книги / Механика и прикладная математика логика и особенности приложений математики

ющее состояние преподавания математики представляется неудов­ летворительным.

Главная цель изучения математики широкими слоями учащихся состоит в том, чтобы математику можно было применять. Здесь мы имеем в виду применения в самом широком плане: не только на производстве, но и в других дисциплинах, при чтении специальной и популярной литературы, в быту и т. д.; кроме того, основные математические понятия позволяют глубже осмысливать различные факты, видеть их общие черты; навыки разумной точности могут помочь формулировать мысли и т. д. Именно эта главная цель должна определять выбор изучаемого материала и способа его из­ ложения.

С этих позиций решительные возражения вызывает существую­ щий аксиоматический курс геометрии. Методы рассуждений здесь настолько специфичны, что за пределами этого курса никогда не применяются (даже математиками-специалистами), и огромный труд, необходимый для овладения ими, оказывается бесплодным. Ника­ кие методические усовершенствования (например, распространяе­ мые в последнее время мнемонические правила для запоминания доказательств никому не нужных утверждений) делу не помогут.

Конечно, геометрическое развитие очень нужно! Но оно куда быстрее и эффективнее достигается на гораздо более важном и ин­ тересном материале метрической, комбинаторной, начертательной геометрий. И доказательства в геометрии необходимы, но только тех фактов, которые без доказательства не очевидны, таких как теорема Пифагора, теорема о сумме углов треугольника и т. д. Те же факты, которые легко воспринимаются на интуитивном уровне, надо не доказывать формально, а закреплять с помощью разумно подобранных вопросов и упражнений.

Приведем пример. В стабильном учебнике геометрии (впрочем, глубоко продуманном и последовательном, но находящемся полностью на аксиома­ тических позициях) теорема из стереометрии «Две прямые, параллельные третьей прямой, параллельны» снабжена следующим доказательством: «Пусть прямые Ъпс параллельны прямой а. Докажем, что прямые б и с параллельны. Случай, когда прямые а, 6, с лежат в одной плоскости, был рассмотрен в пла­ ниметрии. Поэтому предположим, что наши прямые не лежат в одной пло­ скости. Пусть р — плоскость, в которой лежат прямые а и б, а у — плоскость, в которой лежат прямые а и с. Плоскости р и у различны (приведен рису­ нок.— Лет.). Отметим на прямой б какую-нибудь точку В и проведем пло­ скость уг через прямую с и точку В. Она пересечет плоскость р по прямой Ьг*

Прямая Ьх не пересекает плоскость у. Действительно, точка пересечения должна принадлежать прямой а, так как прямая бх лежит в плоскости Р* G другой стороны, она должна лежать и на прямой с, так как прямая бх лежит в плоскости уг. Но прямые а и с как параллельные не пересекаются.

Так как прямая Ьг лежит в плоскости Р и не пересекает прямую а, то она параллельна а, а значит, совпадает с б по аксиоме параллельных. Таким образом, прямая б, совпадая с прямой бь лежит в одной плоскости с прямой с

(з плоскости Vi) и не пересекает ее. Значит, прямые б и с параллельны. Тео­ рема доказана».

Мы предлагаем читателю разобрать это доказательство, рекомендованное сейчас всем ученикам 9-го класса. Не лучше ли просто спросить: «Подумайте,

как расположены друг относительно друга две прямые в пространстве, если они параллельны третьей». «А если перпендикулярны?», «Найдите в классе примеры таких прямых» и т. п.?

Что касается утверждений, которые учащиеся воспринимают как совершенно очевидные (например, «Какова бы ни была плоскость, существуют точки, принадлежащие этой плоскости, и точки, не принадлежащие ей» — одна из аксиом в стабильном учебнике, или: «Движение переводит плоскости в плоскости» — теорема оттуда же), то их даже специально выделять не надо. Какая-либо мотивировка только затрудняет их понимание.

Иногда говорят, что этот аксиоматический курс нужен для развития логического мышления. Примерно то же когда-то говори­ лось в защиту школьного преподавания латыни. Но здесь можно повторить слова Л. Д. Ландау о схоластике (с. 289). Конечно, не­ которая часть школьников получает здесь какое-то логическое развитие, но в целом кпд соответствующих усилий крайне низок. Логическое развитие может и должно воспитываться, но на значи­ тельно более жизненном материале!

