книги / Механика и прикладная математика логика и особенности приложений математики

Вообще злоупотребление формальной стороной теории вероятностей в ущерб здравому смыслу — беда многих псевдоприкладных работ, где математиче­ ский аппарат не средство, а цель. Ряд соображений по этому поводу содер­ жится в интересной, хотя и не бесспорной, брошюре В. Тутубалина [313].

Применение теории вероятностей в ситуациях, где налицо статистиче­ ская устойчивость и имеется нужная информация, вполне оправдано и может давать хорошие результаты. Не так обстоит дело в ситуациях, где вообще никакой информацией мы не располагаем. Такими задачами (выбором ре­ шения в условиях полной неопределенности) занимается теория статистиче­ ских решений. Полностью отрицать пользу этой теории нельзя, кое-какие прикидки она позволяет сделать, но не нужно переоценивать ее возможно­ сти. Там, где нет информации, решение получается неизбежно плохое, и лучше не корпеть над его обоснованием, а попытаться получить нужную информацию. Тем более что в ряде случаев для успешного выбора решения нужна не полная информация, а сравнительно ограниченная (см. [1161).

Вообще никогда не надо забывать, что отсутствие информации — беда, а не преимущество исследователя, хотя именно в условиях отсутствия инфор­ мации он имеет случай щегольнуть наиболее изысканными методами. Здраво поставленные задачи должны и решаться сравнительно просто. Печально положение, когда математика начинает глушить здравый смысл. Из двух альтернатив «математика без здравого смысла» и «здравый смысл без матема­ тики» предпочтение, безусловно, надо отдать второй. Разумеется, всего лучше, когда работает и то и другое, когда математические расчеты все время про­ веряются «на здравый смысл». Но так бывает далеко не всегда. Математиче­ ский аппарат имеет некое гипнотическое свойство, и исследователи часто склонны безоговорочно верить своим расчетам, и тем больше верить, чем «кудрявее» примененный аппарат, чем больше времени (своего и машинного) потрачено и чем больше бумаги исписано.

При нынешней «моде» на математику, в условиях густого потока ин­ формации, записанной на языке формул, очень трудно отличить подлинное от кажущегося, настоящую науку — от наукообразия. Слишком часто у нас применение математических методов понимают как чистое и абсолютное благо; считается, что любая математизация — шаг вперед...».

Заключим сказанное словами В. В. Налимова [236, с. 1761: «Наряду с математизацией знаний происходит и математизация глупостей; язык мате­ матики, как это ни странно, оказывается пригодным для выполнения любой из этих задач».

4. Математические ошибки. В предыдущих параграфах мы уже приводили примеры ошибок чисто математического характера, так что теперь мы только выскажем несколько простых общих сообра­ жений. Интересная классификация математических ошибок содер­ жится в {353, с. 240—250]; хотя там речь идет о чистой математике, многие соображения имеют непосредственное значение и для при­ кладной.

Виды грубых математических ошибок необозримы. Нам прихо­ дилось сталкиваться и с разложением разрывной функции в степен­ ной ряд, и с пропуском дельта-слагаемых при дифференцировании разрывных функций, и с почленным дифференцированием неравенств и т. д. Конечно, иногда ошибку можно «почувствовать» на основе

в целом какие-либо полезные рекомендации, за исключением триви­ альной — овладевать теми областями математики, которые прихо­ дится применять, а в сложных и сомнительных случаях обращаться

282 ГЛ. 3. СУБЪЕКТИВНЫЕ ПРОБЛЕМЫ

к специалистам,— здесь дать затруднительно. Мы уже писали, что прикладное математическое исследование, как правило, не может и не должно по своей строгости находиться полностью на уровне чистой математики, но из этого не следует, что исследователь может допускать математические ошибки, приводящие к неверным резуль­ татам *).

Математические ошибки могут возникать также из-за недоста­ точной разработанности той или иной области математики в аспекте ее приложений, так что условие возможности применяемых пере­ ходов — упрощений, отбрасываний и т. п.— являются недостаточ­ но ясными. В результате может получиться, что исследователь приходит к неправильному решению, искренне думая, что он лишь упрощает результат или даже уточняет его. Примером может слу­ жить теория дифференциальных уравнений с отклоняющимся ар­ гументом на начальной стадии ее применений. Так, для уравнения

x'(t)= ax{t—т).

