книги / Сборник задач по курсу математического анализа
..pdf§ 5. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ |
271 |
3728. Дано однородное тело, ограниченное прямым круглым |
|
конусом (радиус основания R, высота Я, плотность у). |
Вычис |
лить силу, с которой тело притягивает точку массы ту поме щенную в вершине конуса.
3729. Дан неоднородный сплошной шар радиуса R, плот ность которого у связана с расстоянием от центра г соотноше
нием у = а - Ьг (а > О, Ь> 0).
а) Найти константы а и 6, если известно, что средняя плот ность шара равна ус , а плотность на поверхности шара равна Yo •
б) Вычислить силу притяжения шаром точечной массы т, расположенной на поверхности шара.
Интегралы, зависящие от параметра. Правило Лейбница
циссой х = 1. |
я |
|
|
3732. Используя равенство I |
= £ln (1+ а&)> получить |
О |
|
путем дифференцирования по параметру следующую формулу:
Ь
ь
3733. |
Исходя из |
равенства |
|
|
ь |
о |
|
|
|
|
|
3734. |
Исходя |
из равенства J - |
вычислить |
|
|
а2+х2 |
2а’ |
о
(п - целое положительное число).
2 7 2 ГЛ. XII. МНОГОМЕРНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ И КРАТНОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ
3735. Вычислить значение интеграла J e~axx n~ldx (п - це-
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
лое положительное |
число) |
при |
а > 0, |
найдя |
предварительно |
||||||||
-н» |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Je~axdx. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3736*. Исходя из равенства (см. задачу 2318) |
|
|
|||||||||||
п/2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
п/2 |
|
|
|
|
Г_______ dx_________ |
п |
найти |
Г_______ —_______ |
||||||||||
J a2 cos2 х+Ь2sin2 * |
21аЪI ’ |
|
|
J (а2 cos2 х+Ь2sin2 х)2' |
|||||||||
В задачах 3737-3749 вычислить интегралы с помощью диф |
|||||||||||||
ференцирования по параметру: |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
3737. |
f 1_e”“ |
dx |
(а > |
|
l). |
|
3738 |
■ \ x- ‘ 7 dx |
(a > - l ) |
||||
|
J хе |
|
' |
|
7 |
|
|
|
|
||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
xe |
|
|
3739. |
\^M M dx. |
|
|
3740. |
f ) A z M |
dx |
(a2 < l). |
||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
J |
x 4 l-x 2 |
' |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
ln(l-fl2x2)d |
(•■о)- |
||
3741. |
|
|
|
|
|
|
3742. |
| |
|||||
J x(l+x2) |
|
|
|
Л 3 7 |
dx |
||||||||
|
0 |
v |
' |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
3743. |
f ln(l+ac°sl)^ |
(о2 < l). |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
J |
COSX |
|
\ |
|
/ |
|
|
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
я/2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3744. |
J |
u-asinx'sinx |
(a2 < l) . |
|
|
|
|
|
|||||
|
\ |
|
) |
|
|
|
|
|
|||||
|
О |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3745. |
J^ 2 — |
(а > 0)> |
зная, |
что |
Jе“ах dx = |
||||||||
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
(а > О) (см. задачу 2439). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
+“ |
2 |
-f * |
2 |
(а > 0, ft > О). |
|
|
|
|||||
3746*. j e— |
dx |
|
|
|
|||||||||
|
О |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3747*. |
+оо |
|
sinte-Binci d x |
(а >0). |
|
|
|
|
|
||||
J е |
' " |
|
|
|
|
|
О
§ 5. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
273
+00
3748. |
J е ~ ах ™ sb x -c p s c x d x |
( а |
> о ) . |
|
|
|||
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
я/2 |
|
|
|
v |
|
|
|
3749*. |
JIn (a2cos2 х + Ь2sin2 x)dx. |
|
|
|||||
|
|
о |
|
|
я/г |
|
"/2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
3750. Вычислив интеграл |
J aTct&*Je-x- dx, найти J -^ d x . |
|||||||
|
|
|
|
|
о |
1 |
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3751. |
Используя |
равенство |
J* xndx = |
|
вычислить инте- |
|||
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
грал |
|
|
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
3752. |
Используя |
равенство |
7 |
|
/— |
|||
2а I е” |
dx = ып (см. задачу |
|||||||
2439), вычислить интеграл 7 |
"*2 - е ** |
dx. |
|
|||||
3753. |
Из |
соотношения |
j еГг*dz = -у- (интеграл Пуассона) |
|||||
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
вывести равенство |
f с |
2 |
(JC > 0) и использовать его |
|||||
|
|
|
ых л/я J |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
для вычисления интегралов (интегралы дифракции или Френеля): |
||||||||
+са |
|
|
+«. , |
|
|
|
|
|
v С cosxdx. |
|
f sinxdx |
|
|
|
|
||
а) J-ЗГ^ |
б) J - J T ' |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
Разные задачи |
|
|
||
3754. |
|
Пусть |
функция |
f (л:) непрерывна при х > 0 и при |
||||
х -> +оо / (д:) стремится к конечному пределу |
/ (+ «>). Доказать |
|||||||
при этих условиях, что если а > 0 и Ь> 0, |
то |
j*^ ax^ ^ b—dx - |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
о |
= I /(+ ~ ) - /(0 )] ln f .
2 7 4 ГЛ. XII. МНОГОМЕРНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ И КРАТНОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ
В задачах 3755-3756 вычислить интегралы, пользуясь ре зультатом задачи 3754:
3755. |
dx |
3756. |
dx |
(п> 0). |
|
3757*. |
о |
f (*) |
о |
при |
х > 0 и |
Пусть функция |
непрерывна |
||||
+оо |
|
|
|
|
|
А |
сходится при любом |
А > 0. Доказать при этих усло- |
|||
|
|
|
|
|
|
виях, что если а > 0 и Ь> 0 , |
то |
J f(ax)~l&) |
_ f (o)ln-^-. (Ср. |
о
сзадачей 3754.)
Взадачах 3758-3762 вычислить интегралы, пользуясь ре
зультатом задачи 3757 (а > О, Ъ> 0):
3758. |
|
-dx. |
3759. |
|
|
|
||
|
|
+оо |
|
|
-г— |
|
|
|
3760. |
|.sina^inbx dx |
3761> j bsinax-asinbx dx |
|
|||||
|
|
О |
|
|
О |
|
|
|
|
|
+оо |
|
|
|
|
|
|
3762*. |
|
|
|
|
|
|
|
|
3763*. |
О |
|
|
Ф (я) |
определяется |
так: |
||
Функция Лапласа |
||||||||
Ф (х) = -2=^е~г dt |
(эта функция играет большую роль в теории |
|||||||
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
вероятностей). Доказать соотношения: |
|
|
|
|||||
1) |
(az)dz - |
-g-°J--1- + хФ (ах); |
2) |
J[l- |
Ф (x)[dx = |
|
||
|
о |
|
|
и ci(x) |
|
о |
|
|
3764*. Функции si(*) |
обычно определяются |
так: |
||||||
|
-н» |
|
|
|
|
|
+°° |
|
s i(х)= - ^ ^ - d t |
(«интегральный |
синус») |
и |
ciW = - |
|
|||
|
X |
|
|
|
|
|
X |
|
(«интегральный косинус»). Доказать, что |
|
|
|
|||||
|
|
+0в |
|
-н» |
|
|
|
|
Jsin х si (x)dx = Jcos x ci (x)dx = - -J.
§ 5. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ |
275 |
|
3765*. Функция J0(x), определяемая равенством
я/2
J0(x) = ~ Jcos(хsin 0)d0,
о
называется функцией Бесселя нулевого порядка. Доказать, что:
|
+Ов |
|
|
|
|
|
|
1) |
Г e"eV 0(x)dac = -р Ц - |
(а >6); |
|
|
|||
|
iО |
V I +az |
4 |
' |
|
|
|
|
+~ |
(п/2. |
|
если а > 1; |
|
||
2) |
|
|
я/2, |
|
|
|
|
j ^ - J 0{x)dX: |
arcsin а, |
если |а |< 1; |
|
||||
|
|
|
-71/2, |
есл и а < -1 . |
|
||
3766. Доказать, |
что |
функция у = I - —-dz |
удовлетворяет |
||||
|
|
|
|
|
J 1 + Z 2 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
дифференциальному уравнению у" + у = —• |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
3767*. Доказать, что функция |
у = J (z2 - 1) |
eX2dz удовле- |
|||||
|
|
|
|
|
-1 |
|
|
творяет дифференциальному уравнению ху" + 2пу' - ху = 0. |
|||||||
3768*. Доказать, |
что функция у = | , |
g |
dz удовлетво- |
||||
|
|
|
|
|
Jo (1+г ) |
|
|
ряет дифференциальному уравнению ху" - 2пу' + ху = 1. |
|||||||
3769*. Доказать, что функция Бесселя нулевого порядка |
|||||||
|
я/2 |
|
|
|
|
|
|
е/0(л:) = ^- j*cos(xsin 0)d0 |
удовлетворяет |
дифференциальному |
|||||
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
j* |
|
|
|
|
|
|
уравнению J%[x) + |
+ </0(*) = 0. |
|
|
Глава XIII
КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
ИИНТЕГРАЛЫ ПО ПОВЕРХНОСТИ
§1. Криволинейные интегралы по длине ■
Вычисление интегралов
В задачах 3770-3775 вычислить криволинейные интегралы:
3770. J -&jj, где L - отрезок прямой у = ^ х - 2, заключен-
L
ный между точками А (0, - 2) и В (4, 0).
3771. |
J xydSy |
где L - |
контур прямоугольника с вершинами |
||||
|
L |
|
|
|
|
|
|
А (0 ,0 ), |
В (4, 0), |
С(4, 2) |
и D (0, 2). |
|
|
||
3772. |
J y d s, |
где L - |
дуга |
параболы у2 = 2 рх, |
отсеченная |
||
|
ь |
|
|
|
|
|
|
параболой х2 =2ру. |
|
|
|
|
|
||
3773. |
J (* 2 + y2) |
ds, |
где |
L - |
окружность |
je = a co sf, |
|
|
ь |
|
|
|
|
|
|
у = a sin t . |
|
|
|
|
|
|
|
3774. |
|
где L - |
четверть эллипса |
= 1, лежа- |
|||
|
ь |
|
|
|
|
а |
|
щая в первом квадранте. |
|
|
|
|
|||
3775. |
J4%У ds, |
где |
I |
- |
первая арка |
циклоиды |
х = ci(f —sin f), у = a ( l - cos*).
§ 1. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ПОДЛИНЕ |
277 |
|
3776. |
Вывести |
формулу |
для |
вычисления |
интеграла |
|||
J F(x, y)ds |
в полярных |
координатах, если |
линия |
L задана |
||||
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
уравнением |
р = р (ср) |
(срх < ср < ф2). |
|
|
|
|
||
3777*. |
Вычислить |
J (* -y )d s , |
где |
L |
- окружность |
|||
|
|
|
L |
|
|
|
|
|
х2 + у2 = ах. |
Jx |
y j x-2y2ds, |
|
|
|
|
||
3778. Вычислить |
где L - |
линия, |
заданная |
|||||
|
|
L |
|
|
|
|
|
|
уравнением (х2 + у2)2 =а2(х2 - у2) |
(х > 0) (половина лемнискаты). |
|||||||
3779. Вычислить |
J* arctg^ds, |
где L - |
часть спирали Архи- |
L
меда р = 2<р, заключенная внутри круга радиуса R с центром в начале координат (в полюсе).
3780. |
Вычислить интеграл |
j* \ dsj |
t |
где L - |
первый виток |
|
|
|
|
L |
|
|
|
винтовой линии х = a cos t , у ~ asin t , |
z - at. |
|
||||
3781. |
Вычислить |
fxyzds, |
где L |
- |
четверть окружности |
|
|
|
L |
|
|
|
|
х2 + у2 + |
z2 = R2, x2 + |
у2 = |
лежащая в первом октанте. |
|||
3782. Вычислить j^2z - <Jxz + у2jd s, |
где L - |
первый виток |
||||
конической винтовой линии х = t cos t, |
у = / sin t, |
z = t . |
||||
3783. |
Вычислить J*(z + y)ds, где L - |
четверть окружности |
||||
|
L |
|
|
|
|
|
x2 + у2 + z2 = JR2 , у = x , лежащая в первом октанте.
Применения интегралов
3784. Найти массу участка линии у = In х между точками с
абсциссами Х\ и #2* если плотность линии в каждой точке равна квадрату абсциссы точки.
278 ГЛ. XIII. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
3785. Найти массу участка цепной линии у = a ch & между точками с абсциссами хг = 0 и х2 = а, если плотность линии в каждой ее точке обратно пропорциональна ординате точки,
причем плотность в точке (0, а) равна 8.
3786. Найти массу четверти эллипса х = a cos t , у = Ъsin t ,
расположенной в первом квадранте, если плотность в каждой
точке равна ординате этой точки. |
|
|
|
|
||||
3787. |
Найти |
массу |
первого |
витка |
винтовой |
линии |
||
х = a cos t , |
у = asin t , |
z - |
bt, плотность |
которой |
в |
каждой |
||
точке равна квадрату полярного радиуса этой точки. |
|
|
||||||
3788. Найти |
массу |
дуги линии |
х = е* cos t , |
у = е%sin t , |
||||
z = е* от точки, соответствующей t = 0, до |
произвольной точ |
ки, если плотность дуги обратно пропорциональна квадрату
полярного радиуса и в точке ( l , 0, l) |
равна единице. |
||
3789. Найти |
координаты |
центра |
масс первого полувитка |
винтовой линии |
х = a cos t , |
у = a sin t , z = Ы, считая плот |
ность постоянной.
3790. Вычислить статический момент первого витка кониче ской винтовой линии a: = £cosf, y = fsin f, z = t относительно плоскости Оху, считая плотность пропорциональной квадрату
расстояния от этой плоскости: р = kz2 .
3791. Вычислить моменты инерции первого витка винтовой линии х = a cost, у = a sin*, z = -~ t относительно координат
ных осей.
В задачах 3792-3797 вычислить площади частей цилиндри ческих поверхностей, заключенных между плоскостью Оху и указанными поверхностями:
3792. |
х2 + у г = Л2, |
z = Д + ^ . |
3793. |
'у2 = 2рх, г = ^ 2 р х -4 х г . |
|
3794. |
у 2 = ! ( * - 1 ) 3 ; |
г = 2 --У * . |
3795. |
х г + у г = R2, |
2Rz = ху. |
|
§ 1. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ПО ДЛИНЕ |
279 |
|
3796. |
~ + = |
z -'k x и 2 = 0 (z > 0) («цилиндрическая |
|
подкова»). |
|
|
|
3797. |
у = ^2рх , |
г = у и д: = -|р. |
|
3798. |
Вычислить |
площадь поверхности, которую |
вырезает |
из круглого цилиндра радиуса R такой же цилиндр, если оси этих цилиндров пересекаются под прямым углом (ср. с решени ем задачи 3642).
3799. Найти площадь части поверхности цилиндра
х2 + у2 = Rx, заключенной внутри сферы х2 + у2 + z 2 = R2 .
Согласно закону Био-Савара элемент тока действует на маг
нитную массу т с силой, равной по величине BIail^ad3} где / _
ток, ds - элемент длины проводника, г - расстояние от элемен та тока до магнитной массы, а - угол между направлением прямой, соединяющей магнитную массу и элемент тока, и на правлением самого элемента тока. Эта сила направлена по нор мали к плоскости, содержащей элемент тока и точку, в которую помещена магнитная масса; направление силы устанавливается правилом «буравчика». Опираясь на этот закон, решить задачи 3800-3805.
3800. Найти силу, с которой ток I в бесконечном прямоли нейном проводнике действует на точечную магнитную массу т , находящуюся на расстоянии а от проводника.
3801. По контуру, имеющему форму квадрата со стороной а, течет ток I. С какой силой этот ток действует на точечную маг нитную массу т, находящуюся в центре квадрата?
3802. Показать, что ток I, текущий по дуге линии, уравне ние которой в полярных координатах имеет вид р = р (ф), дей
ствует на точечную магнитную массу, находящуюся в полюсе,
с силой f = ml
<Pi
3803. С какой силой ток /, текущий по замкнутому эллип тическому контуру, действует на точечную магнитную массу т , находящуюся в фокусе эллипса?
2 8 0 |
ГЛ. XIII. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ |
|
3804. С какой силой ток /, текущий по бесконечному пара болическому контуру, действует на точечную магнитную массу /я, помещенную в фокусе параболы? Расстояние от вершины до
фокуса равно ^ .
3805. С какой силой ток J, текущий по круговому контуру радиуса R, действует на точечную магнитную массу т, поме щенную в точку Р, лежащую на перпендикуляре, восставленном в центре круга, на расстоянии h от плоскости круга? При каком значении R эта сила будет наибольшей при заданном Л?
§ 2. Криволинейные интегралы по координатам
Вычисление интегралов
В задачах 3806-3821 вычислить криволинейные интегралы:
3806. |
Jх dy, |
где L - контур |
треугольника, образованного |
||
|
L |
|
|
|
|
осями координат |
и прямой ^ + j |
=. 1, |
в |
положительном на |
|
правлении (т. е. против движения часовой стрелки). |
|||||
3807. |
\xdy, |
где L - отрезок прямой |
— + -7- = 1 от точки пе- |
||
|
J |
|
|
а |
о |
L
ресечения ее с осью абсцисс до точки пересечения ее с осью ординат.
3808. |
J (* 2 - y2^dx, |
где L - |
дуга параболы у = х 2 от точки |
|
L |
|
|
(о, о) до точки (2 , 4). |
|
|
|
3809. |
J(х2 + y2)dy, |
где L |
- контур четырехугольника |
|
ь |
|
|
с вершинами (указанными в порядке обхода) в точках А (0, 0),
5 (2 ,0 ), |
С (4 ,4 ) |
и |
5 (0 ,4 ) . |
|
(я, 2я) |
|
|
3810. |
J -x co sy d x + ysinxdy вдоль отрезка, соединяю* |
||
|
(0.0) |
|
|
щего точки (0, 0) |
и |
(я, 2я). |