Ради чего же эти бесплодные тяжкие усилия? Неужели для того, чтобы построить безупречное, но полностью бесполезное зда­ ние? Мы считаем, что здесь просто действует инерция, отсутствие мужества избавиться от мертвого груза.

Если теперь говорить о том, что должно быть в школьном курсе математики, то здесь, с соответствующими упрощениями, можно по­ вторить многое из того, о чем говорилось в связи с втузовским пре­ подаванием, и потому мы скажем об этом совсем кратко. Так, доста­ точное внимание надо уделять составлению и неформальному об­ суждению математических моделей, задачам с неполными или из­ быточными данными, методам самоконтроля, применению справоч­ ников и таблиц и т. п. Важное место должна занимать прикидка (в том числе устная) значений или порядков величин, их точности. Надо широко внедрять карманные калькуляторы, проводить на них все вычисления, за исключением самых простых; в частности, это даст возможность преодолеть дурную традицию «круглых» ответов, мешающую навыкам приложения математики.

Что касается стиля изложения, то здесь надо идти по пути ра­ зумного компромисса между строгостью, доступностью и приклад­ ной направленностью, не забывая ни об одной из этих сторон. Так, понятия, важные для приложений, но не допускающие простой формализации, следует вводить с помощью наглядного описания и иллюстрировать примерами. Утверждения стараться приводить только действительно необходимые или поучительные, причем дока­ зательства выбирать такими, чтобы они способствовали пониманию фактов и были убедительными для учащихся (а не для рецензентов). Утверждения, интуитивно ясные, вряд ли следует снабжать «офи­ циальными» доказательствами: доказательство должно объяснять причину факта, заранее не очевидного.

научился доказывать математические теоремы, а в том, чтобы он в простых ситуациях за пределами математики понимал, что одни утверждения можно выводить из других, не путал прямые утверж­ дения с обратными, не пропускал логически возможные случаи и т . п. И здесь существенную роль могут сыграть специально по­ добранные задачи, основанные на доступном материале, как при­ кладном, так и «чистом».

Мы думаем, что полезно было бы иметь не один, а несколько учебников с примерно одинаковым содержанием, но различным ха­ рактером изложения, предоставив педагогу право пользоваться ими по своему усмотрению.

В заключение приведем высказывания известного голландского математика и методиста Г. Фройденталя по поводу школьного пре­ подавания математики [328]. Они настолько яркие, что, надеемся, читатель не посетует на нас за их количество.

(С. 12), автор говорит об ошибке, «...которая часто пронизывает обучение геометрии: интуитивно ясные вещи доказывают такими методами и с такими тонкостями, потребности в которых на данной стадии обучения школьник не ощущает».

(С. 39): «...важно, чтобы изучаемая математика была тесно свя­ зана с реальной действительностью. Только так можно обеспечить длительное влияние математики на обучающегося. Мы, математики, не забываем нашу математику, так как это наше основное занятие. Обычно же все, что не связано с повседневной жизнью, улетучи­ вается из памяти. Для большинства людей математика не может быть целью; то из математики, что изучалось без связи с повседнев­ ной жизнью, будет забыто, а потому неэффективно».

(С. 69): «Дети учатся вычислять, сколько стоят три фунта са­ хара, если задана цена одного фунта; или чему равна площадь прямоугольника, стороны которого известны. Понятия, встречаю­ щиеся при этом, не входят ни в какие системы аксиом. Применяя математику, никогда не оглядываются на системы аксиом».

(С. 105—106, в связи с понятием дифференциала): «Студенту следует обучиться этому уже у преподавателя математики, чтобы не сидеть с разинутым ртом на лекции по физике; школьник должен быть подготовлен к этому заранее. Совершенно нетерпимо, когда математик преподает математику без ее применений, а физик при­ меняет математические методы, не излагавшиеся математиком...

Эта шизофрения имеет глубокие корни. Разрыв возник в конце прошлого столетия и продолжает расширяться вследствие совре­ менного развития, особенно вследствие проникновения теоретико­ множественной терминологии и новых формулировок в математику. Если мы, математики, будем все более методично и неэвристично преподавать математику, то люди, которые ее применяют, станут сами давать своим ученикам ту математику, которую они считают нужной».

