книги / Сборник задач по курсу математического анализа

4 2 2

ОТВЕТЫ

уравнение к

виду уу" + ау' + Ьу = 0, где

а —ky/L —50,

b —kE/L —0,019L

Интегрируя

это

уравнение

при начальных

условиях

у0 = М0 = 10, y'Q=

= -kl0= -0,00381,

получим ряд у = Ю - 0,00381* + Ю"10*8 •(1,21-1,52*+...).

4227.

х V -6 ху' + 12у = 0. 4228. ху' - (2х+1)у‘+ (х+ l)y = 0.

4229.

(х8 - Зх2 + 3зс)уя- (г8 - Зх +3)у’ - Зх(l - х)у' + 3(l - х)у = 0.

4230.

у —Зх2 —2х8.

4231.

a) sin2 х / cos2 х Фconst; б) ywsin2x - 2y'cos2x = 0.

4232*. 3) По формуле Остроградского Г}

Уг\ = Ce]p(x)dx, или, раскрывая опре-

\Уг

Уг\

делитель (вронскиан), у ^ -

у[у2= Ce~fp(x)dx

Делим обе части уравнения на

р?, тогда

^-) = -у e~lр^ dx,

откуда и следует искомое соотношение.

4233. y = C1xln|^j|-2C1 + C2x. 4234. y = Cl^ + C 2^ .

4235. y = xz - e x~x.

4236*. Функции Р и Q должны быть связаны соотношением Q'+ 2PQ = 0.

Подставить

ух= 1/у2 в формулу (вытекающую из формулы Остроградского)

4237*.

у = С1(4х8 - Зх) +С2^ 1 -х2{ах2- 1). Полагаем согласно условию

Ух —Ах8 + Вх2 +Сх+ D Подставляя у\ в данное уравнение, получим В = 0,

D = 0,

А/С = 4/-3, или A = 4k, С = - ЗА. Следовательно, частное решение

4241.

у —CjX + С2х2 + CgX3. 4242. у = x*+x(Cl+ C2In |x|).

4243.

у = Cxex + C2x - x2 -1 .

4244. у = C,x8 + C2(x+ 1)-x.

4245.

у = 2+ 3x + x(| +2arctgx)+x2.

4246. y = -2 + 2x -x2

+

4247. y = l +^

- ^

+^

- ^ +^ i - ...

4248. у = -Ф +

2

+ Z» + A - —+.*. +

E- .

2

J

22.3.2

гЗ-В-З!

24-7.4l

2п(2д-1)

л1

4250.

у =^ 1 +£ +...) + с^

_ £

+; £ +...).

4251.

у = C,ex + C2e~2x. 4252. у = C,e3x +C2e^x.

4253.

у = C,e<x + C2. 4254. у = С^иГг> +

.

4255.

у = C^e2* + C2e~*x/a. 4256. у = ClCosx+ C2sinx.

4257.

у = e-8^ cos2x + C2 sin 2x).

4258.

у = ex(c, cosf + C2 sinf).

4259. у = ex(Cl +C2x).

4260.

x = (C, + C2f)e2,5'. 4261.

у = (C, +C2x)e-X/4.

4262. у = 4ex + 2e3x. 4263. у = 3c'21 sin5x. 4264. у = e"x/2(2 + x).

4265.

у = [l + (l - m)x]em 4266. у = соаЗх - ysin3x.

4267.

Если ft > 0, то у = -^sin[Vft(x - х0)]+у0 cos[>/ft(x - х0)]; если ft<0, то

У =

+ а) е^ {Х'Хй)+ (уоЛ*- а)е'№_Хо)], где ft, = -ft.

4268.

у =.С1е~х + С2ех/2 + е1. 4269. у = Схcosах+С2 sin ах+ р

4270.

у = с,евх +С2ех + 5-в1п*-+7с08* .

4271.

у= e"Jr(c1cos2x + C28in2x)-YCos2x-2sin2x.

4272.

у = (С, +С2х)е3х + f х2

4273.

у = в*(С, cosx + С2 sinх) +х +1.

4274. у = С,ех + С2е“5х - 0,2.

4275. у = С,ех + Сге2х+ у, где у равно:

1) fe"*;

2) Зхе2х; 3) fcosx +±sinx; 4) х3 +fx2 + f x - f ;

5)

- ~e*[cos-|+ 2emj]; в)

+

Т) .'(2*'+*);

8)

•|x +^-(9+ 3cos2x-sin2x); 9) - 2хех - -fee~2x;

Ю) ^совх-^вЫх +^совЗх +^вЫЗх; Ш -^ е~ х-\хех.

