книги / Механика и прикладная математика логика и особенности приложений математики

Приведем пример. Одним из первых начал строить неэффективные до­ казательства существования для конечных множеств П. Дирихле на осно­ вании выдвинутого им утверждения, которое теперь называется принципом Дирихле. Этот принцип, вытекающий из закона исключенного третьего, гласит, что если п предметов разложено по ш ящикам, причем л > т , то по крайней мере в одном ящике находится более одного предмета. Так, с помощью принципа Дирихле легко доказывается, что в городе с полумиллионным населением в любой момент всегда существуют по крайней мере два человека с одинаковым числом волос *): для этого достаточно к одному классу — «ящи­ ку» — отнести людей с одинаковым числом волос, начиная от 0 и кончая 499998 (число волос у человека никак не превосходит 300000). Но разве это рассуждение помогает персонифицировать пару «равноволосых» людей?

Наибольшее недоумение с прикладных позиций могут вызвать утверждения о существовании, полученные с помощью безоговороч­ но применяемой в чистой математике аксиомы Цермело (см.14), поскольку она по своему содержанию вводит в рассмотрение неидентифицируемые объекты. Так, с ее помощью С. Банах и А. Тарский доказали, что существует такое разбиение шара на четыре части, что после перемещения в пространстве этих частей как абсолютно твер­ дых тел оказывается возможным из них составить полностью — без пропусков! — два шара, каждый из которых равен исходному. Ясно, что получающийся качественный вывод «с помощью разбие­ ния и перемещения частей возможно увеличение объема» не имеет никакой реальной интерпретации **). Не говорит ли это о том, что фраза Р. Куранта о «сверхчеловеческой силе формальных процедур», приведенная на с. 30—31, относится и к нашему времени? (Впрочем, критикуя предшественников, мы иногда не смущаемся угрозой не менее обоснованной критики по нашему адресу в будущем.)

Итак, мы видим два принципиально различных взгляда на поня­ тие существования математического объекта: в прикладной мате­ матике он существует как математическая модель реального объек­ та, принципиально идентифицируем и конструируем, тогда как в чистой математике он существует как идея, не противоречащая при­ нятой системе аксиом. Интересно отметить глубокую метаморфозу, которую претерпевает понятие существования, переходя из естест­ венных наук в чистую математику и превращаясь при этом из слу­ жебного понятия в объект изучения. Здесь проявляется общий тезис о том, что одни и те же слова могут иметь для различных людей далеко не одинаковый смысл. Различные группы людей, пользую­ щихся формально одним языком, в действительности как бы говорят на хотя и значительно взаимосвязанных, но не идентичных и порой

*) Подразумевается, что для каждого человека в каждый момент времени можно говорить о точном числе принадлежащих ему волос. Кстати, в дейст­ вительности это не так, и потому формально безупречная задача оказывается полностью неадекватной реальности.

**) В противном случае посыпались бы предложения получать из не­ большого шара, изготовленного, скажем, из золота, сколь угодно большие количества этого металла с помощью повторного многократного примене­ ния теоремы Банаха — Тарского.

сильно отличающихся друг от друга языках *); иногда так посту­ пает и один человек — в различных ситуациях **).

Приведем две цитаты из книги Р. Куранта и Г. Роббинса [179, с. 136— 137 и 139], относящиеся к описанной выше проблеме существования.

«Когда речь идет о доказательствах существования объекта определен­ ного типа, то есть существенное различие между тем, чтобы построить ося­ заемый пример объекта, и тем, что из несуществования объекта можно вы­ вести противоречивые заключения. В первом случае получается осязаемый объект, во втором — ничего, кроме противоречия».

