книги / Механика и прикладная математика логика и особенности приложений математики
..pdf§8. ПОДГОТОВКА СПЕЦИАЛИСТОВ |
291 |
может иметь более одного решения и нужно суметь истолковать их реальный смысл,— так же, как и в случае, когда обнаружено отсутствие вещественных решений; при этом надо иметь в виду, что для немалого п найти решение практически довольно сложно. Если система содержит параметр, то при непрерывном его измене* нии все решения меняются непрерывно, однако при определенных (критических) значениях этого параметра решение может уйти на бесконечность, или прийти из бесконечности, или слиться с другим решением и стать мнимым и т. д.
Все эти грубые, качественные соображения легко подробно ра* зобрать на простых примерах; в первую очередь именно их должен иметь в виду прикладник, приступая к задачам рассматриваемого типа. С точки зрения чистой математики эти соображения нуж* даются в многочисленных оговорках и допускают исключения; одна ко для математически образованного инженера неполное знание де талей неопасно, так как он должен, в частности, уметь, столкнув шись с особо тонким случаем, обратиться к специальной литературе или проконсультироваться у математика.
Для выяснения грубого (может быть, лучше сказать «главного») содержания утверждений, которое в основном и служит источником правильной математической интуиции прикладника, особенно по лезны наглядность, доступность изложения материала, а также разбор поучительных примеров и частных случаев.
Большое значение имеет ясная мотивировка введения новых по нятий и методов, которую надо, как и обсуждение результатов, про водить по возможности часто. Сами эти понятия, учитывая психоло гический закон импринтинга («впечатывания»), следует вводить так, чтобы по возможности раньше было выявлено их грубое содер жание и прикладное значение. Общность формулировок, широта предположений в курсе математики для прикладников не являются самоцелью, а также должны быть подчинены задаче воспитания правильной интуиции и потому отвечать действительной необходи мости.
Воспитание правильной интуиции не должно противоречить ус воению основ математики и развитию логического мышления. Одна ко последнее вовсе не означает, как иногда полагают, что нужно акцентировать внимание на теории пределов и других сходных во просах. Следует отличать отчетливое усвоение идеи предела, даже на е—N- и г—6-уровне, которую можно убедительно продемон стрировать на простом материале, от не используемых в дальнейшем навыков решения примеров типа «по заданному е> 0 найти точное значение N» и т. п. Кстати, вычисление пределов встречается в приложениях математики несравненно реже, чем это иногда счи тают. Гораздо большее значение имеет твердое представление о шка лах роста и убывания, умение указать главный член в сумме, написать асимптотическое выражение и т. и,— то, чему при препо давании обычно уделяют совсем мало внимания. Л о г и ч е с к о е
292 |
ГЛ. 3. СУБЪЕКТИВНЫЕ ПРОБЛЕМЫ |
м ы ш л е н и е |
и н ж е н е р а (и вообще прикладника) с л е |
д у е т р а з в и в а т ь н а м а т е р и а л е , и м е ю щ е м о т ч е т л и в о е п р и к л а д н о е з н а ч е н и е !
3. Методы рассуждения. Воспитание привычки думать *) и умения правильно рассуждать, причем не только при решении задач математического характера,— одна из важнейших целей курса ма тематики.
Было бы неверным отрицать пользу и даже необходимость обу чения студентов формально безупречным способам рассуждений, а также воспитания точности в оборотах речи и т . п. навыкам. Но нельзя забывать и о вреде фетишизации этой стороны дела.
В старой шутке речь идет о мальчике, которого попросили за крыть форточку, так как на улице холодно. Он возразил: «Разве на улице станет теплее, если я закрою форточку?» До чего же строг был мальчик к точности речи собеседника!
