книги / Механика и прикладная математика логика и особенности приложений математики

192 ГЛ. 2. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ МЕХАНИКИ

знаком неадекватности теории — возможно, лишь вблизи предель­ ной ситуации; действительно, при а/1>150(г/1)2 можно спокойно пользоваться обычной теорией, так как тогда расхождение формул (53) и (54) составляет менее 2 %. Словом, и в этом случае предель­ ный переход приносит очевидную пользу не только для контро­ ля, но и для более глубокого понимания условий применимости хмодели.

Еще пример: задача об изгибе пластинки, имеющей вид правиль­ ного я-угольника, шарнирно закрепленного по контуру, при оо не переходит в аналогичную задачу для круглой пластинки. Здесь ситуация аналогична аппроксимации кривой линии с помощью ломаной, составленной из отрезков координатных линий: площадь под кривой при этом аппроксимируется, а длина кривой — нет.

Исследование экстремальных случаев служит не только целям контроля, но может также явиться отправной точкой для асимп­ тотических представлений решения в условиях, близких к экстре­ мальным, что часто имеет самостоятельный интерес *).

К контролю в экстремальных ситуациях примыкают редкие случаи, в которых при определенных, не экстремальных соотно­ шениях между параметрами возможен дополнительный контроль модели, например, если при этих соотношениях соответствующие дифференциальные уравнения интегрируемы в квадратурах и т. п.

Контроль граничных условий. Если в процессе исследования математической модели должна быть построена некоторая функция, то обычно требуется, чтобы на границе ее области определения она удовлетворяла определенным граничным условиям, вытекаю­ щим из смысла задачи. Это, в частности, относится к случаям (но не только к ним), когда указанная функция получается как реше­ ние дифференциального уравнения. При этом требуется контроль того, что граничные условия действительно поставлены и учтены при построении искомой функции и что эта функция на самом деле удовлетворяет таким условиям.

Контроль математической замкнутости состоит в проверке того, что выписанные математические соотношения дают возмож-

математику-прикладнику (квалифицированному! — Авт.) нужно лишь не­ сколько членов асимптотического разлож ения. Как это ни удивительно, но часто дело обстоит именно так».

Отметим попутно, что в ряде случаев модель составляется в предполо­ жении, что какие-либо из участвующих существенных параметров (коорди­ наты, время, физические характеристики процесса и т. п.) обращаются в нуль или в бесконечность. Такие модели можно назвать асимптотически верными, и при их применении к реальным ситуациям возникает важный вопрос о том, можно ли считать указанные параметры равными нулю (бесконечности). Этот вопрос решается либо на основе более точного анализа, учитывающего конечность значений параметров (см. пп. 5.10 и 5.14), либо путем сравнения с экспериментом в типичных ситуациях.

194 ГЛ. 2. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ МЕХАНИКИ

Говоря о моделировании при решении механических проблем, обычно имеют в виду один из двух уровней. Для первого, фунда­ ментального уровня характерно построение достаточно общих мо­ делей, нацеленных на применение в широком круге практических задач. Таковы, например, разнообразные модели современной ме­ ханики сплошных сред; укажем в особенности на работы Л. И. Се­ дова и его сотрудников (см. [289]).

Второй, прикладной уровень — выбор той или иной «стандарт­ ной» модели (из числа разработанных \а первом уровне) для адек­ ватного описания заданной конкретной ситуации; он непосредст­ венно относится к инженерной деятельности. В простейших слу­ чаях речь может идти о прямом продолжении традиции («...данную систему мы будем считать идеально упругой...»), но иногда выбор модели вырастает в непростую и ответственную проблему, для ре­ шения которой нужны знания возможных вариантов и большой опыт. Порой обнаруживается, что для описания данной ситуации нет разработанной адекватной модели — и вопрос, который пона­ чалу поставлен на втором уровне, естественно перемещается на первый *)

Моделирование на прикладном уровне в первую очередь вклю­ чает в себя схематизацию геометрических форм и квалификацию тел в качестве материальных точек, абсолютно твердых или дефор­ мируемых тел (сплошной среды) с теми или иными реологическими свойствами.

В некотором смысле каждую реальную совокупность достаточ­ но большого числа частиц можно рассматривать как сплошную среду.

В книге Л. И. Седова [287, с. 163 отмечается по этому поводу, что в 1 см3 воздуха при О °С на уровне моря содержится N =2,678 • 101й молекул; на высоте 60 км значение W=8-1015, и даже в межзвезд­ ной среде N&1. Таким образом, пишет автор, «даже межзвездный газ можно рассматривать как среду с очень большим числом ча­ стиц в малых (в астрономическом смысле.— Лет.) объемах». Да­ лее, отметив, что плотность железа равна 7,8 г/см3, тогда как плот­ ность атомных ядер железа равна 1,16-1014 г/см3, Л. И. Седов пи­ шет, что «все тела, по существу, «состоят из пустоты», и в то же время в практически малых объемах пространства, занятого те­ лом, всегда заключено большое число частиц».