«Вопросы, рассматриваемые в математической логике, в конечном счете упираются в один основной вопрос: что понимать под существованием в ма­ тематике? К счастью, существование самой математики не зависит от того, найден ли удовлетворительный ответ на этот вопрос. Школа «формалистов» во главе которой стоял великий математик Гильберт, утверждала, что в ма­ тематике «существование» означает «свободу от противоречия». Если принять эту точку зрения, то очевидной и необходимой задачей является как раз построение системы постулатов, из которых всю математику можно было бы вывести путем логической дедукции, и доказательство того, что эти постулаты не могут привести ни к какому противоречию. Недавние результаты Гёделя и других как будто бы показывают, что такая программа, по крайней мере в той форме, в какой она была намечена самим Гильбертом, не может быть осуществлена 19. Весьма многозначительно то обстоятельство, что гильбер­ това теория формализованного построения математики существенно опи­ рается на интуитивные процедуры. Тем или иным путем, в открытой или скрытой форме, даже прикрытая самым безупречным формалистическим, логическим, аксиоматическим одеянием, конструктивная интуиция всегда остается самым жизненным элементом в математике».

И. М. Яглом [360, с. 14]: «Все основные стоящие перед людьми задачи обычно сводятся к преобразованию тех или иных дескриптивных (т. е. осно­ ванных на перечислении требуемых свойств.— Авт.) определений в кон* структивные — таковы, скажем, задачи нахождения максимума функции или создания парового двигателя. Крайне важно, что нахождение конструк­ тивного определения того или иного объекта, ранее заданного лишь деск­

бого прикладника может вызвать совершенно неожиданные с точки зрения чистого математика ассоциации. Дело в том, что физическая осуществимость («физическое существование») какого-либо состояния тесно связана с его устойчивостью. Поэтому вторая часть утверждения «кроме нижнего, устой­ чивого состояния равновесия маятника с у щ е с т в у е т верхнее, н е у с ­ т о й ч и в о е » может несколько шокировать прикладника: «Как это «су­ ществует», если оно неосуществимо?».

**) Отец Браун говорил по этому поводу [345, с. 73—74]: «Люди никог­ да не отвечают именно на тот вопрос, который им задают. Они отвечают на тот вопрос, который услышали или ожидают услышать. Предположим, одна леди гостит в усадьбе у другой и спрашивает: «Кто-нибудь сейчас живет здесь?» На это хозяйка никогда не ответит: «Да, конечно,— дворецкий, три лакея, горничная», хотя горничная может хлопотать тут же в комнате, а дво­ рецкий стоять за ее креслом; юна ответит: «Нет, никто»,— имея в виду тех, кто мог бы вас заинтересовать. Зато если врач во время эпидемии спросит ее: «Кто живет в вашем доме?» — она не забудет ни дворецкого, ни горничной, ни всех остальных. Так уж люди разговаривают: вам никогда не ответят на вопрос по существу, даже если отвечают сущую правду».

44 ГЛ. I. ЛОГИКА ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ

См. также [310], статьи «Интуиционизм» и «Конструктивная ма­ тематика» в Математической энциклопедии и указанную там лите­ ратуру.

3. Проблема бесконечности. Мы уже затронули выше эту важ­ нейшую проблему, которая также по-разному трактуется в приклад­ ной и чистой математике. Изучаемые реальные объекты конечны, поэтому бесконечный математический объект (бесконечная последо­ вательность, бесконечный интервал и т. п.) может появиться в результате упрощающей математической схематизации, когда «да­ лекие» элементы, участки теряют свою индивидуальность, их влияние сходит на нет *). Таковы понятия упругого пространства (полупространства и т. д.) или бесконечно длинного стержня в тео­ рии упругости, или понятие об установившемся режиме вынужден­ ных колебаний (или автоколебаний 2Ф), на который не влияют на­ чальные условия. Реальное количество элементов или реальный размер интервала, дающие возможность перехода к математической бесконечности, в различных задачах — даже при изучении одного и того же объекта — весьма различны; они зависят от «скорости затухания» влияния далеких элементов, существенности этого влияния и от допустимой погрешности при решении задачи. Поэтому такая бесконечность является, по существу, незавершенной и при­ том счетной: в дискретном случае количество элементов, которые имеют «персональное» значение, может при модификации задачи измениться, бесконечное множество может при этом перейти в ко­ нечное и обратно. Аналогичные метаморфозы в непрерывном случае происходят с длительностью переходного процесса в.теории колеба­ ний, с пограничным слоем и т. д.