с «запаздыванием» т во времени в качестве одного из первых методов приближенного исследования был предложен метод замены правой части по формуле Тейлора:

с тем, чтобы перейти к обычному дифференциальному уравнению. При этом высказывалось мнение, что этот метод тем более точен, чем больше N. Однако позже было обнаружено, что при N>1 (а> 0) и при N > 2 (а < 0) этот метод приводит к качественно неправильным результатам, если не принять тщательных мер предосторожности. (Это аналогично тому, что получается при рассмотренной в п. 4.7 замене уравнения (22) на (23).) Кажущееся уточнение в действи-

*) Приведем любопытный исторический пример. В эпоху Кавальери при выводе метрических соотношений геометрии плоскую фигуру считали состоящей из отрезков» а линию — из точек* В частности, при рассмотрении эллипса с полуосями а, Ъкак результата сжатия круга были получены форму­ лы S = n a b для его площади и L = n (a+b) для его длины* Здесь первая формула

однако такого рода контроль экстремальной ситуации (п. 4.11) стал типич­ ным для более позднего периода. Развитая впоследствии методика действий с бесконечно малыми легко показывает, почему в одном случае получился правильный, а в другом — неправильный результаты,

X. Розенброк и С. Стори [279, с. 30—31]: «Инженер... часто будет стал­ киваться с проблемами, ...для которых в чистой математике не существует строго обоснованных методов решения. В таком случае «нащупывание» фи­ зической ситуации является ведущим принципом для того, чтобы избежать ошибок. Эти замечания не означают, что инженер может позволить себе пре­ небрегать математической строгостью. Инженер, который получает неверные результаты благодаря математическим ошибкам, плохой инженер. Он должен рассматривать строгость не как вещь в себе, а как средство избежать подоб­ ных ошибок. В то же время не следует забывать, что существует значительно большая вероятность получить неверные результаты вследствие некоррект­ ной формулировки задачи» чем из-за математических ошибок».

284 ГЛ. 3. СУБЪЕКТИВНЫЕ ПРОБЛЕМЫ

т. еа

любых трех соседних узлах, расположенных друг относительно друга так, как это показано на рис. 27. Кроме того, в силу началь­ ного условия известны все значения Ujo=y(jh). Это дает возмож­ ность, полагая в (80) k=0, вычислить все значения Uju затем, поль­ зуясь этими значениями и полагая в (80) k=l , вычислить все Uj2 и т. д. Может показаться, что какие бы мы h и т ни взяли, лишь бы они были достаточно малыми, мы получим искомое решение с хоро­ шей точностью, поскольку сеточное уравнение (80) будет с хорошей точностью аппроксимировать исходное уравнение (79).

Однако сравнение с формулой для точного решения показывает, что это, вообще говоря, не так. В самом деле, из формулы (80) видно, что значения ujk отличны от нуля только в узлах, заключен­ ных внутри области,' ограниченной на рис. 27 штрихпунктирной линией. Отсюда следует, что если T/A=const>l, то построенное решение ujk никак не может аппроксимировать точное. Более под­ робное исследование показывает, что при т/А<Л такая аппроксима­ ция обеспечена. (Некоторое сомнение вызывают угловые зоны, заключенные между заштрихованной областью и областью, огра­ ниченной штрихпунктирной линией на рис. 27; однако оказывается, что внутри этих зон значения ujh при достаточно малых А, т близки к нулю.) Условием устойчивости описанной вычислительной схемы также служит неравенство т/А<Д (см., например, [131, с. 134— 135]), которое, таким образом, и определяет общую адекватность схемы.

На первый взгляд взамен (80) можно воспользоваться также следующей сеточной аппроксимацией уравнения (79):

Алгоритм получается почти такой же, как описано выше. Однако такая вычислительная схема не дает аппроксимации точного реше­ ния ни при каком соотношении шагов; кроме того, она оказывается всегда неустойчивой.