Та же тема звучит и в юмористическом рассказе американского автора. На экзамене по физике студенту был предложен вопрос: как при помощи барометра определить высоту небоскреба? Студент от ветил не так, как того ждал экзаменатор, предложив несколько неожиданных вариантов ответа — от основанных на физических законах (сопоставить длины теней от барометра и небоскреба и из соответствующей пропорции по высоте корпуса барометра найти высоту небоскреба; сбросить барометр с крыши и по наблюденному времени падения вычислить искомую высоту и т. д.) до опирающих ся на человеческие слабости (пообещать дворнику, что тот получит в свою собственность барометр, если сообщит, чему равна высота здания). Этот рассказ сразу вызывает улыбку, но вдумаемся в его подтекст. Студент как бы упрекнул экзаменатора в нечеткой по становке вопроса, допускающей многозначность ответа. Но так ли виноват экзаменатор, который воспользовался лишь общепринятой (конечно, формально не исчерпывающей, «модельной») формулиров кой вопроса? Пожалуй, что виноваты всё же те, кто воспитал у сту дента гипертрофированно сильное неприятие по существу вполне ясных, хотя и нестрогих оборотов речи.
Мы уже не раз писали выше, что в прикладной математике ра циональные рассуждения имеют не меньшее значение, чем дедуктив ные. Первые включают последние как предельный случай и потбму находятся в некотором смысле на более высокой ступени, причем более трудны для усвоения. Поэтому вводить методы рациональных рассуждений нужно постепенно, тактично, исходя из достаточно прочных (но не чрезмерных!) дедуктивных, порой формальных основ, подробно разъясняя на примерах смысл практической сходимости, практической достоверности, проверки в типичных условиях и дру
*) Ч. Бэббедж (107, с. 521: «Заставить человека думать— это значит сделать для наго значительно больше, чем снабдить его определенным коли чеством инструкций». «Умствуй — и придет!» — повторял Л. Ф. Магницкий.
§ 8. ПОДГОТОВКА СПЕЦИАЛИСТОВ |
293 |
гих действий в случаях, когда применение «точных» теорем невоз можно или нецелесообразно.
В преподавании необходимо подчеркивать, что конечной целью прикладного математического исследования является не создание абстрактной логической схемы, а эффективное решение вопроса, ле жащего за пределами математики. Для этого должны применяться любые разумные средства: все методы существенного приближения
кистине — это методы первого сорта.
Вто же время надо показывать, к каким реальным ошибкам может привести слишком вольное обращение с математическими понятиями, подчеркивать роль прикладной математической куль туры и опасность вульгаризации.
Таким образом, на начальной стадии обучения (а также в неко торых специфических областях, таких, например, как линейная ал гебра) удельный вес дедуктивных рассуждений, естественно, должен быть сравнительно высоким. Однако и здесь наглядность изложе ния, нацеленность на главное, раскрытие неформального смысла понятий подготавливают последующее введение рациональных рассуждений. Отметим, что довольно распространенная на этом этапе концентрация внимания на теории пределов и других аналогичных вопросах играет отрицательную роль, она может только, по выра жению Д. Пойа [263, с. 321], «создать у учащихся впечатление, что математика занимается тем, что весьма неочевидным путем доказы
вает совершенно очевидные вещи». (Д. Пойа говорит об этом в связи с обучением в средней школе, но это полностью относится и к обу чению инженеров.)
О том же писал А. Пуанкаре [268, с. 359]: «Наши предки думали, что знают, что такое дробь, непрерывность, площадь кривой поверхности; лишь мы заметили, что они этого не знали. (Точнее — не знали современных фор мальных определений; но ведь знания к этому не сводятся! — Авт.) Точно так же наши ученики думают, что они это знают, когда уже принимаются серьезно за изучение математики. Если я, без предварительной подготовки, скажу им: «Нет, вы этого не знаете, вы не понимаете того, что вам казалось понятным; я должен вам доказать то, что вы считали очевидным»,— и если я в своих доказательствах буду опираться на посылки, которые им кажутся менее очевидными, чем заключения, то что подумают эти несчастные? Они подумают, что математическая наука есть не что иное, как произвольно со бранная груда бесполезных умствований; и они либо почувствуют к ней отвращение, либо будут забавляться ею, как игрою, и в умственном отно шении уподобятся греческим софистам». И лишь у созревшего в математи ческом отношении ума возникнут сомнения и в связи с ними потребность в строгих определениях. «Недостаточно во всем сомневаться, нужно знать, почему возникает сомнение» (там же).
