книги / Механика и прикладная математика логика и особенности приложений математики

нение современных вычислительных методов порой может умень­ шить время громоздкого вычисления во много раз.

При применении ЭВМ возникает ряд важных специфических проблем. Машина обычно выдает решение в виде дискретных чисел, поэтому, если только решение не состоит из одного или небольшого количества таких чисел, возникает проблема придания решению такой формы, чтобы можно было его обозреть и им пользоваться. Особого внимания требуют задачи, содержащие параметры. Пусть, например, мы хотим составить таблицу, по которой можно было бы решать полное кубическое уравнение

Если допустить, что каждый из параметров а, 6, с, d может принимать 50 значений — а это не так уж много,— то всего полу­ чится 504^6* 106 комбинаций этих значений. Средней ЭВМ для выдачи результатов потребуется около месяца непрерывной работы (основное время уйдет на печать), а результаты займут около 200 км ленты.

Вообще, для многих людей, только что освоивших технику ра­ боты на ЭВМ и пораженных ее мощностью, характерно стремление получить как можно больше численных результатов на основе наив­ ного принципа «чем больше информации, тем больше пользы». Но часто этим людям грозит опасность захлебнуться в полученном мо­ ре цифр — проблема извлечения полезного вывода из этого моря может оказаться более сложной, чем исходная задача. Ситуация напоминает легенду об ученике волшебника, который в отсутствие учителя вызвал джинна и велел ему носить воду, но не смог его остановить вовремя и в результате чуть не утонул. Поэтому весьма актуальным является один из основных тезисов, неоднократно подчеркиваемый Р. Хеммингом 13321: прежде чем решать задачу,

подумай, что делать с ее решением.

На самом деле положение с таблицей для решения уравнения (71) не такое уж печальное. С помощью подстановки

содержащему всего один параметр г. Таблицу значений решения последнего уравнения в зависимости от этого параметра уже не­ трудно составить с помощью ЭВМ, даже если ему придать не 50, а 5000 значений. В результате решение уравнения (71) будет нахо­ диться с помощью двух одновходовых таблиц (кубических корней и z(r)) и простых арифметических действий; это, конечно, несрав­ ненно проще, чем составление и применение таблицы с четырьмя входами.

Ошибки округления при вычислении интегралов и решений диф­ ференциальных уравнений могут создать парадоксальную ситуа­ цию: с целью увеличения точности результата мы измельчаем шаги, но если применяемый метод выбран неудачно («неустойчив» в вы­ числительном отношении), то из-за увеличения числа действий ошибки округления начинают сказываться сильнее и итоговая по­ грешность возрастает. Поэтому проверка вычислительной устойчи­ вости применяемого метода и вообще влияния округления является существенной частью многих вычислений на ЭВМ. Для некоторых сравнительно простых классов задач удается провести строгое тео­ ретическое иссле ование дедуктивного аналога вычислительйой устойчивости, которое позволяет понять, какие факторы и как влияют на эту устойчивость.

Часто бывает удобно, в том числе и для сложных задач, выяс­ нить влияние ошибок округления эмпирически; выработан ряд методов для этого, описанных, например, в [332, гл. 2]. Эти методы сводятся в основном к проведению повторного вычисления, ошибки округления в котором не должны координироваться с ошибками в первом вычислении. Например, можно произвести повторное вычисление с удвоенной точностью или с одной недостающей зна­ чащей цифрой во всех вычислениях и сравнить результат с исход­ ным. При решении дифференциальных уравнений для контроля можно применить повторное вычисление с измененным шагом. При этом полезно иметь в виду, что если зависимость или независимость результата вычислений от ошибок округления установлена при ка­ ких-то исходных данных для вычисления, то тот же вывод — во вся­ ком случае для линейных задач — имеет место и для любых других исходных данных. Существенное влияние ошибок округления часто обнаруживается также путем сравнения результатов вычисления с ожидаемым по смыслу задачи, так как чаще всего такое влияние порождает быстро разрастающиеся осцилляции и даже переполне­ ние ячеек (в примере с вычислением 11п переполнение наступило бы при я » 24), что совершенно не согласуется с реальным смыслом *).