В разобранном примере качество вычислительных схем легко оценивается благодаря наличию формулы для точного решения; конечно, если бы речь шла только об этом примере, то в приближен­ ном расчете вообще не было необходимости — он был нужен нам только как образец. Для более сложных задач, когда такие фор­

мулы отсутствуют, можно легко попасть на неадекватную вычисли­ тельную схему.

Вопрос об относительной трудоемкости вычислительных схем особенно важен, если объем вычислений достаточно велик, напри­ мер, исчисляется часами работы ЭВМ. Опытный вычислитель часто может с помощью казалось бы непринципиальных изменений метода вычислений уменьшить машинное время в несколько раз, а также предложить какой-либо иной, менее трудоемкий метод. Старинная русская пословица «семь раз отмерь, один раз отрежь» полностью относится к выбору вычислительной схемы: поспешная реализация вычислительного метода может вообще не привести к цели, либо привести, но слишком дорогой ценой.

§ 8. Проблемы подготовки специалистов

«Прежде всего учащийся должен быть убежден, что доказательства заслуживают того, чтобы их изучали, что они необхо­

видная и самая естественная цель матема­ тического доказательства... Только мате- матику-профессионалу... может доставить удовольствие формальное обоснование каж­ дого шага длинной цепочки рассуждений».

Д . П о й а [263, с. 321]

1. Математическое образование инженера. Мы будем здесь говорить, в основном, о курсе математики во втузах *), хотя ска­ занное в значительной мере относится к обучению физиков, биоло­ гов и других специалистов-прикладников.

Существующие ныне программа и стиль преподавания курса математики во втузах сложились несколько десятков лет назад под влиянием классической математики XVIII в., с ее вниманием к формальным преобразованиям и точным решениям, и работ XIX в., посвященных обоснованию математического анализа. Круг идей и методов, лежащих в основе приложений математики и проникших в этот, передовой для своего времени, курс, все еще недостаточен; этот курс во многих местах является как бы адаптацией, упрощен­ ной версией университетского курса, рассчитанного на чистых математиков.

Во многих втузах в курсах математики чрезмерное внимание уделяется вопросам обоснования {на «кусочно-дедуктивном» уров­

*) При этом мы используем материалы совместных выступлений Б. О. Свлоноуца и одного из авторов этой книги; см., в частности, [229, 23Ц. Что касается преподавания математики в средних специальных учебных за­ ведениях, то ему свойственны те же недостатки, что и в технических инсти­ тутах, даже, пожалуй, в еще большей степени. Таким образом, и здесь необ­ ходима серьезная перестройка.

286 ГЛ. 3. СУБЪЕКТИВНЫЕ ПРОБЛЕМЫ

не, поскольку полностью дедуктивное изложение, к счастью, осу­ ществить не удается) относительно бедного аппарата и формальным приемам решения узких классов задач.

В результате курс является неоправданно усложненным, пере­ груженным неработающим материалом и в то же время бедным по содержанию. Он недостаточно учитывает современные тенденции в прикладной математике, в частности, связанные с развитием мето­ дов, имеющих широкую и актуальную в прикладном плане область приложения, со значительным расширением набора таких методов, с вниманием к алгоритмам и ЭВМ.

Преподаватели математики во втузе, воспитанные в традициях чистой математики, совершенствуя курс, часто не заботятся о том, как он будет «работать» в дальнейшем. Многие идейно и методиче­ ски важные для приложений вопросы не рассматриваются из-за трудности их «строгого» изложения; многие основные понятия (даже такие, как предельный переход, интеграл и т. п.) освещаются не в тех аспектах, в каких они в дальнейшем применяются; взамен убе­ дительного для учащегося объяснения причин математических фак­ тов стремятся к формальной строгости, которая все равно не дости­ гается *). (Подчеркнем во избежание недоразумений, что мы с т о ­ р о н н и к и строгости как средства избежать существенных оши­ бок и как школы мышления, но в разумных дозах, различных для разных профилей обучающихся; строгость не должна превращаться в самоцель!)