Другой тип бесконечности в прикладной математике появляется в результате такой схематизации конечной системы, когда каждый элемент теряет индивидуальное значение. При такой схематизации дискретность заменяется на непрерывность, суммы — на интегралы и т. п. Интересно, что в некоторых конкретных примерах число элементов в системе, дающее право на подобные упрощающие за­ мены, может оказаться весьма небольшим. В качестве примера сошлемся на задачу о вычислении наибольшего прогиба круглой пластинки, нагруженной в середине и свободно опертой в п точках на контуре, которые расположены в вершинах правильного «-уголь­ ника: как показывают расчеты, уже при п= 5 эту систему опор, можно с достаточной точностью заменить свободным опиранием вдоль всего контура, т. е. в рассматриваемой задаче уже 5 « оо.

Таким образом, результаты, полученные в терминах актуально

*) Отметим, что само по себе рассмотрение непрерывных переменных еще не вводит в прикладную>математику бесконечности, так как область из­ менения таких переменных выступает в приложениях не как набор точек, а как первичный объект (например, интервал времени) с внутренней организа­ цией, т. е. система (см. [352]).

46 ГЛ. 1. ЛОГИКА ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ

области, а прочие обозначения очевидны. Ясно, что реально область (ДУ) не должна безгранично уменьшаться, ее размеры должны быть существенно больше межмолекулярных расстояний, хотя и существенно меньше харак­ терных конечных размеров, на которых плотность может заметно измениться. Применяя для области таких размеров букву d вместо Д, приходим к фор­ мулам

в которых dm и dV представляют собой физически бесконечно малые вели­ чины, т. е. величины, удовлетворяющие описанным оценкам; эти величины можно рассматривать как переменные или как постоянные. Формулу (1) можно понимать ив смысле чистой математики, если реальное вещество, со­ стоящее из частиц, предварительно заменить с помощью осреднения и «сгла­ живания» результата на математическую сплошную среду; эту операцию иногда называют «размазыванием» или «континуализацией».

Физические бесконечно малые, имеющие совершенно иные масш­ табы протяженности, возникают при рассмотрении плотности насе­ ления на Земле или плотности распределения звезд во Вселенной. Конечно, и здесь можно применить осреднение, хотя в первом при­ мере его результаты, если их образно себе представить, выглядят несколько странно...

Примененные выше выражения «существенно больше», «сущест­ венно меньше», «заметное изменение» не имеют точного чисто мате­ матического смысла, это типичные размытые понятия (п. 2.9). В большинстве теоретических рассуждений они и не нуждаются в полном уточнении, достаточно иметь уверенность, что величина выбирается с необходимым «запасом прочности», который может по­ надобиться в этих рассуждениях. Во многих случаях переход к ве­ личинам высшего или низшего порядка означает по традиции по­ просту увеличение или уменьшение не менее чем в 10 раз, хотя в ряде случаев такой коэффициент, как бы меняющий качество величины, имеет существенно иное значение. Какие-либо обоснованные общие соображения о выборе этого коэффициента пока отсутствуют, и трудно представить себе, на что они могли бы опираться.

Итак, рассуждения, связанные с выводом или интерпретацией дифференциальных законов, никогда не имеют чисто дедуктивного характера.

4. Прикладная математика и число. Даже к такому первичному математическому понятию, как число, чистая и прикладная матема­ тика относятся по-разному: первая — как к преимущественно логи­ ческому объекту, а вторая — как к порядковому индексу или к ко­ личественной мере реальной дискретной совокупности (натуральное число) или непрерывной протяженности (вещественное число). Это различие подходов особенно ярко проявляется при рассмотрении весьма, даже в определенном смысле чрезмерно, больших или малых чисел. Проблемы, возникающие при этом, непосредственно связа­ ны с проблемой бесконечности (п. 2.3) и частично затрагивались выше.

Будем рассматривать сначала натуральное число как мощность реального множества, т. е. количество его элементов. Если первые числа имеют отчетливо выраженную индивидуальность, то по мере увеличения индивидуальность чисел постепенно теряется, конечно, для разных классов задач с разной скоростью. При этом имеется в виду не формальная, а реальная индивидуальность: например, число 1010 имеет отчетливую формальную индивидуальность, однако труд­ но представить себе реальную задачу, в которой множество с 1010 эле­ ментами отличалось бы от множества с 1010 + 1 элементами. По-ви­ димому, в быту такая потеря индивидуальности постепенно начина­ ется с нескольких десятков, в более точных научных и технических расчетах — с нескольких сотен или тысяч, редко дальше; исключе­ ние по понятным причинам составляют некоторые финансовые рас­ четы.