В связи с вопросом о влиянии ошибок округления упомянем еще об одной особенности решения задач на ЭВМ, когда речь идет о расходящихся рядах и других подобных объектах. Пусть, напри­ мер, рассматривается гармонический ряд 1+(1/2)+(1/3)+... . Как известно, он расходящийся, т. е. сумма его равна бесконечности. Однако если поручить ЭВМ вычислять эту сумму, то, казалось бы, из-за округлений и наличия машинного нуля частные суммы начи­ ная с некоторого номера перестанут возрастать, т. е. мы получим

*) Н. Бейли [30, с. 116] пишет по этому поводу: «Не следует недооцени­ вать значения общей научной интуиции. Именно ей мы обязаны, по-видимо­ му, тем, что ученые допускают грубые числовые ошибки не так уже часто, как этого можно было бы ожидать».

254 ГЛ. 2. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ МЕХАНИКИ

результат конечным. Не указывает ли это на качественную ошибку, возникающую вследствие использования ЭВМ?

На самом деле реальная опасность подобных ошибок совсем не велика, если, конечно, не вычислять вслепую. Прежде всего члены рассматриваемого ряда убывают чрезвычайно медленно, что уже само по себе должно насторожить наблюдательного исследова­ теля. Так, если принять, как и выше, что машинный нуль равен 0,5 10~19, а на добавление одного члена ряда уходит 10“5 с, то до получения итоговой суммы машина должна работать 2 • 1019 • 10~3 с= - 2 • 1014 с 6 миллионов лет (впрочем, сама сумма получилась бы близкой всего лишь к 45). Даже применение больших машин уменьшило бы этот срок всего в 100 раз. Если же мы будем искусст­ венно останавливать вычисления, скажем, через 1, 2 и 3 мин рабо­ ты машины, то получим значения, не имеющие отчетливой тенден­ ции к сходимости (при указанном выше быстродействии получаются соответственно значения 16, 18; 16, 88; 17, 28 *)), что не позволяет принять частную сумму ряда за его полную сумму.

Интересно, что даже если проводить вычисления вручную с гораздо меньшим числом цифр, то элементарный контроль не дает возможности принять расходящийся ряд за сходящийся. Например, если округлять члены гармонического ряда до 0,1, то его сумма окажется равной 3,6; но если для контроля провести округление до 0,01, то сумма окажется равной 6,16, что сразу показывает общую ненадежность вычислений. (Для ряда (69) получились бы значения соответственно 1,4 и 1,59.)

С проблемой влияния ошибок округления непосредственно свя­ зана проблема так называемой обусловленности системы уравнений, из которой определяются интересующие нас величины. Если эта система уравнений образована неудачно («плохо обусловлена»), то малое изменение исходных данных может привести к немалому из­ менению решения, даже если вычисления проводились бы с абсо­ лютной точностью. А так как исходные данные обычно устанавли­ ваются с помощью измерения, которому присуща определенная погрешность, го решение, полученное из подобной системы, являет­ ся тем менее надежным, чем хуже ее обусловленность. Кроме того, плохо обусловленные системы особенно чувствительны к ошибкам округления при вычислениях.

Приведем сознательно утрированный пример плохо обусловленной системы двух уравнений первой степени с двумя неизвестными {188, с. 163— I64J:

Если считать здесь все величины совершенно точными, то эта система имеет решение х - 1,00001, у ~ 1. Однако стоит правую часть второго урав­ нения заменить на 2Щ0003, как решение станет совершенно иным: х = 0 ,00001,

*) Отметим кстати, что даже для довольно медленно сходящегося ряда (69) в результате таких остановок получилось бы одно н то же значение 1,644934, что рационально указывает на близость к пределу*

у ~ 2. В этом примере причина плохой обусловленности, очевидно,— в ма­ лости определителя системы (74) или, геометрически,— в чрезвычайной малости угла, под которым пересекаются прямые (74) в плоскости х, у.

В более сложных случаях плохая обусловленность может быть совсем не очевидной, тем более, что она не вызывает препятствий для решения задачи на ЭВМ. Как и вычислительная неустойчивость, она может быть обнаружена либо из теоретических соображений, либо эмпирически — путем повторного вычисления с измененными

врамках реально осмысленной точности исходными данными. Аналогичные трудности возникают при рассмотрении некор­

ректных задач, для которых как угодно малое изменение исходных данных может привести к существенному изменению или даже к ис­ чезновению решения. Систематическое исследование некорректных задач, начатое в известных работах А. Н. Тихонова, привело к раз­ витию методов регуляризации, т. е. к своеобразной корректизации (см., в частности, [307, 308]), при практическом применении кото­ рых существенно используются рациональные переходы.