К сказанному добавим, что само «понимание» не является чем-то абсолют ным, оно возникает не только (и даже не в первую очередь) в результате логического анализа, а в значительной мере в результате навыков действий, приводящих к правильным результатам. Математически образованный ин женер до той же степени привычно понимает выражение «возьмем элемент объема», как чистый математик — «для каждого е > 0 существует 6>0», хотя как то, так и другое выражения не выдерживают критики с более вы соких логических позиций. И в преподавании нужно стремиться к пониманию, соответствующему уровню учеников — а не преподавателя!
2Э4 ГЛ. 3. СУБЪЕКТИВНЫЕ ПРОБЛЕМЫ
Для сглаживания перехода от курса математики к специальным дисциплинам, уже в классических разделах трактовка понятий дол жна приближаться к той, которая дается в прикладной математике (конечно, для этого преподаватели математики должны иметь доста точное представление о прикладной точке зрения на математические сущности). Например, надо чаще выдвигать и иллюстрировать те зисы, что интеграл — это своеобразная сумма большого числа ма лых слагаемых; дифференциал — это элемент, бесконечно малое приращение величины; дельта-функция — это функция с локали зованным на бесконечно малом интервале бесконечно большим зна чением и т. п. Следует по возможности чаще употреблять эти тер мины, приучать студентов правильно ими пользоваться, так как их вульгаризация может привести к ошибкам.
Важными и порой вызывающими жаркие дискуссии среди пре подавателей являются вопросы о выборе уровня строгости изложе ния, и в частности о формальной полноте формулировок и доказа тельств. Мы уже не раз подчеркивали, что нет и не может быть абсолютных понятий строгости и доказательности, эти понятия за висят от цели исследования и от «фона»; в частности, в чистой и при кладной математике (даже в различных ее областях) они не одина ковы, и преподавание должно это учитывать.
Иногда считают, что если доказательство на уровне чистой мате матики недоступно студентам, то соответствующие факты надо приводить без доказательства и даже без объяснений; мы не соглас ны с этим. Вряд ли существуют такие полезные математические фак ты, которые нельзя было бы объяснить убедительно для приклад ника. Отметим при этом, что формально полное доказательство, убедительное для чистого математика, далеко не всегда убедительно
для |
прикладника. |
|
Хорошо известным примером может служить следующий искусственный |
||
вывод |
формулы Тейлора |
для я+1 раз дифференцируемой функции f(x) |
(a< jt< a+ /i). Рассмотрим |
вспомогательную функцию |
|
Так как |
F (cfi — F (a-{-h)—0, |
то по теореме Ролля Т7' (^i)=0 для |
некоторого |
|
хг, |
но и F* (а )~ 0, тве. F" (х2) ~ 0, |
а < х 2< х 1г и т. д. |
В конце по |
|
лучаем, |
что Fin) (a) = F(n) |
(*л)=0, а поэтому |
F{n +1^(c)=0, где |
а < с < х п< |
< а+ Л . Однако |
|
|
|
|
Я" + 1>(*)= /(» +и (x) + (n + |
l ) j £ |
(П+ 1 )!/(а 4 - /1)А - п - 1> |
||
и потому из равенства F(n+1)(c)==0 мы легко приходим к формуле
(а < с < a-\-h).
§ 8*. ПОДГОТОВКА СПЕЦИАЛИСТОВ |
295 |
Этот вывод совершенно не выявляет природу формирования формулы Тей лора, создает впечатление случайности подбора коэффициентов в ней и по тому вызывает естественное чувство неудовлетворенности у прикладников,
Таким образом, и доказательства (которые, конечно, необходи мы!) следует выбирать такими, чтобы они правильно воспитывали прикладную математическую интуицию, наиболее убедительно на выбранном уровне изложения демонстрируя причины и взаимосвязи фактов.
Приведем пример. В преподавании хорошо из' вестны два вывода формулы замены переменных в кратных интегралах: один, основанный на примене нии формулы Грина, логически совершенный, но совсем не наглядный, и другой, основанный на пре образовании бесконечно малого параллелепипеда, логически менее совершенный, но наглядно демон стрирующий причину появления коэффициента ис кажения объемов. Для нас нет сомнения, что в кур се для прикладников предпочтительнее второй вы вод.