314 ГЛ. 3. СУБЪЕКТИВНЫЕ ПРОБЛЕМо!

(С. 129): «...школьники, обученные хорошо подогнанной и не свя­ занной с действительностью математике, ничего так не отвергают, как связанную с действительностью математику, которую они никак не могут осилить с помощью формальных правил и которая вместо этого требует от них самостоятельного мышления».

По поводу прикладной направленности преподавания матема­ тики в школе см. также [84, 128, 389].

9. О подготовке специалистов по прикладной математике *). Имеется два основных канала подготовки специалистов по приклад­ ной математике — на базе университетов и на базе технических (эко­ номических и т. д.) институтов. В первом случае, о котором мы будем говорить подробнее, вырастают специалисты более широкого профиля, во втором — более приспособленные к непосредственной работе в данной области приложений. Сосуществование этих двух каналов правомерно, они дополняют друг друга и имеют самые ши­ рокие перспективы.

Содержание образования на математических факультетах и от­ делениях университетов сложилось на протяжении многих десяти­ летий на основе интересов развития математической науки. Резко изменившееся положение, связанное с быстрым увеличением по­ требностей в математиках%для приложений, пока на этих факульте­ тах учитывается недостаточно. Более того, развитие прикладных математических работ привело к нежелательному изменению в сос­ таве педагогических коллективов математических факультетов. Уче­ ные, проявляющие интерес к прикладной математике, часто уходят из университетов в организации прикладного характера, так что на математических кафедрах происходит концентрация специалистов, имеющих склонность к более абстрактным исследованиям. Интересы этих ученых естественным образом отражаются на учебных планах, на программах отдельных курсов, на их направленности **).

Чисто математическое направление подготовки закрепляется той относительной легкостью, с которой более сильные студенты могут начать самостоятельную работу в области чистой математики. Однако это приводит к тому, что когда выпускник математического факультета приходит в организацию, занимающуюся прикладными вопросами, ему, как правило, приходится преодолевать высокие психологические барьеры: отказаться от мысли, что единственно достойной областью человеческой деятельности является «придумы­ вание теорем»; пройти через достаточно мучительную переориенти­ ровку; научиться находить общий язык со специалистами в других областях; понять, что другие специальные языки ничуть не хуже,

*) Здесь использованы, в частности, неопубликованные высказывания М. А. Красносельского.

**) О вреде, который могут причинить преподаватели-исследователи, уделяя особое внимание собственным теоретическим проблемам, говорит А. Гротендик [4341 — кстати, известный специалист в наиболее абстрактных областях чистой математики.

и т. д. Кроме того, ему приходится приобретать ряд необычных для него знаний и навыков, порой довольно элементарных, но требую­ щих серьезной психологической перестройки (см. § 2). Все это иног­ да порождает у молодых людей неудовлетворенность своей работой и своей судьбой, отношение к своей деятельности как к печальной необходимости, желание перейти на такую работу, где можно было бы спокойно доказывать теоремы.

Поэтому одна из основных целей математических факультетов университетов должна состоять в воспитании математиков, которые хотят заниматься приложениями математики и подготовлены к это­ му. Другими словами, с известным афоризмом, приписываемым Г. Штейнгаузу, «математик сделает лучше» можно было бы согла­ ситься лишь в уточненной формулировке: «математик с д е л а е т лучше, если он з а х о ч е т это и если он п о д г о т о в л е н к этому»!

Отметим, кстати, что выпускники математических факультатов, ориентированные на приложения, позволили бы существенно повы­ сить прикладной уровень преподавания математики во втузах.

