книги / Сборник задач по курсу математического анализа
..pdfГЛ. XVI. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ
3 4 1
4456. Потенциал поля скоростей частиц текущей жидкости
равен и (я, у) = х [х2 - Зг/2). Вычислить количество жидкости,
протекающей за единицу времени через отрезок прямой линии, соединяющей начало координат с точкой (l, l).
Поток и циркуляция (пространственный случай)
4457. Доказать, что поток радиус-вектора г через любую замкнутую поверхность равен утроенному объему тела, ограни ченного этой поверхностью.
4458. Вычислить поток радиус-вектора через боковую по верхность круглого цилиндра (радиус основания R, высота Я), если ось цилиндра проходит через начало координат.
4459. Пользуясь результатами задач 4457 и 4458, устано вить, чему равен поток радиус-вектора через оба основания ци линдра предыдущей задачи.
4460. Вычислить поток радиус-вектора через боковую по верхность круглого конуса, основание которого находится на плоскости хОу, а ось совпадает с осью Ог. (Высота конуса 1, радиус основания 2.)
4461. Найти поток вектора А (Р) = xyi + yzj + xzk через гра
ницу части шара х2 + у2+ z2= 1, заключенной в первом октанте.
4462*. Найти поток вектора А (Р) = yzi + xzj + хук |
через бо |
||||
ковую поверхность пирамиды с вершиной в точке |
S (0,0,2), |
||||
основанием |
которой |
служит |
треугольник с |
вершинами |
|
0 ( 0 , 0 , 0 ) , |
А (2У0 , 0 ) и |
В ( 0 , 1 , |
0 ) . |
|
|
4463. Вычислить циркуляцию радиус-вектора вдоль одного |
|||||
витка АВ винтовой линии х = a cos t , у - a sin t , |
z - |
bt, где A |
и В —точки соответствующие значению параметра 0 и 2л. 4464. Твердое тело вращается с постоянной угловой скоро
стью © вокруг оси Oz. Вычислить циркуляцию поля линейных скоростей вдоль окружности радиуса R, центр которой лежит на оси вращения, а плоскость окружности перпендикулярна к оси вращения в направлении вращения.
4465*. Вычислить поток ротора поля векторов А (р) =
= yi + zj + xk через поверхность параболоида вращения z = = 2 (l - х2 - у2), отсеченную плоскостью z - 0.
|
|
|
|
ОТВЕТЫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
К г л а в е |
I |
|
|
|
|
||
|
1. Все числа п натурального ряда, кроме п =1 и п = 2. |
Если сумма углов |
||||||||
S, а число сторон л, то S = п(п-2). 4. а) При х = -2, |
х = 1, х = 6 |