4276. у = С, + С2е Ьх‘2+у, где у равно:

1)

ix 8- f x 2+ ^ x ; 2) ±ех; 3) 6sinx2cosx;4) ± x +T§Tsin2x-^-cos2x;

5)

cos2,5x + sin 2,6x- 0,02xe'2'6*; 6) (-6x--g)cosx-(2x--^-)sinx;

7)

-~-e-x[(660x + 2650)sinx - (3250x400)cosx]; 8) -fc(±etx/2 - xe'8x/2).

6)

(зsinx +4cosx) +^ (5sin 3x-12 cos3x);

424

ОТВЕТЫ

4278. у = Cicos* + C2sinx + у , где у равно:

1) 2x8-13x + 2; 2) созЗх;

3) -Ijcsinx;

4) --i-xcosx- е~х;

5) -i^xsinx - jcos3xj; 6) 9 +4cos2x-0,2cos4x;

7) 0,5chx; 8) 0,5 + 0,lch2x.

4279.

у - e^lCjCosjx + Cjein-lxJ+ y,

где у

равно:

1)

2)

+

3)

4) -|cosxe8*/6; 5) -|xe8t/6cosfx; 6)

0,5е2*+1,3.

4280.

у = 2 + C,cosx + C28inx+ co8xlnjtg-|-|.

4281.

у = e*(c2 + C2x -

In Jx2 +1 + xarctgxj.

4282.1) у = ex{x + C1)~ (ex +l)ln (ez +1)+C2;

у' и у" в данное уравнение; во всех трех случаях получится тождество.

4289.

у = х8(с, + С2х4). 4290. у = ■j+ C1cosln|x|+ C2sinln|x|.

4291.

y = x[c,+Cjln|x| +ln2|x|]. 4292. у = х1п\х\ + Схх + С2хг +х8.

4293.

Еслл

> to2,

то

у = СхеоаАг+ СдВцШ+ —* 2-соз(о<+-^ -,

где

А2 =

= -^“

Ш2.

Если ^ < ш 2,

то у - С\е** + С2е~*‘ - - ^ 2 costot-

где

А2 =

= 0)2-

i

^

e =i(4e‘ +^ ‘)-

4295.

s = е-0*2'[l0cos0,245t + 8,16sin 0,24бф S|<b8 » 7,07 CM.

4296.

t =

l n - ^

' fK 4297. e = *-«2« ‘[2cos156,6f + 0,00313sin166,6f].

4298*. А = 33j г/см= 33j •g

•10"5 H / C M ; f = 0,38с; высота погруженной части чур­

банчика x=5[3+cos8,16f]. При составлении уравнениясчитать у=1000 см/с2.

4299*. г =

(е°* + е-*"). Все происходит так, как будто трубка неподвижна, но

ОТВЕТЫ

4 2 5

4300. Если к>тш2, то г =

- пил2cos^^TT^

г = а«(1+йГ<!); если

то r = -a_[m a,‘ ch^ 1p T T j - Aj.

4301.

у = СХcos3x + С2sin Зх + С8.

4302.

у = Схе2х+ C2e~2z + Cae3z + С4е~3х.

4310. у = (сх + С2х + Свх2jcosj + (c4+ С6х +Сех2)sinf + CjX +Ca.

4311. y = e~s{cx+ C2x + C8x2+...+Cnx"'1). 4312. y = l +cosx.

4313.

у = ex + cosx-2 . 4314. у = (CX+C2x)ex+Cae2x -x -4 .

4315.

у = (Cx+C2x)ex + <V’2x + (x2 +x - l)<Tx.

4316.

у = (C, + C2x)cos2x + (C3 +C4x)sin2x +-i-cosx.

4317.

у = (Cj + C2x)cosax +(C8 + C4x)sinax-

4318.

у = -^j-x6 - -i-x3 + CjX2 + C2x+ C8 +C4 cosx+C5 sinx.

4319.

y = Cxex +C2e~x+ C3 sinx+ C4 cosx+

-•jxsinx.

4320.

у = (<?i + C2x + x2)ex + (c8 +C4x +x2)e~x +sinx +cosx.