Поэтому студент, переходя от курса математики к другим дис­ циплинам, к изучению специальной литературы, а позже — к прак­ тической деятельности, вынужден радикально переучиваться, пол­ ностью перестраивая свою «математическую психологию». Эта пере­

*) Л. де Бройль: «Всего лишь тридцать лет тому назад и физик и инже­ нер Могли превосходно обходиться знанием классических результатов диф­ ференциального и интегрального исчисления. Но в наши дни, когда изучение новых теорий все чаще требует владения весьма разнообразным математиче­ ским аппаратом, физик и инженер должны знать многочисленные и часто не­ давно разработанные разделы математики, например тензорный анализ, мат­ ричный анализ, символическое исчисление Хевисайда, теорию собственных значений, подчас даже теорию интегральных уравнений и теорию групп. Однако преподавание математики в институтах и высших школах до сих пор недостаточно приспособлено в новым потребностям в аналитических знаниях тех, кто интересуется приложениями.

Более того, сама манера изложения лекции и книг по математическому анализу, авторами которых в большинстве случаев бывают профессиональные математики, не совсем подходит физику и инженеру, для которых различные тонкости в доказательствах значат довольно мало, а решающее значение имеет знание различных математических методов, применяемых на прак­ тике».

Таким образом, обсуждаемые нами проблемы преподавания актуальны для разных стран. Думается, что в той или иной форме они возникают и в пре­ подавании других дисциплин, причем с давнего времени: достаточно вспом­ нить дискуссии между сторонниками «классического» и «реального» обра­ зования.

стройка происходит чаще всего стихийно, без необходимого руко­ водства и порой приводит к печальным последствиям, о которых мы уже говорили во Введении. Из-за разрыва между преподаваемой «ортодоксальной» и «работающей» математикой важные разделы математики зачастую поручают преподавать специалистам, не имею­ щим необходимой математической подготовки, и преподавание при­ обретает рецептурный характер.

По нашему мнению, этот разрыв является объективным отраже­ нием рассмЬтренного в § 2 существенного различия в подходах чистой и прикладной математики,, которое в преподавании матема­ тики должным образом не учитывается. Времена «абстрактных» курсов математики, предназначенных в равной мере для чистых математиков, прикладников и преподавателей средней школы, без­ возвратно прошли *). Курс математики для инженеров сейчас не может не учитывать современного интенсивного развития разветв­ ленной системы идей, понятий и методов, лежащих в основе прило­ жений математики. Он должен быть курсом прикладной математи­ ки,— конечно, не узко утилитарным и рецептурным, а включающим в себя и необходимые теоретические концепции.

Нам представляется, что преподавание математики во втузах должно быть подчинено следующим целям:

—сообщить студентам основные теоретические сведения, необ­ ходимые для изучения общенаучных, общеинженерных и специаль­ ных дисциплин и последующего приложения математики, и обучить их соответствующему математическому аппарату;

—воспитать у студентов прикладную математическую культуру, необходимые интуицию и эрудицию в вопросах приложения мате­ матики;

—развить логическое и алгоритмическое мышление;

—ознакомить студентов с ролью математики в современной жизни и особенно в современной технике, с характерными чертами математического метода изучения реальных задач;

—выработать первичные навыки математического исследова­ ния прикладных вопросов: перевода реальной задачи на адекватный математический язык, выбора оптимального метода ее исследования,

интерпретации результата исследования и оценки его точности;

—выработать навыки доведения решения задачи до практически приемлемого результата — числа, графика, точного качественного вывода ит. п. с применением для этого адекватных вычислительных средств (включая ЭВМ), таблиц и справочников;

—выработать умение самостоятельно разбираться в математи­

*) В качестве курьеза вспоминается случай, когда рецензент нового учебного пособия по математике для втузов, желая похвалить автора, на­ писал, что это пособие можно в равной мере использовать в пединститутах. Однако такая «похвала», по нашему мнению, указывает на существенный недостаток пособия, так как направленность курса математики в пединсти* тутах и во втузах должна быть различной!

288 ГЛ. 3. СУБЪЕКТИВНЫЕ ПРОБЛЕМЫ

ческом аппарате, применяемом в литературе, связанной со специ­ альностью студента.