функция |
||||||||
обращается в нуль; б) при х < -2, -2 < х < 1, |
х> 6 функция положительна; в) |
|||||||||
при 1<х<6 |
функция отрицательна. 6. г = |
7. S = |
tga 8. Ь=^25-аг. |
|||||||
9. |
/(о) = 2;/(1) = -0,5; /(2) = 0; |
/(-2) =4; /(-| )= -5; f(j2)=-0,242..., |
\f(±)\ = |
|||||||
- |
1; ф(о)= 2; <p(l)= 0,5; |
ф(2)= 0; <p(-2)= -4; |
<p(4)= 0,4; |
/(-1) не существует; |
||||||
<p(-l) не существует. |
10. |
/(l) = 0; |
f(a)= a3 -1; |
f(a+1)= a3 + 3a2 + 3a; |
||||||
/(a -l) =a3-3a2+3a + 2; |
2/(2a) = 16a3 - 2; |
11. |
l?(0)= i; |
P(2)=l; |
Р(з) =2; |
|||||
F(-l) = i; |
F(2,5)=V2; f(-l,5) = - ^ ; |
(p(0)= i; |
(p(2)=l; |
<p(-l)=i; Ф(х)=2- 2 |
||||||
при x > 0 |
и ф(х)= 2~*-2 |
при |
х < 0; |
ф(-1)+J?(l)= L 12. |
ф(0)=0; |
y(l)=a; |
||||
ф(_1)= “^ |
Ч 'Щ 'в®; |
ф(а)= аа+1; ф(-а)=-а1_в. 13. ф(*2)= t° +1; |
[cp(t)]2 = |
=+2f3 +1. 20. равно тангенсу угла между секущей, проходящей
через точки (a,/(a)) и (&,/(&)), |
и положительным направлением оси Ох. 22. а) |
|||||||||||
xi = 0, |
*2=2 |
б) xt = - 1, Г2 = з. 23. х, = -2, |
х2 =5, х3 = -1. 25. 4 и -2; -2, |
|||||||||
2, 4, 10. 26. |
хх = -3, |
х2 = -2, |
х3 = 2, х4 = 3. |
27. х < -1 |
и |
х > 2. 28. a = 4, |
||||||
b = -L |
29. |
a = —27Ln0j ~ -1,04 (полагая sin0,5 = 0,48); |
ft = 1; |
c = - ± + 2kn |
||||||||
a= гыкб e |
Ь= - 1; |
c= l + (2ft+l>i |
(ft = О, |
±1, |
±2,...). |
33. u = |
||||||
= Vl + (iffsinx)2. 34. о = ein(l+ x). 35.1) у = и3, |
у = sinx; |
2) |
у = ^/y, |
у = и2, |
||||||||
u = x + l; 3) |
|
y = lgy, |
и = tgx; 4) у = u3, |
u = siny, |
y = 2x + l; |
5) |
y = 5u, |
|||||
u = y2, |
y = 3x |
+L 3e. a) |
6) 0; в) sinl2; |
r) -sin2xcos22x; д) xe-3x7 + |
||||||||
+ 3x62x3 +т, |
e) 0; ж) ein(2sin2x) 38. 1) y = ±V1-x2; |
2) |
у = i-J-Vx2-a 2; |
|
|
|
ОТВЕТЫ |
|
|
|
|
343 |
|
-log2(x - 2) - х; |
8) у = Arccos-j^-. |
39*. |
Пусть |
х>0 |
и |
у > 0, тогда |
|||
У + У ~ х ~ х = 01 |
у = х |
(график - биссектриса первого координатного угла). |
|||||||
Пусть х > 0 и у < 0, |
тогда |
у - у - х - х - О ; |
* = 0 |
(график - |
отрицательная |
||||
полуось Оу). Пусть * < 0 и |
у > 0, |
тогда |
у +у -х +х = 0; |
у = 0 |
(график - |
||||
отрицательная полуось Ох). |
Пусть |
х < О и у < 0, |
тогда |
у - у - х |
+х = 0 - |
тождество (график - множество всех внутренних точек третьего координатного угла).
41.