Острая нехватка соответствующих специалистов привела к от­ крытию в последние годы в ряде университетов факультетов при­ кладной математики, на которых проводится подготовка, в основном, по программированию, математическому обеспечению ЭВМ и авто­ матизированным системам управления. Однако эта мера в ее ны­ нешнем виде не дает полного решения проблемы как из-за того, что прикладная математика нуждается в более широкой трактовке, так и из-за того, что основная часть наиболее квалифицированных мате­ матиков осталась на общематематических факультетах. Поэтому широкая подготовка студентов-математиков на общематематических факультетах для работы, связанной с приложениями математики (в технике, в экономике, в естествознании и т. д.), была бы благо­ творной во многих отношениях и для этих факультетов и для мате­ матики, как прикладной, так и чистой. Эта подготовка должна соче­ тать высокий уровень теоретического образования со знанием мето­ дов решения разнообразных классов прикладных задач; овладение общематематическими и прикладными идеями с освоением основного «работающего» математического аппарата, в частности с непремен­ ным освоением работы на ЭВМ. Одной из основных особенностей обучения должна быть правильная психологическая направлен­ ность: студент должен быть подготовлен к своей будущей практиче­ ской работе, должен понимать ее первостепенную важность, гордить­ ся ею как одним из наиболее необходимых и ответственных видов деятельности в современном обществе *).

*) Г. Биркгоф пишет [35, с. 90], что прикладные математики, «способные к глубокому общению с другими учеными и инженерами и знакомые с мощью и ограничениями цифровых машин, ... призваны стать вождями завтрашнего математического мира, но их будет крайне трудно найти и развить!».

Содержание и направленность традиционных курсов должны учитывать характер современных и разумно прогнозируемых требо­ ваний к будущим специалистам, который отражается как на отборе материала, так и на роли практических навыков студента. Студент должен владеть методом, развиваемым в соответствующей матема­ тической дисциплине, уметь свободно анализировать не слишком сложные ситуации, уметь решать задачи, при отборе которых не следует ни преуменьшать, ни болезненно преувеличивать роль формальных выкладок.

Приведем в качестве примера вариант программы курса «Дифференци­ альные уравнения» (ДУ), рассчитанного на 85 часов.

1. Общие понятия о ДУ, основные сопутствующие определения. Примеры задач, приводящих к ДУ.

2.Геометрический смысл ДУ 1-го порядка, приближенное построение интегральных кривых. Основные интегрируемые типы ДУ 1-го порядка (включая понятие об интегрирующем множителе).

3.Принцип сжимающих отображений и теорема о разрешимости задачи Коши. Нелокальное продолжение решений. Понятие о дифференциальных

включениях и скользящем режиме (примеры).

4.Непрерывность, дифференцируемость решения задачи Коши по пара­ метру; уравнения в вариациях. Понятие об уравнениях с малым параметром при старшей производной, пограничный слой.

5.Системы ДУ 1-го порядка: геометрический смысл, теорема о разре­ шимости. Первые интегралы и законы сохранения. Разрешимость ДУ выс­ ших порядков. Случаи понижения порядка, промежуточные интегралы. Сво­

с постоянными коэффициентами. Вынужденные колебания линейного осцил­ лятора: амплитудно-частотная характеристика.

7.Линейные системы ДУ, структура общего решения. Системы с посто­ янными коэффициентами, применение матричной экспоненты. Гармоническое возбуждение линейной системы, резонанс.

8.Линейные краевые задачи, основной и особый случаи. Понятие о дель­ та-функции и о функции влияния.

9.Приближенные методы: итерации, разложение в ряды по степеням независимой переменной или параметра, методы улучшения невязки (коллокации, наименьших квадратов, Галеркина). Численный метод Эйлера и его усовершенствования, порядок ошибки; численное решение краевых задач. Понятие о жестких системах. (Может быть перенесено в курс численных ме­ тодов, что, впрочем, не очень желательно. Более того, и в других пунктах следует обращать необходимое внимание на алгоритмы и применение ЭВМ.)

10.Устойчивость решения. Устойчивость линейных систем; системы с постоянными коэффициентами. Метод функций Ляпунова; устойчивость по первому приближению.

11.Постановки задач оптимального управления и динамического про­ граммирования. Простейшие примеры.

Предполагается, что критерии устойчивости многочленов, а также ос­ новные понятия операционного исчисления будут изложены в курсе теории функций комплексного переменного.

Если же на курс ДУ отведено больше времени, то можно включить также следующие вопросы.

12. Автономные системы ДУ, типы траекторий в фазовом пространстве. Основные свойства предельных множеств. Системы на плоскости, теория индексов Пуанкаре, типы точек покоя. Понятие о гамильтоновых системах и системах с интегральным инвариантом. Понятие о странных аттракторах.