С о д е р ж а н и е курса математики должно быть достаточно широким и глубоким для эффективного решения задач по специаль­ ности. Поэтому программу и характер этого курса необходимо систе­ матически приводить в соответствие с непрерывно развивающимися тенденциями в приложениях математики. (Конечно, здесь мы имеем в виду не набор узких рецептов, а всю систему математического мышления, совокупность математических идей, понятий и методов, на которых базируется специальность будущего инженера.) Такая перестройка должна проходить постепенно, с учетом имеющихся возможностей и без нарушения преемственности; она должна исхо­ дить из анализа того, как математика применяется и будет приме­ няться в соответствующей специальности. (О специфике преподава­ ния математики для нематематических специальностей см. также

Особо нужно сказать о специальностях типа «инженер-матема­ тик» с усиленной математической подготовкой. Те преподаватели, которые не видят существенной специфики втузовского курса мате­ матики, считая его лишь по необходимости сокращенным академи­ ческим курсом, часто неверно используют добавочные возможности и развивают курс в направлении дальнейшего отрыва от приложе­ ний (усиление чисто математического подхода, о котором говорилось в § 2, добавление потерявших актуальность для приложений разде­ лов и частных приемов и т. п.).

Порой представители этих специальностей с гордостью говорят: «У нас такие-то разделы курса математики излагаются, как на математическом факультете университета». Однако эта гордость

свои глубокие идеи, во многом взаимодействующие и порой даже идентичные, но во многом и существенно различные. Более того, во многих отношениях прикладная математика сложнее чистой, так как наряду с глубокой теоретической подготовкой требует боль­ шей эрудиции, прикладного чутья, владения не только дедуктив­ ным, но и рациональным мышлением и т. д. (В частности, именно поэтому в чистой математике проще начать заниматься самостоя­ тельной научной работой, чем в прикладной, что служит существен­ ным стимулом для талантливых молодых людей. Первые успехи в этой области побуждают к дальнейшему углублению и специали­ зации — и вот уже перед нами убежденный чистый математик.)

Опасность подобной организации курса математики для физиков хорошо понимал Л. Д. Ландау. Так, известен его отзыв [187, с. 97—

99] о программах по математике в одном из физических вузов. Этот отзыв (впрочем, кое в чем полемически заостренный) поучительно привести полностью:

«К сожалению, Ваши программы страдают теми же недостатками, ка­ кими обычно страдают программы по математике, превращающие изучение математики физиками наполовину в утомительную трату времени. При всей важности математики для физиков, физики, как известно, нуждаются в счи­ тающей аналитической математике; математики же по непонятной мне при­ чине подсовывают нам в качестве принудительного ассортимента логические упражнения. В данной программе это прямо подчеркнуто в виде особого примечания в начале программы. Мне кажется, что давно пора обучать фи­ зиков тому, что они сами считают нужным для себя, а не спасать их души вопреки их собственному желанию. Мне не хочется дискутировать с достой­ ной средневековой схоластики мыслью, что путем изучения ненужных им вещей люди будто бы научаются логически мыслить. Я категорически счи­ таю, что из математики, изучаемой физиками, должны быть полностью из­ гнаны всякие теоремы существования, слишком строгие доказательства и т. п. Поэтому я не буду отдельно останавливаться на многочисленных пунктах Вашей программы, резко противоречащих этой точке зрения. Сделаю только некоторые дополнительные замечания.

Векторный анализ расположен в программе между кратными интегра­ лами. Я не имею чего-либо против такого сочетания, однако надеюсь, что оно не идет в ущерб крайне необходимому формальному знанию формул векторного анализа.

Программа по рядам особенно перегружена ненужными вещами, в ко­ торых тонут те немногие полезные сведения, которые совершенно необхо­ димо знать о ряде и интеграле Фурье.

Курс так называемой математической физики я бы считал правильным сделать факультативным. Нельзя требовать от физиков-экспериментаторов умения владеть этими вещами.

