-либо задачи (например, задачи Коши для заданного дифференциального уравнения), оказывается ничуть не хуже элементарных функций.

*) Интересные соображения по изменившейся роли ЭВМ в физике вы­ сказал А . А. Мигдал 1210|. Нели раньше ЭВМ применялись для численной обработки построенной теории, то теперь все чащ е— для построения самой тео­ рии, в частности, если соответствующие эксперименты слишком трудны или даж е невозможны. Фактически возникла новая научная область — вычисли­ тельная физика, в которой физические эксперименты имитируются математи­ ческими. Последние могут играть решающую роль при проверке (по косвенно проверяемым физическим данным) гипотез — например, о внутренней струк­ туре кварков. (См. также [3611.)

В качестве другого примера перестройки вычислительной пси­ хологии укажем на вычисление сумм числовых рядов. Ранее для этого широко применялись разнообразные искусственные преобра­ зования; однако при применении ЭВМ в большинстве случаев более эффективным оказывается непосредственное суммирование членов.

Но здесь нельзя действовать вслепую! Распространенным за­ блуждением среди тех, кто не имеет достаточного опыта общения с ЭВМ, является наивная вера в то, что машина справится с любым алгоритмом, какой бы ей ни подсунуть. На самом деле, даже если не учитывать стоимости использования ЭВМ, постепенно выясняет­ ся, что они мощны, но далеко не всесильны. Поэтому при реше­ нии на ЭВМ задачи, уже сформулированной математически, обычно наиболее ответственным пунктом является подготовка задачи к программированию, т. е. выбор и конкретизация вычислительного метода.

Поясним сказанное на простом примере. Допустим, что мы хо­ тим вычислить сумму бесконечного ряда

(69)

причем, уверовав во всесилие ЭВМ, решили не применять никаких ухищрений, а просто подсчитывать и складывать члены ряда, пока они не обратятся в машинный нуль, после чего частные суммы ряда перестанут возрастать. Чтобы оценить необходимое время для вы­ числения по указанной схеме, примем за машинный нуль число 0,5 *10~19 (примерно таково его значение для распространенных ЭВМ средней мощности). Тогда вычисления прекратятся при

1/л2<0,5*10“19, т. е. при п > V 2 1019 « 4,5* 109. Если принять,

что на вычисление и добавление каждого члена тратится 10~5 с, то получим, что общее время вычисления примерно равно 4,5* 109-

• 10“5=4,5* 104 с=12,5 ч. При этом ошибка, как нетрудно оценить, получится на десять порядков больше последних слагаемых.

Описанная схема вопиюще нерациональна. Результат получается гораздо быстрее и точнее, например, если просуммировать 104 первых членов ряда (это займет время порядка I с), а остаток за­ менить по приближенной формуле

(70)

П - 1/2

точность которой имеет порядок 0,1 /z~3. (Конечно, в данном при­ мере можно было воспользоваться и справочниками, согласно ко­ торым S = it2/6, но это лишь счастливый случай — как правило, числовые ряды редко «свертываются» в конечные выражения через известные константы.) Так и в более жизненных ситуациях квали­ фицированное преобразование математической модели и приме­