13.Периодические системы линейных ДУ, структура общего решения, условие устойчивости. Понятие о параметрическом резонансе. Автоколе­ бания в нелинейных системах.

14.Теорема Штурма о сравнении и следствия из нее. Асимптотические разложения решений на бесконечности.

15.Метод малого параметра и принцип усреднения Крылова — Бого­

любова.

16.Нелинейные краевые задачи (в том числе периодическая задача). Ветвление решений при изменении параметра.

17.Простейшие уравнения теории автоматического регулирования.

18.Дифференциальные неравенства.

19.Понятие о разностных уравнениях и о ДУ с отклоняющимся аргу­

ментом.

Вбольшинстве курсов необходимо учить доведению решения задач до окончательного, приемлемого ответа в виде численного результата, алгоритма, точного качественного вывода и т. д.; по этому поводу можно высказать соображения, аналогичные п. 8.4. Некоторые общие идеи, лежащие в основе вычислительных методов, можно ввести в курс функционального анализа. Уже в первой части, хотя, быть может, и -не на первом курсе, следует постепенно в так­ тичной форме знакомить студентов с видами рациональных рассуж­ дений, наиболее часто встречающимися в приложениях. Постепен­ ность здесь особенно важна, чтобы не мешать освоению дедуктивного метода, культуре и дисциплине «строгого» мышления. Одна из ос­ новных особенностей прикладного математика состоит в том, что он должен свободно мыслить как на дедуктивном, так и на более гибком рациональном уровнях, и, мысля рационально, должен понимать, что он это делает.

Курсы теоретической механики и физики не должны вырождать­ ся в упрощенное и конспективное изложение соответствующих курсов для специалистов-механиков и физиков. По-видимому, эти курсы должны быть построены так, чтобы общее ссистематическое изложение предмета было в значительной мере направлено на пра­ вильную математическую формулировку проблем, на принципы

составления соответствующих уравнений, на методы их анализа

ина физическую интерпретацию математических результатов. Представляется необходимым увеличить число курсовых работ

иусилить их роль. Например, желательно иметь курсовые работы комплексного характера по математическому анализу и по диффе­ ренциальным уравнениям. На старших курсах курсовые работы должны по возможности имитировать несложное прикладное иссле­ дование — начиная от математической формулировки задачи и кон­ чая интерпретацией результата, полученного с помощью ЭВМ. Дипломные работы должны быть посвящены более сложным задачам.

У.Прагер [266, с. 10| пишет, что из-за развития стандартных программ алгоритмическое искусство может стать менее существенным. Однако другие качества прикладного математика, с его точки зрения, «приобретут даже еще большую, чем сейчас, важность», причем главными среди них будут «умение строить адекватные и реалистические математические модели, способность

обнаруживать идентичность математического характера задач, представля­ емых в самых разнообразных физических обличьях, и компетентность, по­ зволяющая установить общие закономерности на основе результатов машин­ ного счета». Прагер подчеркивает (с. 16) необходимость при обучении будущих прикладных математиков больше внимания уделять процессу «открытия». Он пишет: «Это будет нелегко с точки зрения традиции, требующей от нас представления результатов в упорядоченном и логичном виде и очень неохот­ но допускающей раскрытие порой ошибочных и нелогичных способов полу­ чения результатов. Мы должны преодолеть это противодействие, так как анализ процесса получения решения часто для студентов — прикладных математиков важнее, чем само решение».

Приведем еще требования Г. Кохена к обучению прикладных матема­ тиков [162, с. 31]: «1. Расширить подготовку с учетом новых сфер приложе­ ния. Следует, в сущности, признать, что применение математики к решению физических задач в настоящее время является лишь небольшой частью всех математических приложений. 2. Признать, что вычислительные процедуры как таковые должны изучаться в качестве важного раздела прикладной мате­ матики, причем не только численные методы, но процесс использования вычислительной машины в целом».