п |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
18 |
19 |
20 |
и |
0 |
1 |
2 |
2 |
3 |
3 |
4 |
4 |
4 |
4 |
5 |
5 |
6 |
6 |
6 |
6 |
7 |
7 |
8 |
8 |
42. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
я |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
18 |
19 20 |
||
и |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
2 |
0 |
2 |
1 |
2 |
0 |
4 |
0 |
2 |
2 |
3 |
0 |
4 |
0 |
4 |
43. |
Если f(x) - |
масса |
отрезка AM, то |
f(х) = 2х |
при |
0 < х < 1, |
||
/(*) = 2+1-(* - 1) при |
1 < х < 3, |
f(x) = х + 2 при |
3 < х < 4. |
Функция опре |
||||
делена при |
0<х<4. 4 5 . V =nx^R2— |
0<x<2ft 47. 1) |
х > 0; |
2) х >-3; |
||||
3) х £ |
4) |
< х < 0; |
5) вся числовая ось, кроме точек х = ±1; 6) |
вся число |
вая ось; 7) не определена только при х = 0, х = -1,х = 1; 8) вся числовая ось,
кроме точек х = 1 и |
х = 2; |
9) |
-1<х£1; 10) |
-о»<х<0 |
и |
4 < х < -Ь»; |
||||||||||
11) |
-оо<х<1 |
и |
3<х<+~; в интервале (1,3) |
функцияне |
определена; |
|||||||||||
12) |
— < х < 1 |
и |
2 < х < -И»; |
на |
отрезке |
[l,2] |
функцияне |
определена; |
||||||||
13) |
-4 < х < 4; |
14) |
1 < х < 3; |
15) |
0<х<1; |
16) |
-| < х < | ; |
17) |
0<х<±; |
|||||||
18) |
-1 < х < 1; |
19) |
- » < х < 0; |
20) |
не |
имеет смысла; |
21) |
1 < х < 4; |
||||||||
22) |
2kn< х < (2k + 1)71, где k - целое число; 23) 2kn <x<(2k + l)x, |
где k - целое |
||||||||||||||
число; 24) |
0 < х < 1 |
и |
1 < х < +«. 48. 1) -2 < х < 0 и 0 < х < 1; |
|
2) |
-1 < х < 3; |
||||||||||
3) |
1 йх < 4; 4) |
-| < х < 2 и 2 < х < -н»; |
5) область определения состоит только |
|||||||||||||
из одной точки х = 1; 6) -1< х< 0 |
и 1<х<2; 2<х< +оо; 7) 3- 2л < х < 3- л |
|||||||||||||||
и 3 < х <4; |
8) |
-4 < х < -я и 0<х<я; |
9) |
2*я< х < (2А +1)я, |
где к - целое |
|||||||||||
число; 10) |
4<х<5 |
и 6<х< +~; |
Ц) нигде не определена; 12) |
-1 < х < 1 и |
||||||||||||
2 < х < 3; 13) вся числовая ось; 14) 4 < х < 6; |
15) |
2< х < 3. |
49. 1) Да; 2) тож |
|||||||||||||
дественны на любом интервале, не содержащем точку х = 0; |
3) тождественны |
|||||||||||||||
на полуинтервале [0,+»); 4) тождественны на интервале |
(0,+«). |
50. 1) На |
||||||||||||||
пример, у = 1/4-х 2; |
2) например, |
у = — -1- |
; 3) например, |
У = - ^ +"^з + |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
•rv4 -х 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
51. 1) 1<х<3; 2) 0^х<+«» |
для двух ветвей и |
15х<+°° |
для двух |
||||||||||||
других ветвей. 52. -«о < х < -н»; 53. 1) |
у |
> 0 при х > 2; у < |
0 при х < 2; у = 0 |
344 |
|
|
|
ОТВЕТЫ |
|
|
при х |
= 2; 2) |
у > |
О при х < 2 и х > 3; у < 0 при 2 < х < 3; |
у = 0 при х г = |
2 |
|
и х 2 = |
3; 3) у |
> 0 в интервале (-со,+со), функция корней не имеет; 4) у > 0 |
в |
|||
интервалах (0,l), |
(2,+°°); у < О |
в интервалах (-°°,0) и (1,2); |
у = 0 при х, = О, |
|||
х 2 = 1, |
х3 = 2; |
5) |
у > 0 при х * |
0; у = 0 при х = 0. 54. 1), 3), 8), 10), 11), 15) |
четные, 5), 6), 9), 12), 14), 17) нечетные; 2), 4), 7), 13), 16) ни четные, ни не
четные. 55. 1) у = (г2 +г)+3х; |
2) у = (l-x4)+(-x3 -2х5); 3) у |
= (sin2x + tgx) + |
«o sf. 57 .1 )У= ^ 1 +^ |
ь |
» Г _ у - * Г . 59. |
Функции 1), 5), 6), 8). 60. Графики см. на рис. 67 и 68. 61. 1) В интервале (—°°,О) убывает, в интервале (0,+ °о) возрастает; 2) в интервале (-°°,0) убывает,
в интервале (0,+~) сохраняет постоянное значение - нуль. 62. 1) Наибольшее
1; наименьшее 0; 2) наибольшее 1, наименьшее -1; 3) наибольшее 2, наимень шее 0; 4) наибольшего значения не имеет, наименьшее 1. 76. х = 3; при гра
фическом решении ищется точка пересечения графика функции у = ф(х) и прямой у = 2 х - 4 78*. Следует обратить внимание на то, что из всегда спра
ведливого соотношения |/(х)+ф(х)|<|/(х)|+|ф(х)| в условии задачи исключен знак равенства. Строгое неравенство будет иметь место при х < 3 и х > 4.