Тем не менее в механике широко и успешно применяются моде­ ли, в которых тело считается не имеющим протяжения в одном, двух или даже трех измерениях: в последнем случае тело заменяется

*) В описанной иерархии уровней можно заметить сходство с иерархией творчества при создании одежды: есть художники-модельеры, т. е. авторы моделей, рассчитанных на неких абстрактных людей, и есть закройщики, которые, пользуясь альбомами мод, более или менее удачно подбирают фасон для данного клиента.

на материальную точку. Такая схематизация часто (особенно в последнем варианте) существенно упрощает модель, хотя иногда вредит ее адекватности. Возможность этого упрощения определя­ ется путем сравнения протяженности тела в соответствующих изме­ рениях с характерными протяженностями в рассматриваемой задаче; в частности, отсюда вытекает распространенность примене­ ния понятия материальной точки в небесной механике.

Предположение об абсолютной жесткости того или иного про­ тяженного тела также вносит значительные упрощения в модель изучаемой системы. Естественно, что это предположение не имеет абсолютного характера, а зависит от типа воздействий на систему. Так, во многих динамических задачах некоторые элементы системы можно считать абсолютно жесткими, если характерное врехмя, свя­ занное с внешним воздействием, существенно больше, чем наиболь­ ший период свободных колебаний элемента. Однако здесь имеются и важные исключения: например, предположение об абсолютной жесткости всех элементов статически неопределимой системы всегда неадекватно задаче.

В ряде случаев допустимо моделировать отдельные тела си­ стемы в виде безмассовых деформируемых элементов (например, в виде упругих связей). Однако, как правило, приходится одновре­ менно учитывать как деформируемость, так и инерционность тел, образующих механическую систему. При этом значительные упро­ щения вносят кинематические гипотезы — гипотеза прямых нор­ малей в теории пластин и оболочек, гипотеза о ламинарности тече­ ния в гидравлике и т. п., хотя в принципе такие гипотезы снижают степень адекватности модели.

Исключительно важным элементом моделирования сплошных сред является выбор феноменологических зависимостей между на­ пряжениями и деформациями («определяющих уравнений»), приво­ дящий к понятиям упругого, упруго-вязкого или упруго-пласти­ ческого твердого тела, идеальной или вязкой жидкости или к бо­ лее сложным реологическим моделям.

Взаимодействие тел друг с другом учитывается с помощью по­ нятия силы. Силы часто оказывается возможным подразделять на позиционные, т. е. зависящие от координат системы, скоростные, т. е. зависящие от скоростей, и вынуждающие, т. е. заданные не­ посредственно в виде функций времени и вносящие в систему неавтономность (впрочем, эти признаки могут сочетаться). Понятие о заданных вынуждающих силах обычно получается в результате расчленения системы и отбрасывания части, на которую остаю­ щаяся часть системы воздействует сравнительно слабо, как это описано в п. 4.8; тогда, пренебрегая этим воздействием, можно сказать, что отброшенная часть системы передает оставшейся части силу, явно зависящую от времени.

Например, при изучении колебаний фундамента, на котором расположена машина с движущимися неуравновешенными массами,

196 ГЛ. 2. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ МЕХАНИКИ

обычно принимают, что относительное движение подвижных частей машины не зависит от колебаний фундамента, а потому по отноше­ нию к нему это движение определяет внешнюю силу, полностью за­ данную во времени. Однако на самом деле неуравновешенная маши­ на и фундамент составляют единую систему, и хотя в ряде случаев указанное приближение является вполне приемлемым, все же при

Несколько слов о консервативных механических системах. Моделирование динамических систем 42 в виде систем консер­

вативных сыграло и продолжает играть выдающуюся роль в ме­ ханике и вообще в физике. Вместе с тем модели, в которых не учи­ тывается действие диссипативных факторов, часто оказываются неадекватными рассматриваемым реальным процессам; об этом уже говорилось в пп. 2.14 и 4.5. Примечательно, что, как правило, именно в этих случаях при изучении консервативных моделей воз­ никают исключительные математические трудности. Их преодо­ ление вызвало появление ряда глубоких и интересных по своим идеям исследований, хотя из-за упомянутой неадекватности мно­ гие из этих исследований, принадлежащих порой выдающимся ав­ торам, нельзя непосредственно применить к реальным системам *). Учет всегда имеющихся в действительности диссипативных сил с одной стороны, приводит к резкому изменению качественной кар­ тины семейства траекторий в фазовом пространстве, а с другой (и это, несомненно, связанные вещи!), устраняет упомянутые ма­ тематические осложнения при изучении системы.