Таким образом, реальные большие числа размываются, и каждое такое число становится как бы представителем семейства близких ему чисел. На этом вопросе останавливаются П. К. Ра­ шевский [276] и М. Даммет [414].

Еще большие формально выписанные числа вообще полностью теряют всякий реальный смысл. Рассмотрим, например, число

iV= 101о1°. Конечно, никакая реальная совокупность не может иметь число элементов, сравнимое с V, т. е. в любой реальной задаче N равнозначно бесконечности. Можно даже сказать, что в прикладной

математике Ю1010 как окончательный результат является не числом,

а символической картинкой, наподобие Осознание реальной недостижимости формально построенных чрезмерно больших чисел привело в последние годы к возникновению нового течения в мате­ матической логике — ультраинтуиционизма (см., например, [259, § 1.2]). Характерно название первой работы [406] в этом направлении

Д. ван Данцига: «Является ли Ю1010 конечным числом?». Впрочем, числа вида N могут играть вспомогательную роль, подобно мнимым числам, которые порой появляются в промежуточных выкладках, хотя окончательные значения физических величин должны быть вещественными.

Конечно, сколько-нибудь точно указать рубеж, отделяющий «ис­ тинные» числа от чисел, являющихся следствием принятой системы обозначений и имеющих лишь ограниченное промежуточное значе­ ние, невозможно. Обычно указывается по этому поводу интервал от 10100до 10200 (см., например, книгу Э. Бореля [54, гл. VI]). По совре­ менным представлениям, наибольшая протяженность во Вселенной имеет порядок 3 • 1010 световых лет, т. е. 3 • 1028 см. С другой стороны, наименьшие реальные значения длин, вероятнее всего, не менее 10~33 см (см., например, [89]). Поэтому значение 3(1028 : 10”33)3— —3 -10183 наверняка значительно превосходит число элементарных частиц во Вселенной. Для любых реальных условий отношение наибольшего реального интервала времени к наименьшему вряд ли

48 ГЛ. 1. ЛОГИКА ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ

превосходит 1040 *). Однако здесь указаны с а м ы е д а л е к и е рубежи, возникающие только в астрофизике; в технике вряд ли могут встретиться отношения реальных величин, большие 10s®. А вот «бытовой» пример: длительность предстоящей совместной жизни до золотой свадьбы новобрачные ощущают практически бесконечной, тогда как она составляет всего 1,83 -104 дней.

Число N, формально определенное выше, несравнимо с реаль­ ными числами. В самом деле, по правилам арифметики N : 1010®=

— К)10 -10°. Однако в силу упомянутой выше реальной неопреде­ ленности больших чисел можно положить 1010—100= 1010, откуда N : 10100= JV. Мы видим, в частности, что применение самых мощ­ ных ЭВМ нисколько не приближает нас к овладению числом N. В связи с этим А. Н. Колмогоров предлагал [1581 подразделять натуральные числа на принципиально различные классы малых, средних и больших чисел (к последним относится и N); при этом проблема, которую нельзя решить с помощью «среднего» перебора, находится «за пределами машины на любой сколь угодно высокой ступени развития техники и культуры». (См. также [458].)

Таким образом, применяя к прикладной математике теоремы существования (п. 2.1), предельные переходы, оценки, полученные в чистой математике, надо все время иметь в виду осмысленные диапа­ зоны значений рассматриваемых величин. Иногда при этом прихо­ дится пересматривать привычные представления; например, теоре­ тически lim lg lg х —оо, однако lg lg 101в®=2.