Вот еще один, совсем простой пример. Вычислим производную
модуля радиуса-вектора |
г по некоторому заданному направлению /. Фор |
|
мальный строгий вывод: выберем оси координат так, чтобы I совпало с на |
||
правлением оси Х \ тогда |
|
|
d r |
-= cos ( г ,-V) =-cos (г, I). |
|
41 5-х У * + * - |
||
Vх--\ у--\ г- |
||
Нестрогий, по наглядный вывод, демонстрирующий, откуда здесь на самом деле получается косинус, показан на рис. 28. Неплохо, если инженер владеем первым выводом, но вторым он должен владеть обязательно.
Пример вульгаризации, приводящей к ошибке: рассмотрим ньютонов потенциал
Г' (х . у, z) |
_____/(£. % |
Z ) d j d r j d Z ______ _ ГГ Г /(£■ т), |
D dgdi|d; |
|
У [х— |
(у—Ч)2-г(г—Й 2 J J J |
г |
||
|
где функция f достаточно быстро убывает на бесконечности. Вычислим лап ласиан
х - F |
V- \* Г |
л. Z ) d l d i \ d i , |
Формальное вычисление показывает, что у2 (1/г)~- 0 (это стандартный пример гармонической функции в пространстве), и отсюда следует, что у2/7—О, Но -по неверно — ошибка (грубая даже на прикладном уровне!) совершена при дифференцировании разрывной функции. Простые соображения векторного анализа показывают, что надо писать
|
|
V |
-- - 4л6 ( х —I) Ь(у — ц)6 (2 — ^), |
|
откуда |
правильное |
вычисление дает |
|
|
y jf |
4л |
\f{l. |
1), £) б ( * — $) б ( У ~ у \ ) 6 ( 2 — 1) d%dt\ |
—*я / {х, у, г). |
Осложнения, возникающие при дифференцировании разрывной функции, можно увидеть, продифференцировав функцию
ао
296 ГЛ. 3. СУБЪЕКТИВНЫЕ ПРОБЛЕМЫ
где функция / достаточно быстро затухает на бесконечности, а Н — единичная функция (п. 2.7).
Приведем некоторые высказывания, относящиеся к особенностям стиля и уровня строгости преподавания математики для прикладников. Г. Арфкен [17, с, 5]: «Стараясь, насколько это возможно, обратить внимание на внут реннюю стройность и изящество математических выкладок, автору прихо дилось намеренно жертвовать ими с тем, чтобы изложение приобрело большую гибкость и ясность именно для студентов.
То же самое можно сказать и о математической строгости. Автор не ставил перед собой цели довести логику и строгость изложения до такого уровня, который затруднял бы практическое использование математиче ского аппарата. В книге везде приводятся объяснения вводимым ограниче ниям и делаются предупреждения против слепого и неосмысленного приме нения математических формул».
В [17, с. 6], говоря о важности показа взаимосвязи математики с теоре тическими и прикладными науками, автор пишет: «Например, в главе о диф ференциальных уравнениях основной упор делается не на ряд абстрактных и сравнительно малопонятных доказательств, которые для непосвященного имеют характер математических головоломок, а на решения и общие свойства этих уравнений, с которыми студенты чаще всего сталкиваются на практике».
К. Ланцош [188, с. 12]: «... математические формулы за своей как бы бес плотной внешностью имеют еще «внутреннюю интимную жизнь». Выявить эту «внутреннюю жизнь» математических отношений порой путем повест вовательного отступления кажется ему (автору — А в т . ) не профанацией священного ритуала формального анализа, а простой попыткой достичь полного понимания. Читатель, которому приходится пробираться в лаби ринте «лемм», «следствий» и «теорем», легко может заблудиться в формальных деталях в ущерб существенным элементам полученных результатов».
X. Розенброк и С. Стори [279, с. 15]: «Мы попытались указать на воз можные «ловушки», оставив инженеру право побродить по всей «стране». Альтернатива — создание изгороди строгости вокруг того, что точно извест но,^— не прельщает нас, так как большая часть интересной «страны» нахо дится по другую сторону». Там же (с. 17): «Мы не против математической строгости, и признавая, что математика имеет свои собственные внутренние законы развития, возражаем против такой позиции, которая концентрирует внимание на математических тонкостях, возникающих при постановке за дачи и несущественных в определенном смысле, и в то же время игнорирует действительные трудности.