'4321. у = 4 - 3e~x + e'2x. 4322. У = ex+x8.

4323.

у - x (c, + C2 ln|x| + C8 In2|x|).

4324.1. x = е-*([Схcost + C2sin*), У= e^‘[(C2 + C,)cosf+(C2 - C,)sinf].

426

ОТВЕТЫ

4324.7. х = C,e2f + е**(С2cosf + С8 sin f),

у = e8,[(Ca + C8)cosf +( c 3

- Ca)sin*],

2= Cxel‘ + ел[(2С2 - C3)cosf +(Ca +2C8)sini].

4325. x = q e* + cae-‘ +faht, y = C1e, ~ C2e~‘ + shf + fchf.

4326.

y = iC1^ - C ae-7' +^ ' +^ « -2‘ .

4327.

г = c,y,

zy2 - fx 2 = Ca.

, z = Jc~\~x* In — ^ = .

jx+yx^+Ci

|x+yx2+C| I

4329.

y/x = cif x2+ y 2 + г2= Ca

4330.

x2+y2+22= Ciyf z = Cay.

4331.

y2 _ 22 = Cj,

yz -y2 - x = C2.

4332.

x = Cje'‘ + C^"8' , у = Cje-' + at^e-8' + coat.

4333.

x = Cxe* + C2e~* + C8 cost+ C4 sin*,

у = 0,6* +Cae“*-CBcos*-C4sin*.

4334.

x = Cj + C2t + C8*2 - ^f8 + e*,

У = C< - (C i + 2C a)f -

| ( C 2 - l)< 2 - i c 8f 8 + ^ - e * .

4335.

x + у + z = C,,

x2 + y2 + z2 = C2.

4336.

z - x - y ,

y(y-2x)3 = {x-y)2

4337.

x = t/B,

у = -t/B.

4338. * = i e-‘ +±e21+ie-2‘ . У = * .“* +±e2‘ - ±е"2' , * = - ! . -

+£е2<.

4339. x = -e"‘ ,

у = e~‘ , z - 0.

получаются гиперболы ух =

У2 =

4341. у = е2х.

4342. Плоская линия х- у + z = 0.

х = ±.—*?Ы.

4343.

* =

+ ft - ^0)(l- coa-gr)], У= j[tf<2 +1й+ h + ft - ^)оов-§-].

4344.

x = 10ch2t - ^cosl4* +

у = 10ch2t +-J-cosl4t -

Здесь x - путь

более тяжелого шарика, а у - более легкого.

4345.

А =<2*р

• В=ат ^ £ - где

4346*. Бели !Г - количество яда, то 4lL = aN-bNT,

=

и 1н=0 в М0‘

мент, когда N = М.

428

ОТВЕТЫ

cos2*х =

+-jJ^-[cos2ftx+C^f,cos(2ft- 2)x +

+ C\kcos(2A- 4)x +...+ C2\_1 cos2x];

cos2**1 x =

[cos(2ft+l)x +C|ft+1 cos(2ft- l)x +

+ C|*+1 cos(2ft- 3)x +...+ C^+, cosx\.

4363. 1) ф = v-^- и <P= v -^ , где

v = 0, 1, 2,

л; 2) Ф= v-^-,

где v = 1,

2, .... л-1 при л нечетном и v = 1,

2......л при л четном, и Ф= (2v-

где

v= 1, 2,

л+1. 4365*. Заметить, что

ге

4366. Да.

[фп(ф)4ф = 0.

4371. a) bj = &2 = Ьа=...= О

о

и Oj =Oj = а6 =...= 0;

б)

ад =о! =<*2=...= 0 и bi = ba = Ь6=...= 0.

4372

4373

4374

л= 2£ ( _ 1)п-1л1мг. (-я < х < я);

п=0

л-1

и=1

п=* = £jiinx

(о<х < 2я). 4375.

Л«1

"

я>0

(2п+1г

4376. 1 )^ - + 4 = £ (-1)"-

4371. Й

( - Г

,{ 4 +^ [( -!Г -1 ] } -« * .

4378.

4379- 2 +

4380.

“ • ^

£W

~ 4 4Ш-

4383.

g2”~1

1 I У 1Гсоапх

HBlnnxM 1

*

L*

s l 1+»a

1+»2

JJ

4384.

4385. .2aln яд ( 1

, асовx

асов 2z ,

^

L

л=1

n

1-а*

22-а2 +,,Г