До последнего времени широкому внедрению ЭВМ препятство­ вал в основном психологический барьер, хотя составлению про­ грамм для ЭВМ на алгоритмических языках в простых случаях ус­ пешно обучают даже рядовых школьников. И сейчас еще иные ис­ следователи по существу боятся ЭВМ, так же как наши предки боялись «неберущихся» интегралов, трансцендентных уравнений, дифференциальных уравнений, не разрешимых в квадратурах, и т. п. Вместо того чтобы принципиально изменить подход к таким интегралам и уравнениям, ученые продолжали искать новые случаи интегрируемости, что существенно ограничивало возможности при­ ложений математики. Аналогичная ситуация возникает порой в связи с ЭВМ.

Встречается и противоположный «уклон», о котором мы упоми­ нали выше, основанный на непонимании возможностей ЭВМ,— представление о том, что машина справится с любым алгоритмом, так что вопрос о выборе и совершенствовании этого алгоритма не столь уж важен.

Для органического включения ЭВМ в прикладные математиче­ ские исследования требуются психологическая перестройка, глу­ бокое изменение многих навыков, подходов и точек зрения; на этом, в частности, подробно останавливается В. И. Феодосьев [324, гл. X]. В домашинный период в прикладной математике доминиро­ вало «аналитическое вйдение», операции с числами появлялись лишь на заключительном этапе исследования и не требовали особой квалификации. Теперь же аналитический и алгоритмический (в осо­ бенности, машинный) способы мышления должны взаимодействовать на всех стадиях исследования, иногда даже начиная с построения математической модели и, во всяком случае, при выборе метода ее исследования. При этом приходится существенно изменить многие привычные домашинные представления. Например, нелинейность

256 ГЛ. 2. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ МЕХАНИКИ

задачи, которая раньше всегда считалась признаком ее сложности, теперь для широких классов задач особых затруднений не вызывает; гораздо более серьезной трудностью для машин является увеличе­ ние числа существенных независимых переменных или параметров. Если раньше одной из основных целей математических преобразова­ ний было выражение решения через табулированные функции, то теперь отсутствие таблиц обычно препятствием не является, так как ЭВМ может тем или иным способом вычислять необходимые значе­ ния функций без приведения их к табулированным. (При многократ­ но повторяющихся вычислениях роль, аналогичную таблицам, иг­ рают стандартные программы, но их составление, как правило, не­ сравненно проще, чем составление таблиц с той же детализацией.) Если раньше при исследовании дифференциальных уравнений важ­ нейшую роль играло отыскание подстановок, с помощью которых уравнение приводилось к интегрируемым типам, то при применении ЭВМ формальная интегрируемость несущественна, а подстановки направлены в основном на понижение размерности задачи. Значи­ тельно повысилась роль универсальных методов *) и т. д.

Однако грубо ошибочной была бы мысль, что применение ЭВМ делает излишним получение аналитических (точных, приближен­ ных, асимптотических) формул и методов, «ручной» счет с помощью микрокалькулятора и простого карандаша! Аналитические реше­ ния, когда они возможны, часто обладают неоценимым преимущест­ вом из-за своей компактности, особенно если задача включает пара­ метры или решение получается как функция нескольких независи­ мых переменных. Асимптотические формулы успешно действуют в случаях, когда применение численных методов вообще становится затруднительным. «Ручной» счет из-за своей мобильности наиболее приспособлен к выполнению прикидочных расчетов, которые следует производить как можно чаще, в том числе и при подготовке более объемных вычислений. Таким образом, применение ЭВМ призвано

ложения математики **). Это тем более существенно, что само по себе обращение к ЭВМ вовсе не всегда свидетельствует о прогрес­ сивной методике. Более того, бездумное применение ЭВМ может

*) В. И. Феодосьев [324, с. 1551: «Если машина включается в процесс исследования как составная часть логического аппарата, то естественно* что методы анализа должны менятьсяР Те тропы, по которым прежде ходили с вьюками, для машины, конечно, оказываются неудобными. Быстрее к цели приводят объездные серпантины, может быть, более длинные с виду, но более короткие по существу».

**) Описав случаи, когда аналитическое исследование задачи дало воз­ можность решить ее на ЭВМ за доступные сроки, а также предотвратить принципиальные ошибки, А. Б. Мигдал пишет [212, И, с. 104J: «...раньше чем пользоваться счетными машинами, задачу необходимо всесторонне иссле­ довать аналитическими методами. Аналитические методы — «старое, нг грозное оружие» — не теряют своего значения».