Витоге мы стремились к идеалу, который так хорошо описал Био: «... яс ность, простота, интуитивное понимание, непретенциозная глубина, избе гание всего того, что не относится к делу».
Я.Б. Зельдович [129, с. 8]: «Во многих учебниках изложение ведется в форме, напоминающей диспут двух ученых. Учащийся представляется как противник, выискивающий всевозможные возражения. Педагог последова тельно, строго логически разбирает эти возражения одно за другим и не опровержимо доказывает правильность своих положений.
Впредлагаемой книге учащийся рассматривается как друг и союзник, который готов поверить педагогу или учебнику и хочет применить к при роде, к технике те математические приемы, которые ему предлагают. По нимание приходит в результате анализа примеров и применений».
Е. С. Вентцель [73. с. 7]: «Книга рассчитана не на специалиста-матема- тика, а в первую очередь на практика, впервые знакомящегося с предметом. Такого читателя обильные оговорки, делаемые в угоду «безукоризненной строгости», могли бы только оттолкнуть, заслонив от него существо дела».
Д. Пойа [262, с. 390]: «Инженерам нужна математика; совсем немногие из них имеют здоровый интерес к математике, но они не приучаются пони мать е-доказательства, не имеют времени на г-доказательства, не интересу ются е-доказательствами... На основании долгого опыта я сказал бы, что одаренным студентам технических учебных заведений обычно более доступны
§8. ПОДГОТОВКА СПЕЦИАЛИСТОВ |
297 |
хорошо изложенные правдоподобные доводы, чем строгие |
доказательства, |
и студенты более благодарны таким доводам». Последнее имеет немаловажное значение!
Приведем высказывание А. Пуанкаре по этому поводу 1268, с. 359]: «Глав ная цель обучения математике — это развить известные способности ума, л между этими способностями интуиция отнюдь не является наименее ценной. Благодаря ей мир математических образов остается в соприкосновении с реальным миром; и если чистая математика может обойтись без нее, то она всегда необходима, чтобы заполнить пропасть, которая отделяет символы от реального мира; к нему будет постоянно обращаться практик, а ведь на одного чистого геометра (математика — Л е т . ) приходится сто практиков. (Сейчас гораздо больше. - Л е т . )
Инженер должен получить полное математическое образование, но для чего оно ему? Для того чтобы видеть различные стороны вещей, видеть их быстро. У него нет времени гоняться за мелочами. В сложных физических предметах, которые представляются его взору, он должен быстро найти точ ку, к которой могут быть приложены данные ему в руки* математические орудия. Как бы он это сделал, если бы между предметами и орудиями оста валась та пропасть, которую вырыли логики?»
Острогости и роли интуиции в преподавании см. также (151. 475, 544].
4.Отыскание приемлемых решений. Как уже отмечалось, мате матически образованный инженер должен обладать навыками до ведения задач до практически приемлемого результата — до числаграфика, точного качественного вывода (описание влияния на ре шение задачи входящих в нее параметров, заключение об устойчи вости и т. п.). Идея получения приемлемого результата на основе аналитических, численных и качественных методов должна прони
зывать весь курс математики во втузе. Студент должен учиться мыслить алгоритмически, т. е. представлять себе, какие имеются способы доведения решения до конца, какие трудности при этом могут встретиться, прикинуть, каким будет объем вычислительной работы и какой способ представляется более разумным и т. п. По этой причине небезопасно довольно распространенное выделение всех вычислительных вопросов в отдельный раздел курса матема тики: такое выделение может существенно понизить идею алгоритмичности в остальных разделах курса, которые оказываются как бы противопоставленными вычислениям и тем самым обескровленными в прикладном отношении.
При этом не следует преувеличивать значение конкретных ре
цептов и специальных приемов решения |
задач (тем более задач, |
не играющих сейчас большой роли). Этих |
рецептов весьма много, |
и они непрерывно обновляются. Гораздо важнее на продуманной системе примеров демонстрировать глубокие общие идеи, лежащие в основе доведения решения задач различных важных классов до конца, показывать общие методы, имеющие широкую область при менения (например, метод итераций, метод малого параметра, при менение различных разложений, конечных разностей и т. д.) *).01*
*) Р. Хеммиаг (332, с. 94]: «Принимая во внимание огромное количество имеющихся теперь знаний, лучше применять один общий метод, до некоторой степени непроизводительный, чем изучать множество специальных трюков».