Необходимость в курсе теории вероятностей довольно сомнительна. Физики и без того излагают то, что им нужно, в курсах квантовой механики л статистической физики. (По-видимому, традиционная постановка препода­ вания математической физики и теории вероятностей была настолько ском­ прометирована в глазах Ландау, что он потерял веру в то, что сами матема­ тики могут исправить положение.— Авт.)

Таким образом, я считаю, что преподавание математики нуждается в серьезнейшей реформе. Те, кто возьмется за это важное и трудное дело, за ­ служат искреннюю благодарность как уже готовых физиков, так и в осо­ бенности многочисленных будущих поколений».

По свидетельству Е. М. Лифшица [193, с. 432], Л. Д. Ландау строил «планы составления таких учебников по Математике для фи­ зиков, которые должны были быть «руководством к действию», обучать практическому применению математики к физике и должны были быть освобождены от излишних для такого курса строгостей и сложностей. Приступить к осуществлению этой программы он не успел» *).

*) Приведем еще один интересный отрывок из этой статьи [193, с. 436]: «Научному стилю Л. Д. была противна тенденция — к сожалению, довольно распространенная — превращать простые вещи в сложные (часто аргумен­ тируемая общностью и строгостью, которые, однако, обычно оказываются иллюзорными)».

Примечательное высказывание, относящееся к обсуждаемому вопросу, содержится в предисловии к книге Дж. Займана [127, с. 9J: «Чрезмерная

290 ГЛ. 3. СУБЪЕКТИВНЫЕ ПРОБЛЕМЫ

2. Воспитание математической интуиции. Математически обра­ зованным можно называть инженера, который не только свободно разбирается в математическом аппарате, содержащемся в литера­ туре по его специальности, и умеет доводить решение реальных математических задач до приемлемых результатов, но также обла­ дает верной математической интуицией, т. е. прямым видением «грубого» содержания и связей соответствующих математических идей, понятий, утверждений и методов, роли типичных и особенных случаев и т. п.

Разумеется, математическая интуиция как способность к непо­ средственному усмотрению математической истины (см. сноску на с. 86) развивается постепенно и вырабатывается только в процессе накопления опыта. Несомненно, соотношение дискурсивного и интуитивного в деятельности исследователя существенно меняется в зависимости от приобретенного опыта. Истина, к которой начина­ ющий исследователь приходит лишь после цепи рассуждений, иссле­ дователю со стажем может быть видна сразу (не зря шутят: «инфор­ мация — мать интуиции»). Время, необходимое исследователю на постижение истин некоторого определенного уровня сложности, постепенно сокращается, т. е. растет «дискурсивное быстродействие» исследователя; когда оно становится практически незамечаемым («обращается в нуль»), можно говорить о сформированной интуиции.

Правильная математическая интуиция — одно из убедительных свидетельств зрелости инженера. Она помогает перевести техниче­ скую задачу на адекватный математический язык, выбрать удачный математический аппарат и наметить разумный путь решения полу­ ченной математической задачи, она позволяет предвидеть возможные осложнения на этом пути (реально возможные, а не все те, которые можно формально придумать, если специально задаться такой целью) и т. п. Все эти действия производятся, как правило, на уровне рациональных рассуждений (§3).

Пусть, например, п вещественных величин надо определить из системы связывающих их конечных уравнений, которые должны удовлетворяться практически точно. Тогда правильно воспитанная интуиция инженера должна требовать, чтобы система уравнений была замкнутой (п. 4.11), т. е. содержала ровно п независимых уравнений. При этом, если уравнения линейные, то система имеет ровно одно решение, но нужно также понимать, что при его кон­ кретном построении могут возникнуть осложнения в случае плохой обусловленности системы. Если уравнения нелинейные, то система

математическая абстракция свела бы на нет мои намерения. Нет ничего более отталкивающего для нормального человека, чем клиническая последова­ тельность определений, аксиом и теорем, порождаемая трудами чистых мате­ матиков. Логическая строгость, достигаемая подобными исследованиями, чрезвычайно ценна, но она едва ли может появиться прежде, чем мы ухватили саму идею. Геометрия существовала до Евклида, анализ — до Коши, а смысл неприводимых представлений группы можно понять и без доказательства леммы Шура в самой общей ее формулировке».