Наиболее яркими примерами здесь могут служить модель иде­ альной жидкости в гидродинамике и так называемая проблема ма­ лых знаменателей (резонансов, синхронизации) в нелинейной меха­ нике.

В колебательных упругих системах силы трения иногда ока­ зывают дестабилизирующее влияние, и поэтому неадекватность кон­ сервативной модели может сыграть прямо-таки коварную роль. Упомянем здесь явление неустойчивости вращающихся валов вслед­ ствие внутреннего трения (в закритической области), а также парадокс Циглера, касающийся устойчивости стержневой системы, находящейся под действием следящей силы. В этих случаях пре­ небрежение внутренним трением может привести к необоснованно оптимистическим оценкам устойчивости.

На характере математических моделей механики останавли­ вается А. Ю. Ишлинский [135].

*) Мы ни в коем случае не хотим сказать, что эти исследования не нуж­ ны. Столь важная общая динамическая модель, как консервативные системы, несомненно, заслуживает всестороннего изучения на дедуктивном уровне. Кроме того, указанные исследования представляют собой крупный вклад в развитие математикис

§ 5. Выбор метода исследования

ЭВМ, «освобождая нас от многих... обя­ занностей, не освобождает во всяком слу­ чае от двух: от необходимости владеть математическим аппаратом и творчески мыслить».

В . Я. Феодосьев [324, с. 165]

1. Внешнее и внутреннее правдоподобие. Мы уже говорили о том, что прикладное исследование, в котором применяется мате­ матика, вслед за этапом построения математической модели со­ держит этапы выбора метода исследования и реализации этого ме­ тода. Обычно первый этап завершается записью исходных соотно­ шений, уравнений задачи, тогда как дальнейшие этап i состоят в решении математической задачи, которое может включгть получе­ ние как количественных результатов, так и качественны;: выводов. (Мы будем для определенности говорить об «уравнениях задачи», хотя все сказанное будет полностью относиться и к случаю, когда математическая модель имеет какую-либо иную структуру.) Та­ ким образом, решение строится по схеме

после реализации которой наступает этап анализа и интерпретации решения; этот этап «сбора плодов» рассмотрен в § 6. Отметим, что в соответствии с п. 4.3 решению может предшествовать построение целой цепочки моделей; тогда для составления схемы (55) надо остановиться на какой-то одной из них, считая, что переходы, обоз­ наченные на этой схеме стрелками, включают и построение проме­ жуточных моделей.

Обычно степень адекватности модели заранее не известна, а выясняется только после многократных проверок в изучаемой и сходных задачах. Чаще всего после выбора модели исследователь может лишь предполагать, какова степень ее адекватности. Эту ожидаемую степень адекватности мы будем называть внешним прав­ доподобием схемы (55); оно характеризует соответствие матема­ тической модели изучаемому реальному объекту в глазах исследо­ вателя по интересующим его свойствам. Внешнее правдоподобие, как правило, тем ближе к истинной степени адекватности, чем выше опытность и интуиция исследователя или коллектива исследова­ телей в изучаемой области, чем более «апробированным» явля­ ется тип применяемой модели. (Отметим, что, как и в конце п. 3.1, можно было бы ввести еще один психологический параметр, харак­ теризующий степень уверенности исследователя в правильности оценки им внешнего правдоподобия схемы.) Впрочем, одной из драматических сторон научной деятельности является часто встре­ чающаяся и легко понятная склонность даже опытного исследова­ теля преувеличивать степень адекватности избранной им модели;

Мы увидим ниже, что бывают случаи, когда вторая точка зре­ ния оказывается целесообразной, а в некоторых ситуациях она даже необходима. Но все же в подавляющем большинстве случаев естественно принять первую точку зрения, т. е. соразмерять стро­ гость решения с внешним правдоподобием. Можно сказать, что в этой позиции содержится принцип соответствия внешнего и внут­ реннего правдоподобия, аналогичный известному правилу прибли­ женных вычислений: степень точности вычислений должна отве­ чать степени точности исходных данных.