10 И. И. Блехман и др.
298 ГЛ. 3. СУБЪЕКТИВНЫЕ ПРОБЛЕМЫ
В связи со сказанным хочется подчеркнуть, вообще, важность тщательного отбора информации в курсе математики. Каждое поня тие, каждое утверждение следует приводить, только если есть уве ренность в их необходимости. (По остроумному высказыванию Д. К. Фадеева, в противоположность известному юридическому принципу, здесь нужно опираться на «презумпцию в и н о е н о с т и » .) Не будет беды, если отдельные математические понятия и утверж дения, не входящие органически в основной курс математики, будут сообщаться (конечно, квалифицированнг!) по мере необходимости позднее, в специальных дисциплинах.
Для математически образованного инженера характерно, в част ности, твердое владение «основным ассортиментом^ функций и ли ний. Так, он должен отчетливо представлять себе особенности пове дения линейной, квадратичной, гармонической, показательной и не которых других простых функций, твердо знать, в каких типах за дач эти функции появляются. Вообще, простым нужным фактам на до, особенно на практических занятиях, уделять значительно боль ше внимания, чем это сейчас обычно делается.
Необходимо как можно раньше знакомить, хотя бы не очень де тально, студентов с программированием на ЭВМ на базе одного из универсальных алгоритмических языков (АЛГОЛ, ФОРТРАН и т. д.). Желательно систематически тренировать студентов в напи сании простых программ и осуществлять выход каждого студента на машину. Особенно полезно проведение на ЭВМ расчетных работ по общеинженерным и специальным дисциплинам (сопротивление мате риалов и т. п.). Идея возможности обращения к ЭВМ должна нало жить отпечаток и на весь курс математики для инженеров. Инженер не обязан быть программистом, но он должен уметь пользоваться ЭВМ как орудием своего повседневного труда *).
Впрочем, не следует думать, что в связи с появлением ЭВМ значение более простых вычислительных средств для инженера уменьшилось! Поэтому при обучении надо существенно чаще, чем' это сейчас делается, пользоваться ( б т о м числе, и на экзаменах!) таблицами и справочниками, «ручным» счетом и микрокалькуляторами.
К сожалению, распространенный сейчас стиль изучения многих разделов курса математики во втузах не подчинен основной идее получения приемлемого, достаточно завершенного решения. Т и пичным примере?*! может служить теория рядов, где основное вни мание, в том числе и на практических занятиях, уделяется выясне нию сходимости рядов с общим членом сложной аналитической
*} Р. Хемминг [332, с. 397]: «Если ставится цель понять физическое явление, то автор задачи должен понимать и следить за вычислениями. Это не значит, что он должен выполнять всю мелкую работу, но если он не будет в достаточной степени понимать все, что делает машина, то он вряд ли су меет извлечь из машины максимум пользы, а также понять смысл даже пра вильно построенных вычислений».
§ 8. ПОДГОТОВКА СПЕЦИАЛИСТОВ |
299 |
структуры, весьма редко встречающихся в реальных задачах; при этом остаются в стороне вопросы, имеющие несравненно большее практическое значение, такие, как оценка быстроты сходимости, методы приближенного подсчета суммы ряда и т. п.
Во втузовском курсе математики укоренилась традиция не дово дить решение до числа; например, при вычислении определенных интегралов типичной формой ответа является, скажем,
7 , 2 2 . 7
й a rc tg -s+ T ln T ’
тогда как инженер окончательный ответ запишет в виде 0,345. Ко нечно, порой можно для экономии времени ответ до числа не дово дить, но тогда по крайней мере надо отчетливо понимать, что окон чательного ответа мы еще не получили.