Специализации по прикладной математике на общематематиче­ ских факультетах могут определяться по превалирующему матема­ тическому прикладному направлению подготовки студентов. Ес­ тественны, в частности, такие специализации:

—теория вероятностей и математическая статистика (с выходом

втеорию информации, теорию массового обслуживания, теорию

планирования эксперимента, теорию надежности и т. д.);

— дифференциальные уравнения (с выходом в задачи регулиро­ вания, колебаний, устойчивости, управления и т. д.);

— уравнения математической физики (с выходом в задачи меха­ ники сплошных сред, теоретической и прикладной физики и т. д.);

—методы оптимизации (включающие линейное и нелинейное программирование, проблемы экономики, игровые задачи, теорию операций и др.);

—алгебра и конечная математика (с выходом в комбинаторику, теорию графов, теорию автоматов, кодирования и т. д.).

Аналогичные замечания можно сделать по поводу подготовки

специалистов в области прикладной математики на базе технических институтов, или, что по существу то же, инженеров-математиков. Мы уже говорили в п. 8.1 о том, что специфика обучения здесь не должна выражаться просто в том, что математический анализ чи­ тается «по Фихтенгольцу»; требуется гораздо более глубокая пере­ стройка на основе четкого понимания профиля подготовки студен­ тов. Конечно, опасна и другая крайность — замена идей рецептами.

В заключение отметим, что важнейший путь усиления приклад­ ной направленности математических курсов состоит в системати­ ческом общении преподавателей математики и студентов с приклад­ никами, организации семинаров, посвященных изучению приклад­ ных математических задач, изучении соответствующей литературы. «Для специалистов по прикладной математике жизненно необходимо привить способности понимать содержательные постановки задач

и дать основы знаний по конкретным областям будущих приложений их знаний» (91, с. 126]. (По поводу подготовки специалистов в обла­ сти прикладной математики см. также (206, 242, 247, 381, 385, 410, 428, 440, 447, 468, 469, 473, 476, 480а, 486, 502, 504, 508, 526, 5421.)

10. О публикациях. Остановимся в заключение на вопросе о стиле научных публикаций, имеющем прямую связь с проблемой образо­ вания, во всяком случае, образования на высоком уровне. Наша за­ дача облегчена наличием статьи П. Халмоша (3291, которую мы всячески рекомендуем читателю и не будем здесь пересказывать. Хотя эта статья направлена в основном на совершенствование из­ ложения вопросов чистой математики, однако из нее может сделать многие полезные выводы и автор-прикладник.

Мы сделаем только два общих замечания. Прежде всего под­ черкнем важное значение искренности и откровенности. Так, авто­ ры, не понимающие подлинной роли рациональных рассуждений, считающие их чем-то неполноценным, иногда склонны сознательно или бессознательно замалчивать рациональные элементы своего исследования (см. Введение). Часто это делается из-за непонимания существа дела, но порой из-за отсутствия должной откровенности. Иногда авторы не обсуждают вопрос (часто известный им) о грани­ цах области применимости тех или иных рациональных рассужде­ ний, в результате чего у читателя создается иллюзия универсаль­ ности полученных выводов или, во всяком случае, преувеличенное представление об их значимости. Следует открыто обсуждать дока­ зательность применяемых рассуждений, указывать на слабые места, не выдавая желаемое за действительное и не умалчивая о том, что степень доказательности того или иного рассуждения автору не ясна *).

Во-вторых, мы хотим отметить, что очень важно обсуждать вы­ бор путей проведения исследования. Часто считается как бы хоро­ шим тоном излагать содержание исследований таким образом, как будто оно явилось результатом последовательного и дедуктивного процесса мышления. При этом обычно остаются скрытыми те факты, которые натолкнули автора на общий вывод **), те рациональные соображения, которые в действительности далеко не прямым обра­

*) П. Халмош пишет по аналогичному поводу в рамках чистой мате­ матики [329, с. 255—256]: «...окажите читателю полное доверие ...Само собой разумеется, что вы пишете не для того, чтобы скрыть факты от читателя: вы пишете, чтобы раскрыть их.‘ Я хочу этим сказать, что вы не должны утаи­ вать от читателя истинного положения ваших утверждений в системе, как и вашего отношения к ним... Абсолютная честность в изложении помогает максимальной ясности».

**) Такие факты часто бывают не менее поучительными, чем общие выводы. П. Халмош пишет [329, с. 248]: «Сердце математики состоит из кон­ кретных примеров и конкретных проблем. Большие общие теории появляются обычно после обдумывания маленьких, но глубоких суждений; сами же суж ­ дения начинаются с проникновения в конкретные частные случаи».