Рассмотрим этот вопрос на качественном уровне подробнее. Для этого обозначим, наподобие степени адекватности (п. 4.3), степени внешнего и внутреннего правдоподобия схемы (55) через Рех и Pin, разумеется, в мало-мальски «приличных» исследованиях значение р 1п близко к единице — в сущности это и есть признак «приличности». Ожидаемая итоговая адекватность р0 решения

кой»» «биологической математикой» и т. п. Для этой области, промежуточной между чистой и прикладной математикой, характерно то, что та или иная ма­ тематическая модель реального объекта как бы абсолютизируется и изучается на полностью дедуктивном уровне с доказательством теорем существования и других утверждений, свойственных чистой математике. При этом термино­ логия заимствуется из дисциплины, к которой относится исходный объект, так что теорема может иметь вид «существует течение» и т. п. Хорошо извест­ ными примерами здесь служат математические исследования уравнений Навье — Стокса, нелинейной теории упругости, пограничного слоя и других уравнений, непосредственно пришедших из механики и физики. (Сюда же примыкает классическая математическая физика, которую более естественно относить к физической математике. Впрочем, сейчас оформляется и неклас­ сическая математическая физика, которая, пожалуй, более тяготеет к фи­ зике.)

Эта область представляет несомненный интерес для прикладной мате­ матики. Некоторые из полученных в ней результатов (в частности, имеющих качественный характер) могут быть использованы непосредственно, другие могут способствовать формированию правильной интуиции или подсказать практически приемлемые методы изучения задачи и повысить степень их до­ стоверности. Вместе с тем в отдельных случаях прикладное использование таких результатов может быть существенно затруднено по причинам, описан­ ным в § 2. Кроме того, некритическое применение этих результатов в реаль­ ной ситуации может привести к ложным выводам (да еще с иллюзией строгой обоснованности), если сама модель окажется неадекватной. (Отметим, на­ пример, некоторые гидродинамические парадоксы, описанные в книге [34] и проистекающие только из несовершенства моделей.) К сожалению, некото­ рые авторы дедуктивных построений, зачарованные их стройностью и вну­ тренней красотой, порой занимают воинственную позицию и объявляют хорошо зарекомендовавшие себя прикладные теории «несовершенными», «пол­ ностью скомпрометированными» и даже «принципиально порочными». Конеч­ но, эти крайние выражения (заимствованные нами из подлинных выступле­ ний — устных и печатных) глубоко несправедливы. Любопытно, что именно такие непримиримо настроенные авторы особенно чувствительны к обратным (и часто тоже несправедливым) упрекам в полной практической бесполезности их дедуктивных теорий.

Сходный характер часто имеют исследования, в которых на чисто дедук­ тивном уровне изучаются отдельные вопросы вычислительных процедур, если такие исследования не нацелены на применение при реальных вычислениях.

и множества проблем оптимизации — невозможно без привлечения понятий экономики. Пусть ожидаемая выгода от достижения адек­ ватности ро (измеряемая, в конечном счете, в денежных единицах) равна F(PexPin) и /(р 1п) —затраты, необходимые для обеспече­ ния некоторого уровня /?1п. Наша задача сводится к максимиза­ ции разности

двух возрастающих функций аргумента p in (если считать р ех фик­ сированным).

В любой действительной ситуации построение функции f — весьма непростая (и к тому же небесплатная) операция, а постро­ ить функцию F вообще невозможно. Из-за практической «кевычисляемости» членов, входящих в (56), это бесспорно разумное вы­ ражение не может претендовать на реализацию и имеет, пожалуй, только символический смысл. Поэтому мы не будем увлекаться формальными выкладками, а — лишь взглядывая время от вре­ мени на (56) — воспользуемся понятными соображениями качест­ венного характера.

Прежде всего отметим те, в общем немногочисленные случаи, когда не следует придерживаться указанного выше принципа рав­ ного правдоподобия (первой точки зрения), а разумно ориентиро­ ваться на выполнение точного равенства /7in= 1 * т. е. на чисто дедуктивное изучение модели — даже при невысоком внешнем правдоподобии (это соответствует второй точке зрения). Нам уда­ лось выделить четыре типа таких случаев (не исключено, что какието типы остались незамеченными).

1. Если речь идет об отработке единого метода, который наме­ чено применять к широкому заранее не фиксированному классу моделей с широким диапазоном значений р ех. В подобных случаях метод должен быть кристально чист и удовлетворять самым стро­ гим дедуктивным требованиям. Именно с этим связана полезней­ шая прикладная роль общих теорем Ляпунова об устойчивости, хотя в конкретных приложениях значения р ех, а потому и /?0, далеко не всегда близки к единице.

2. Если целью исследования является выяснение качества са­ мой математической модели. Примером может служить следующая ситуация. Установлено существенное расхождение между опытными данными и результатами некоторого приближенного решения; тре­ буется выяснить, не виновата ли в этом избранная модель, т. е. принятая схема явления. Понятно, что в данном случае необхо­ димо полностью исключить возможное влияние нестрогости мате­ матического решения задачи и обеспечить /?in= l .