Роль волевых действий особенно велика, если необходимо удовлетворить нескольким требованиям, которые могут противоре­ чить друг другу: например, если надо выбрать модель или решение, адекватные по нескольким характеристикам, или когда приемлемое решение нужно получить по возможности быстрее и т. п. Здесь, по существу, возникают многокритериальные задачи на оптимизацию, к тому же осложненные сильно размытым характером участвующих величин.

По поводу таких задач И. Грекова пишет [101, с. ПО— 1111: «Часто споры разворачиваются вокруг того, что следует понимать под «оптимальным ре­ шением». Классическая математика тоже знает задачи оптимизации, но в идеально четкой постановке, когда ищется решение, обращающее в максимум (минимум) одну-единственную скалярную величину (целевую функцию). Это идеальная схема крайне редко встречается в реальных задачах, по край­ ней мере достаточно сложных. Почти все такие задачи оказываются много­ критериальными (задачи с векторной целевой функцией). Одни из критериев желательно обратить в максимум, другие — в минимум (например, валовой объем продукции — в максимум, фонд заработной платы — в минимум, прибыль — в максимум и т. д.). Эти требования, как правило, взаимно про­ тиворечивы: не существует решения, удовлетворяющего всем им сразу. Попытки объединить несколько критериев в один обобщенный и оптимизи­ ровать решение по этому критерию обычно не дают должного эффекта и часто оказываются даже вредными, создавая иллюзию научного обоснования там, где его, по существу, нет. Здесь приходится, как и при согласовании разных точек зрения, искать форму разумного компромисса (такое решение, чтобы, так сказать, «и волки были сыты и овцы целы»).

Математические методы оптимизации при всем их совершенстве и изощ­ ренности мало чем могут помочь в такой ситуации. До сих пор в математике полноценной «теории компромисса» не существует (и, возможно, в принципе не может существовать.— Авт.). Правда, в теории статистических решений некоторые попытки подобного рода имеются, но они обычно приводят к ре­ шениям, резко неустойчивым по отношению к точке зрения. Пока что прак­ тически единственной инстанцией, способной быстро и успешно вырабаты­ вать компромиссное решение, является человеческий разум, так называемый «здравый смысл». Человек до сей поры — непревзойденный мастер компро­ мисса, и без его участия решение в многокритериальной задаче (не оптималь­ ное, может быть, ни по одному критерию, но приемлемое по их совокуп­ ности) пока что выбрано быть не может. Математика в ее современном виде может оперировать только понятиями «больше», «меньше», «равно», но не понятиями «приемлемо», «практически равноценно» и т. д., характерными для человеческого мышления. По-видимому, не всякое «лучше — хуже» может быть сведено к «больше — меньше» (или, если может, мы часто не знаем, как это делается). Принимая решение, человек, не вдаваясь в излиш­ ние подробности,, окидывает общим взглядом ситуацию в целом и выбирает приемлемый вариант. Что касается математики, то ее дело в подобных слу­ чаях — не выдать окончательное решение, а помочь человеку его выбрать. Дать человеку, принимающему решение, максимум нужной ему информации в выразительной, удобовоспринимаемой форме; показать, к каким послед­ ствиям приведет (по ряду критериев) каждый из возможных вариантов решения, предварительно отбросив все неконкурентоспособные.

Такое математическое моделирование ситуации часто может заменить недостающий человеку опыт (когда речь идет о ситуациях новых, неизучен­ ных, о мероприятиях, опыта проведения которых нет). Кроме того, возможна «передача» опыта от человека (или коллектива), искусного в выборе решений, машине, автомату, постепенно вырабатывающему формализованный алго­ ритм выбора решения (так называемые адаптивные или обучаемые алгоритмы).

К созданию таких алгоритмов могут быть привлечены любые средства (ска­ жем, «экспертные оценки», «механизмы голосования» и т. п.), весьма далекие от математической традиции. Каждый из таких методов может быть применен, но при одном условии — его не надо фетишизировать, объявлять полученный результат «окончательной истиной в последней инстанции». Проблемы жи­ вут, их решения также живут, видоизменяются, взаимно отменяют друг друга — так и быть должно».

О трудностях, связанных с формированием целевой функции, см. также [507].

§ 6. Анализ и интерпретация математических результатов

«Истина всегда оказывается проще, чем можно было предположить».

Р. Фейнман [323, с. 189]

1. Предварительные замечания. Выше уже говорилось, что ана­ лиз и интерпретация математических результатов образуют само­ стоятельный этап прикладного исследования *). Будучи заключи­ тельным этапом, открывающим прямой выход в практику, он должен завершаться возможно более четкими и компактно сформу­ лированными ответами на вопросы, ради выяснения которых было предпринято исследование (а возможно, и на те вопросы, которые возникли лишь в ходе исследования).