X-*<Х>

Выше упоминалось, что формальные чрезмерно большие числа могут иметь в с п о м о г а т е л ь н о е значение в реальных зада­ чах. Так, известно, что в статистической термодинамике темпера­ тура порции газа вводится с помощью ее энтропии, которая равна логарифму числа квантовых состояний этой порции. Простые оцен­

= 101®*4, т. е. несравнимо больше введенного выше числа N; другими словами, N t : N —Nx. Конечно, это не противоречит оценке «самого большого реального числа», так как множество всех квантовых со­ стояний никак нельзя считать физически реализованным; это мно­ жество в принципе ненамного отличается от множества всех нату­ ральных чисел, хотя и имеет индивидуальные количественные

*) В «Арифметике» Л. Магницкого (1703 г.) указаны наименования чисел до 10s®, ибо «довлеет числа сего к вещам всем мира всего» («довлеет» значит «достаточно»). С другой стороны, существенно более современный автор Р. Эшби пишет [358]: «Все материальное не может выражаться числом, пре­ вышающим Ю10®». Он останавливается на перспективах развития общей теории систем, в которой с помощью комбинаторики возникают несравненно большие числа, и видит единственный выход в том, что «теория систем должна строить­ ся на методах упрощения и по сути дела представлять собой науку упро­ щения».

например, [367, 4021) к числам вида N и 10^, т. е. заведомо никогда не реализуемым. Это исключает возможность действительного (а не словесного) применения подобных результатов.

Естественно, что те же вопросы возникают при рассмотрении формально определенных чрезмерно малых положительных чисел.

Так, выражение 10-1°10, полученное в прикладной задаче в качестве окончательного ответа, равно нулю, причем не приближенно, а точно *), так как это «число» несравненно меньше любого реального положительного числа. Малые, получающиеся при сравнении ре­ альных величин, обратны большим, но реальным числам, о которых говорилось выше. В практических расчетах такие малые часто появ­ ляются из-за неадекватного выбора единицы сравнения (например, если выражать массу электрона в тоннах). «Истинная» малость, ко­ торая еще что-то значит по сравнению с единицей,— грубо говоря, которую еще можно добавлять к единице,— определяется осмыслен­ ной относительной точностью величин, т. е. в конечном счете уров­ нем измерительной техники. Сейчас наивысший уровень — до 10”12 — имеет относительная точность измерения времени и длины,' точность измерения многих других величин существенно ниже.

Конечно, в дальнейшем эта точность будет повышена, но отнюдь не беспредельно, так как этому противоречат молекулярные и кван­ товые свойства, в частности принцип неопределенности; эта точность в обозримом будущем вряд ли превысит 10_2° и, во всяком случае, она не достигнет 10-30.

Точность промежуточных вычислений должна превышать точ­ ность окончательного ответа, но обычно не очень значительно; необходимый запас точности в простых случаях диктуется правила­ ми приближенных вычислений. При вычислениях на ЭВМ нет смысла специально загрублять степень точности промежуточных вы­ числений, если она оказывается избыточной. Поэтому такие вычис­ ления производят с естественной точностью, свойственной ныне применяемым ЭВМ; обычно она близка к 10_1° и для подавляющего большинства вычислений оказывается достаточной. В редких слу­ чаях применяется удвоенная точность, близкая к 10-20.

Таким образом, не только бесконечные десятичные дроби, фор­ мально допускаемые чистой математикой, но даже дроби со слишком большим числом значащих цифр лежат за пределами прикладной математики **). Впрочем, это не означает, что в прикладной матема-

тике нет иррациональных чисел; однако такие числа, как V 2, я и

*) ^Будучи вырванными из контекста, эти слова могут вызвать негодова­ ние; мы надеемся, что читатели не соблазнятся легкой возможностью выска­ зать авторам тяжелый упрек. Позже мы будем говорить о том, что выражения «точно» и даже «абсолютно точно» сами в определенном смысле имеют отно­ сительный характер; см., например, рассмотрение равенства 2 X 2 = 4 в п, 2.5.

Несколько утрируя, можно сказать, что если 2 X 2 = 4 , то 10-1°1°= 0 .

**) Заметим в качестве курьеза, что недавно в одном из исследователь­ ских центров NACA за 28 ч работы ЭВМ было получено значение числа я с 7-22г«2,9 -107 цифрами после запятой (Science news.— 1986.— V. 129, № 6)!