Наряду с вычислительными навыками необходимо развивать навыки получения приближенных формул, а также качественного
анализа задачи, качественного |
выяснения характера решения. |
|
5. |
О формальных выкладках к упражнениях. Определенные на |
|
выки |
формальных выкладок для |
студента втуза необходимы. На |
пример, он должен уверенно вычислять производные, простые интегралы, уметь интегрировать дифференциальные уравнения из вестных простых типов. Однако в целом тренировка в формальных выкладках не должна занимать такого большого места, как это сей час часто бывает. Особенно это относится к практическим занятиям и домашним заданиям, где основное внимание порой уделяется зада чам, либо концентрирующимся вокруг немногих, в значительной степени потерявших свое значение формальных типов, либо связан ным с непосредственной подстановкой в формулы; подавляющее большинство таких задач даже по духу, направленности имеют мало общего с «работающей» математикой. При этом критерием хороших практических навыков у студента, определяющим направление его работы, часто служит его способность решать формально усложнен ные («болезненно искусственные», по выражению Д. Пойа {263, с. 296J) задачи.
Конечно, определенное количество формальных задач, примеров на непосредственное применение формул и на доказательство сходи мости необходимо. Однако существенно больше, чем это сейчас де лается, надо заботиться о реальной осмысленности формулировок задач, их мотивированности («может ли подобная задача возник нуть в прикладкой ситуации?»), существенно шире уделять внима ние упражнениям, упрощенно имитирующим действия, которые со вершаются в реальном прикладном математическом исследовании. При этом вовсе не обязательно брать примеры непосредственно из специальных дисциплин, хотя если такой пример можно сделать лег ко доступным, это только украсит занятия. Сама постановка задачи, ее направленность должны напоминать то, что может возникнуть в прикладном исследовании, даже если эта задача опирается только
300 |
ГЛ. 3. СУБЪЕКТИВНЫЕ ПРОБЛЕМЫ |
на простые понятия физики или имеет полностью математический характер: ведь и простое дифференцирование может составлять этап прикладного исследования. С другой стороны, следует избегать сугубо конкретных рецептов и специальных приемов, пригодных для решения узких классов задач.
Приведем пример. В упражнениях на кратные интегралы обычно как граница области интегрирования, так и подынтегральная функция счита ются заданными в явном аналитическом виде, порой довольно громоздком. Однако в прикладных задачах гораздо чаще оказывается, что все участвую щие зависимости довольно просты, но в аналитическом виде заранее не за даны, так что требуется предварительно составить их уравнения; необхо димо, чтобы подобные задачи были представлены должным образом.
В качестве другого примера можно указать на функции, заданные не сколькими формулами (п. 2.7); такие функции довольно распространены в приложениях (например, в сопротивлении материалов и т. д.), однако почти не встречаются в упражнениях к курсу математики.
Существенно большее место, чем сейчас, должны занимать «тек стовые» задачи, основанные на геометрическом, простом физическом и т. п. материале и связанные с предварительным составлением ко нечных или дифференциальных уравнений. Решение таких задач, сопровождаемое обсуждением исходных данных и исследованием результата, может оказать особенно глубокое влияние на формиро вание прикладного математического мышления. Многие задачи по добного рода имеются в учебной литературе по математике, а также могут быть подготовлены математическими кафедрами на основе анализа литературы по специальности студентов.
Роль формальных навыков преувеличена также во время зачетов и даже экзаменов.
Так, на экзамене за первый семестр порой решающим считается умение автоматически дифференцировать искусственно усложненные функции, которые не только заведомо не могут встретиться в приложениях, но и всем своим видом противоречат воспитанию правильного прикладного математи ческого вкуса. Во втором семестре аналогичную роль играют «рационали зация» интегралов и интегрирование рациональных функций с помощью разложения их на простейшие, причем стандартные приемы предлагается применять и в тех случаях, когда явно целесообразнее численное интегри рование. В третьем семестре обычно преувеличивается роль формального интегрирования дифференциальных уравнений, в том числе линейных урав нений с постоянными коэффициентами и так называемой «специальной» правой частью (сам этот искусственный термин — типичный продукт стрем ления превратить мелкий вопрос в «науку»; увы, оно не так уж редко встре чается в преподавании).
Все это приводит к бездумному заучиванию не всегда важных рецептов и мало способствует развитию математического мышления. С другой стороны, при этом остаются незакрепленными широко применяемые сейчас более уни версальные и важные методы, требующие большой вдумчивости, хотя часто ненамного более сложные (например, втеории дифференциальных уравнений — метод изоклин и другие качественные методы или метод малого параметра).
Мы полагаем, что для развития прикладных математических навыков при подборе упражнений необходимое внимание надог в частности, уделить: