книги / Сборник задач по курсу математического анализа
..pdf
|
|
|
|
|
|
|
§ 2. КРАТНОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ |
|
|
|
251 |
|||||
3495. |
у - 2 х < |
О, 2 у - х > 0, |
ху <2. |
|
|
|
|
|
|
|||||||
3496. |
у2 ^ 8л:, |
у< 2х, |
у + 4 х -2 4 < 0 . |
|
|
|
|
|
||||||||
3497. D ограничена гиперболой у2 - х2 = 1 |
и окружностью |
|||||||||||||||
х2 + у2 = 9 |
|
(имеется в виду область, содержащая начало коор |
||||||||||||||
динат). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В задачах 3498-3503 изменить порядок интегрирования: |
||||||||||||||||
|
|
J |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
d |
Vl-X2 |
|
||
3498. |
dy^f(x, y)dx. |
|
3499. |
J |
|
*jf(x ,y )d y . |
||||||||||
|
|
V0 |
|
|
Уv |
|
|
|
|
|
-1 |
|
|
|
|
0 |
|
|
г |
л]2гх-х2 |
|
|
|
_ |
|
4 -7 ^ 7 |
|
||||||
3500. |
|
|
3501. |
2 |
|
' |
г |
}f(x ,y )d y . |
||||||||
J |
|
d |
* |
jf(x ,y )d y . |
J |
dx |
7 |
|||||||||
|
|
-1 |
|
|
|
X |
|
|
|
|
-2 |
|
- |
2 V 4- |
‘ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
JA-.2 |
|
|||
3502. J |
|
d |
* |
J |
Vy)dy(. z |
, |
3503. J2 |
d |
6-*x |
J / |
( : r , y ) d p |
|||||
|
|
1 |
|
|
X |
|
|
|
|
|
0 |
|
2* |
|
|
|
3504. Переменив порядок интегрирования, записать данное |
||||||||||||||||
выражение в виде одного двукратного интеграла: |
|
|||||||||||||||
|
1 |
х |
|
|
|
2 |
|
2-х |
|
|
|
|
|
|
|
|
1) |
jd x jf( x ,y )d y + jd x |
J f(x, y)dy; |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
0 |
0 |
|
|
|
|
1 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
■ |
*1 |
|
|
|
3 |
|
(3-x)/2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2) |
j d x j f ( x , y)dy + jd x |
J f(x, y)dy; |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
0 |
0 |
|
|
|
|
1 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
|
|
|
|
|
1 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
3505. Представить двойной интеграл
^ f(x ,y )d x d y y
D
где D - области, указанные на рис. 49, 50, 51, 52, в виде суммы двукратных интегралов (с наименьшим числом слагаемых). Фигуры, показанные на рис. 51 и 52, составлены из прямых линий и дуг окружностей.
|
§ 2. КРАТНОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ |
|
|
|
253 |
|
3512. |
j*j*x2y2yjl - х3 - y3dx dy, |
D - область, |
ограниченная |
|||
|
D |
|
|
|
|
|
линией x3 + у3 =1 и осями координат. |
|
|
|
|
||
3513. |
Найти среднее значение |
функции |
z = 1 2 -2 x - 3 y |
в |
||
области, ограниченной прямыми 1 2 -2 * -3 z / = 0, |
х = 0, |
у - |
0. |
|||
3514. |
Найти среднее значение |
функции |
.г = 2х + у |
в тре |
угольнике, ограниченном осями координат и прямой х + у = 3.
3515. |
Найти |
среднее |
значение |
функции |
г = х + 6у в тре |
|
угольнике, ограниченном прямыми у = х, у = 5х |
и х = 1. |
|||||
3516. |
Найти |
среднее |
значение |
функции |
z - |
yjR2 - х 2 - у2 |
в круге х2 + у2 < R2. |
|
|
|
|
|
|
|
Тройной |
интеграл |
|
|||||
В задачах 3517-3524 вычислить интегралы: |
||||||||||
|
1 |
2 |
3 |
|
|
|
|
о |
ь |
с |
3517. |
Jd x jrfi/Jdz. |
|
|
3518. |
Jd xj dyj (x + у + z)dz |
|||||
|
o |
o |
o |
|
|
|
|
o |
o |
o |
|
a |
x |
У |
|
|
|
|
a |
x |
ХУ |
3519. |
jdxj dyj xyz dz. |
|
|
3520. JdxJdyJx3y3z dz. |
||||||
|
o |
o |
o |
|
|
|
|
o |
o |
o |
|
e-1 e-x-1 x+y+e |
|
|
|
|
|
||||
3521. |
j d x |
j |
dy |
|
|
|
|
|
|
|
3522. |
Г |
|
Г |
Г |
Q _ |
область, |
ограниченная плоско- |
|||
|
JJJ ( x + y + z + l f |
|
|
|
|
|
|
|||
СТЯМИ x = 0 , |
у |
= 0 , |
2 = 0 , X |
+ |
у + Z = 1. |
|
|
|||
3523. |
jjjxydxdydz, |
Q |
- |
область, |
ограниченная гипербо- |
|||||
|
а |
|
|
|
|
|
и плоскостями х +у = 1 и 2 = 0 |
|||
лическим параболоидом z = ху |
||||||||||
(2> 0 ). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3524. |
a |
у cos (z + x)dx dy dz, £2 |
- |
область, ограниченная |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ЦИЛИНДРОМ у = ■Jx И ПЛОСКОСТЯМИ у = 0 , 2 = 0 И X + 2 = —•.
2 5 4 ГЛ. XII. МНОГОМЕРНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ И КРАТНОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ
§3. Интегралы в полярных, цилиндрических
исферических координатах
Двойной интеграл
В задачах 3525-3531 перейти |
в |
двойном |
|
интеграле |
|||||
\\f(x, y)dxdy |
к полярным координатам |
р и ф |
(х = рсоэф, |
||||||
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
у = р в т ф ), и расставить пределы интегрирования: |
|
|
|||||||
3525. D - круг: 1) x2+y2<R2; 2) х2 + у2<ах; |
3) |
х2 + у2<Ьу. |
|||||||
3526. |
D - |
область, ограниченная |
окружностями |
х2 + у2 = |
|||||
- 4х, х2 + у2 = 8х и прямыми у - х |
и у = 2 х . |
|
|
|
|||||
3527. D - |
область, являющаяся общей частью двух кругов |
||||||||
х 2 + у2 < ах |
и х 2 + у2 <Ьу. |
|
|
|
|
|
|
||
3528. D |
- |
область, ограниченная прямыми |
у = х у |
у = 0 и |
|||||
х = 1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3529. D - |
меньший из двух сегментов, на которые прямая |
||||||||
х + у = 2 |
рассекает круг х2 + у2 < 4. |
|
|
|
|
|
|||
3530. D - |
внутренняя часть правой петли лемнискаты Бер- |
||||||||
нулли |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3531. |
D - |
область, определенная неравенствами |
л:>0, у > 0, |
||||||
(*2 + У2)3 £ 4агхгуг. |
|
|
|
|
|
|
|||
В задачах |
3532-3535 двойные |
интегралы |
преобразовать |
||||||
к полярным координатам: |
|
|
|
|
|
|
|||
|
о |
|
о |
|
R/2 |
0 |
|
|
|
|
0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
3535. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
R/-Jl+R2 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
§ 3. ИНТЕГРАЛЫ В ПОЛЯРНЫХ КООРДИНАТАХ |
|
255 |
||||||
В задачах 3536-3540 с помощью перехода к полярным ко |
|||||||||||
ординатам вычислить двойные интегралы: |
|
|
|||||||||
|
Д |
|
»2_v2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
*Д —а |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3536. |
Jdx |
J |
ln(l + х2+ y2)dy. |
|
|
|
|
||||
3537. |
|
|
|
dx dy, |
где область D определяется нера |
||||||
венствами х2+ у2 < 1, х > 0 , |
у> 0. |
|
|
|
|
||||||
3538. |
J*J(/i - 2 х - 3y)dx dy, где D - |
круг х2 + у2 < R2. |
|||||||||
|
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3539.. JJ ^R2 - х 2 - y2dx dy, где D - |
круг х2 + у2 < Rx. |
||||||||||
3540. |
JJaiatg^dx dy, |
где |
D - |
часть кольца |
х2 + у2 > 1, |
||||||
|
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
х 2 + у2 <9, |
у > |
у < х4%. |
|
|
|
|
|
|
|||
3541. Показать, исходя из геометрических соображений, что |
|||||||||||
если декартовы |
координаты |
преобразовать |
по |
формулам |
|||||||
х = ар cos ср, |
у = ftpsincp |
(а |
и |
b - |
постоянные), |
то |
элементом |
площади будет da = abp dpdq>.
В задачах 3542-3544, используя результат предыдущей за дачи и выбрав подходящим образом а и Ь, преобразовать двой ные интегралы:
3542. jjf(x , y)dxdy, где область D ограничена эллипсом
D
*L+ uL = i.
4 + 9 А
3543. JJf (х, y)dx dy, где D - область, ограниченная линией
D
3544. /J'(iFFS)d\dxdy, где D - часть эллиптического
•л |
I/ -а |
У |
1 |
кольца, ограниченная эллипсами *=■+ ■**=- = 1, |
— г + —г = 1 и |
||
а |
Ъ |
4а* 46 |
|
л еж ащ ая в первом квадранте.
2 5 6 |
ГЛ . XII. М Н О ГО М Е Р Н Ы Е И НТЕГРАЛЫ И КРА ТН О Е И Н Т Е ГР И Р О В А Н И Е |
|||
|
3545. |
Вычислить интеграл JJ ху dx dy, где D - область, огра |
||
ниченная эллипсом £=- + |
= 1 и лежащая в первом квадранте. |
|||
|
|
а2 |
Ь2 |
|
|
3546. |
Вычислить интеграл JJ *Jxy dx dy, где D - область, ог- |
||
|
|
|
|
D |
раниченная линией ( т |
+ 1г ) |
и[ 'лежащая в первом квад- |
||
ранте. |
|
|
|
|
|
|
Тройной |
интеграл |
Взадачах 3547-3551 перейти в тройном интеграле
,y,z)dxdydz |
к цилиндрическим координатам р, |
ср, |
г |
||||||
п |
|
у = psincp, z = г) или сферическим координатам |
|
||||||
(х = pcoscp, |
р, |
||||||||
6, ф ( х = р cos фsin 0, у = р sin фsin 6, |
z = р cos 0) |
и расставить |
|||||||
пределы интегрирования: |
|
|
|
|
|
||||
3547. |
Q, |
- |
область, находящаяся в первом октанте и огра |
||||||
ниченная цилиндром |
х 2 + у2 = R2 и плоскостями |
z = 0, |
2 = 1, |
||||||
у = х и |
у = *л/з. |
|
|
|
|
|
|
||
3548. |
Q |
- |
область, ограниченная цилиндром |
х 2 + у2 = 2дг, |
|||||
плоскостью 2 = 0 и параболоидом z - |
х2 + у2. |
|
|
|
|||||
3549. |
Q |
- |
часть шара х 2 + у2 + z 2 < R2, |
лежащая в первом |
|||||
октанте. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3550. |
Q, |
- |
часть шара х2 + у2 + z 2 < R2, лежащая внутри |
||||||
цилиндра (* 2 + у2) 2= R2(p2 - у2) (х > 0). |
|
|
|
|
|||||
3551. |
£2 |
- |
общая часть двух шаров |
х 2 + у2 + z2 < R2 |
и |
х2 + у2 + ( z - R f < R2.
Взадачах 3552-3558 вычислить интегралы с помощью пе рехода к цилиндрическим или сферическим координатам:
1 V l-x2 |
а |
2 |
^ 2 х - х 2 |
а __________ |
3552. Jdx J |
dyjdz. |
3553. jd x |
J |
dyj z ] x 2 + y2dz. |
о - / l - x 2 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
§ 4. ПРИМЕНЕНИЕ ДВОЙНЫХ И ТРОЙНЫХ ИНТЕГРАЛОВ |
257 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Я |
4 R 2- X2 |
^R2- x 2-y 2 |
|
|
||
3554. |
|
jd x |
J |
dy |
J |
(?2 + y2)dz. |
|
|
-R SlP-X* |
|
0 |
|
|
||
|
1 |
Л-*2 |
VI-*2-»2 ________ |
|
|||
3555. |
J |
d x |
dy |
J J |
^x2 + y2 +z2dz. |
|
|
|
o |
o |
|
о |
|
|
|
3556. |
JJJV + y2^dxdydz, где область Q определяется i |
||||||
равенствами z > 0, r2 < xz + y2 + z2 < R2 . |
|
||||||
|
|
|
d*dydz |
|
|
|
|
3557.•Ш V*2+y2+ M )!-, где Q |
- шар x2 + y2 + z2 < 1. |
|
|||||
3558.• |
|
|
d xdydz |
где |
Q - цилиндр x2+y2 < 1, |
||
Iff-■)jxz+y2+(z-2)z |
-1<X<1.
§4. Применение двойных и тройных интегралов
Объем тела. I
В задачах 3559-3596 найти двойным интегрированием объ емы тел, ограниченных данными поверхностями (входящие в условия задач параметры считаются положительными):
3559. Плоскостями координат, плоскостями х = 4 и у = 4 и
параболоидом вращения z = х2+ у2 +1. |
|
|
||
3560. Плоскостями координат, плоскостями |
х = а и у = Ь |
|||
и эллиптическим параболоидом z = 2р |
Zq . |
|
||
3561. Плоскостью |
'f' + f , + 7 = l |
и |
координатными плоско |
|
стями (пирамида). |
|
|
|
|
3562. Плоскостями |
у = 0, z = 0, |
Зх + у = 6, |
3JC+ 2г/ = 12 и |
|
х + у + г = 6. |
|
|
|
|
3563. Параболоидом вращения z = х2 +у2, |
координатными |
|||
плоскостями и плоскостью х + у = 1. |
|
|
|
9-2S25
2 5 8 ГЛ. XII. МНОГОМЕРНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ И КРАТНОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ
|
3564. |
Параболоидом вращения |
г = х 2 + у2 |
и |
плоскостями |
||||||
z = 0, z/ = 1, у = 2х и у = 6 - х. |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
3565. |
Цилиндрами |
y = <Jx, |
у = 2л/л |
и |
плоскостями 2 = 0 |
|||||
И X + 2 = 6. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
3566. |
Координатными плоскостями, |
плоскостью |
2дс + 3 у - |
|||||||
-12 = 0 и цилиндром 2 = V2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
3567. |
Цилиндром |
2 = 9 - у2, |
координатными |
плоскостями |
||||||
и плоскостью |
3* + 4у = 12 (у > 0). |
|
|
|
|
|
|
||||
|
3568. |
Цилиндром |
2 = 4 —х2, |
координатными |
плоскостями |
||||||
и плоскостью |
2х + у = 4 (дс > 0). |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
3569. |
Цилиндром |
2у2 = дс, |
плоскостями |
\ + \ + \ = 1 и |
||||||
2 = 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3570. Круглым цилиндром радиуса г, осью которого служит |
||||||||||
ось |
ординат, |
координатными |
плоскостями |
и |
плоскостью |
||||||
* + * = L |
' |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
г |
а |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3571. |
Эллиптическим цилиндром ^ - + у2 = 1 , |
плоскостями |
||||||||
2 = 12 —Здс —4у И 2 = 1. |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
3572. Цилиндрами х2 + у2 - R2 и л2 + 22 = Л2. |
|
|
||||||||
|
3573. Цилиндрами 2 = 4 - у2, |
у = |
и плоскостью |
2 = 0 . |
|||||||
|
3574. Цилиндрами д:2 + у2 = Л2, |
2 = ~ |
и плоскостью 2 = 0 |
||||||||
(х > 0). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3575. Гиперболическим параболоидом |
г = дс2 - у 2 и плоско |
|||||||||
стями 2 = 0, х = 3. |
|
|
|
|
2 = дсу, |
|
|
||||
|
3576. |
Гиперболическим параболоидом |
цилиндром |
||||||||
у = л/л и плоскостями |
дс + у = 2, |
у = 0 и 2 = 0 . |
|
|
|
||||||
3577. Параболоидом |
2 = дс2 + у2, |
цилиндром |
у = дс2 |
и плос |
|||||||
костями у = 1 и 2 = 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
3578. Эллиптическим цилиндром |
+ -4- = 1 и плоскостями |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
а2 |
с2 |
|
|
|
|
у = —л, у = 0 и 2 = 0 (дс > 0).
§ 4. ПРИМЕНЕНИЕ ДВОЙНЫХ И ТРОЙНЫХ ИНТЕГРАЛОВ
3580. Цилиндрами |
у = ех , |
у = е~х , |
г = е2 - у2 и плоско |
стью 2 = 0. |
|
|
|
3581. Цилиндрами у = In х |
и у = In2 х и плоскостями z = О |
||
и у + z = 1. |
|
|
|
3582*. Цилиндрами г = Inх |
и г = \п у |
и плоскостями г = О |
|
и х + у = 2е (дс > 1). |
|
|
|
3583. Цилиндрами |
у = д: + sin д:, z/ = д: —sin л: и г = |
(параболический цилиндр, образующие которого параллельны
прямой х - у = 0, z = 0) и плоскостью 2 = 0 |
(О < х <Пу у > О). |
||||||
3584. |
Конической |
поверхностью |
г2 = ху |
(рис. 53), |
цилин |
||
дром 4х + у[у = 1 И П ЛОСКОСТЬЮ 2 = 0. |
|
|
|
|
|||
3585. |
Конической |
поверхностью |
4у2 = х (2- г) |
(параболи |
|||
ческий конус, рис. 54) и плоскостями z = О и х + z = 2. |
|
|
|||||
3586. |
Поверхностью z = cos* cos у и плоскостями |
д = 0, |
|||||
у = 0, 2 = 0 и х + у = J. |
|
|
|
|
|
||
3587. |
Цилиндром |
х2+ у2 = 4, |
плоскостями |
2 |
= 0 |
и |
|
2 = Х + у + 10. |
|
|
|
|
|
|
|
3588. |
Цилиндром |
х2 + у2 =2х, |
плоскостями 2 х -г = 0 |
и |
4 х - 2 = 0.
9•
2 6 0 ГЛ. XII. МНОГОМЕРНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ И КРАТНОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ
3589. |
Цилиндром |
х 2 + у 2 = R2, |
параболоидом |
Rz = 2R2+ |
|||||||
+ х 2+ у2 и плоскостью |
z = 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
3590. Цилиндром х2 + у2 = 2ах, |
параболоидом |
г = -х—^~ |
и |
||||||||
плоскостью г = 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3591. |
Сферой х 2 + у2 + z2 = а2 |
и |
цилиндром |
* 2 + у 2 = ах. |
|||||||
(Задача Вивиани.) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3592. |
Гиперболическим |
параболоидом |
2 = |
|
цилиндром |
||||||
х2 + у2 = ах и плоскостью |
2 = 0 (х > 0 , у > 0). |
|
|
|
|||||||
3593. |
Цилиндрами |
х2 + у2 = х |
и |
* 2 + у 2 = 2 * , |
параболои |
||||||
дом 2 = х2 + у2 и плоскостями х +у = 0, |
х - у |
= 0 И 2 = 0. |
|
||||||||
3594. Цилиндрами |
х2 + у2 =2х, |
|
х 2 + у2 = 2у |
и плоскостя |
|||||||
ми 2 = ДС+ 2у И 2 = 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3595. |
Конической |
поверхностью |
г2 - |
ху |
и |
цилиндром |
|||||
(х2 + y2J = 2ху (я > 0, у > 0, 2 > 0). |
|
|
|
|
|
|
|
||||
3596. Геликоидом («винтовая лестница») |
2 = Л arctg-^-, |
ци |
|||||||||
линдром |
х 2 + у2 = R2 |
и плоскостями |
JC = 0 |
и |
2 = 0 (* > 0 , |
||||||
У *0 ). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Площадь плоской фигуры
В задачах 3597-3608 найти двойным интегрированием пло
щади указанных областей: |
|
|
х = 0, |
у - 0, |
||
3597. |
Области, |
ограниченной |
прямыми |
|||
х + у = 1. |
|
|
|
|
|
|
3598. |
Области, |
ограниченной |
прямыми |
|
у = х , |
у = 5х, |
х = 1. |
|
|
2 |
|
„2 |
|
|
|
|
|
|
||
3599. Области, ограниченной эллипсом |
+ *r- = 1. |
|
||||
|
|
|
a |
|
i» |
|
3600. Области, заключенной между параболой у2 |
и |
|||||
прямой у = ^ х . |
|
|
|
|
|