Конечно, непременными элементами анализа служат выявление общих свойств изучаемого объекта, исследование возможностей возникновения тех или иных критических состояний, выяснение влияния параметров и т. п.; мы лишены возможности даже пере­ числить такие элементы, поскольку их состав решающим образом зависит от конкретного объекта и целей исследования. Но подобные, очевидно необходимые элементы образуют «анализ» лишь в непо­ средственном и узком смысле слова, и ими не должно исчерпываться все содержание обсуждаемого здесь заключительного этапа. Полно­ ценная разработка этого этапа в значительной мере определяется наличием еще некоторых немаловажных элементов; к ним, в первую очередь, относятся:

а) общая апробация приемлемости исследования в целом; б) обсуждение результатов не только в заранее намеченных аспектах: не исключено, что при этом будут обнаружены интерес­ ные и важные факты, о существовании которых мы заранее не подо­

зревали; в) выразительное и экономное представление результатов, на­

целенное на непосредственные практические применения.

Общая характеристика этих элементов дается в пп. 6.2—6.4.

2. Общая апробация исследования. Коротко говоря, здесь имеет­ ся в виду сопоставление найденных результатов с независимо уста­

*) На этом этапе применительно к задачам физики останавливается, в частности, Р. Фейнман [323, с. 190— 191}.

9*

260 ГЛ. 2. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ МЕХАНИКИ

новленными и практически достоверными фактами. К ним прежде всего относятся надежные экспериментальные данные (по понятным причинам большей убедительностью обладает сопоставление с опыт­ ными данными, полученными другими исследователями); при этом, чем менее очевидны теоретические результаты, получившие экспе­ риментальное подтверждение, тем существеннее возрастает доверие к теории. Некоторые из полученных результатов могут быть сопо­ ставлены с результатами, известными из других, независимых теоретических исследований. Все такие подтверждения повышают внешнее правдоподобие элементов принятой модели (в частности, гипотез, положенных в ее основу) и модели в целом; как говорят, происходит верификация модели.

Иногда бывает трудно с помощью непосредственного экспери­ мента судить о сравнительных достоинствах нескольких конкуриру­ ющих гипотез, но относительно легко сделать выбор, если прове­ рять в эксперименте не сами гипотезы, а более или менее далекие следствия из них. В таких случаях окончательный выбор гипотезы приходится откладывать до обсуждаемого здесь этапа; после того как надлежащий выбор сделан, обычно приходится вернуться назад и глубже изучить свойства избранной теоретической модели, а иног­ да и более или менее существенно перестроить ее (тем самым назван­ ный этап окажется не заключительным, а лишь промежуточным).

Так, при решении задач динамики упругих систем часто приходится выбирать между двумя гипотезами относительно свойств внутреннего трения в материале, но оказывается затруднительным прямым образом проверить, какая из них верна для того или иного конкретного материала. Однако можно воспользоваться, например, тем, что из одной гипотезы (гипотеза о линейно­ вязком трении) следует, что темп затухания свободных колебаний связан с частотой колебаний, а из другой (гипотеза об «амплитудно-зависимом» трении) — что он не зависит от этой частоты. Эти следствия допускают не­ сложную экспериментальную проверку по следующей схеме. На конструк­ ции, изготовленной из исследуемого материала, нужно поочередно закрепить два существенно различных груза с тем, чтобы низшие собственные частоты (определяемые в основном массами подвешиваемых грузов) заметно разли­ чались. Последующее сравнение двух экспериментальных виброграмм сво­ бодных затухающих колебаний сразу позволит установить, зависит ли темп затухания от частоты, и тем самым сделать выбор между гипотезами. Ко­ нечно, не исключено, что эксперимент не даст надежного подтверждения ни одной из гипотез (так будет, например, если материалом служит стеклопла­ стик),— тогда возникает необходимость поисков иной, третьей гипотезы; ее содержание, возможно, будет подсказано результатами того же экспери­ мента.

Другим примером может служить выбор кинематической гипотезы, полагаемой в основу технической теории поперечного изгиба балок. Срав­ нительно недавно появилась альтернатива обычно излагаемой в курсах со­ противления материалов теории (теории Бернулли— Эйлера). Можно по­

*) Такой теорией пользуются при анализе динамического поперечного изгиба кирпичных столбов и стен, в частности, в динамических задачах проек-