Можно решить задачу путем построения графиков функций Ф(х)=|/(х)+ф(х)| и ф(х)=|/(х)| +|ф(х)|.
82. у = - f * 2 + 5 |
на интервале(-°°, - 3), |
на отрезке[- 3, 3], |
|
Jx ~ 2 |
на отрезке[3, б]. |
105. хх= -3, х2 = 8. При графическом решении ищется точка пересечения графика функции у = ф(х) и парабо
|
лы у2=7х +25. 106. Если Ъ2 - А а с > 0 |
|||||||
|
и а > 0, то функция определена на |
|||||||
|
всей числовой оси, кроме интервала |
|||||||
|
Xj < х < х2, |
где х х и х2 - |
корни трех |
|||||
|
члена. |
При Ь2 - 4ас >0 |
и |
а < 0 |
||||
|
функция |
определена |
только |
при |
||||
|
х, < х < х2. |
Если |
Ъ2 - |
А а с <0 |
и |
|||
|
а > 0, |
то |
функция определена |
на |
||||
|
всей числовой оси. Если |
Ь2 - 4ас < 0 |
||||||
|
и а < 0, то функция нигде не опре |
|||||||
|
делена. |
Наконец, |
при |
|
Ь2 - |
А а с |
= 0 |
|
|
функция будет определена на всей |
|||||||
|
числовой оси, кроме одной ее точки |
|||||||
|
х = — |
если а |
> 0, |
и |
нигде |
пе |
||
Рис. 68 |
определена, если а |
< 0 . |
|
|
|
|
|
ОТВЕТЫ |
|
3 4 5 |
|
|
|
|
107. f(x + 1) - 2хг + 5х+ 3. |
108*. Пусть |
= = т , где т - |
произвольное |
действительное число; тогда (m- l)x2+ 2(2m-l)* + c(3m-l) = 0. |
Аргумент х |
||
должен быть действительным числом, |
следовательно, |
(2m -lf- |
|
-(m-l)(3mc-c)> 0, или |
(4-3c)/n2 + 4(c-l)m -(c-l)>0; но так как т- |
действительное число, то это неравенство в свою очередь справедливо лишь
при условии, что 4 - Зс > 0, |
4(с- if +(4- Зс)(с- 1)< О. отсюда 0 < с < 1, |
но по |
||||||||||||||
условию |
с* О, следовательно, |
0<c<L 117. 1) у = х; |
2) у |
= J-; |
3) |
у |
= — -‘, |
|||||||||
4) |
y = ±J x -1; |
5) |
y = |
6) |
у = |
|
7) |
у = 1±</ГГГ; |
8) |
у = ±Vx3 -1; |
||||||
9) y = Ig^; Ю) |
у = -2 +10*"1; |
11) |
|
X |
|
2 |
13) |
у = ± lg ^ ; |
||||||||
у = 2*; 12) I/ = 1о& |
||||||||||||||||
14) |
у = -i-arcsin-|; |
15) |
у = |
|
|
|
16) y = ±cos-J (0<х<2я). |
119. |
d = -а. |
|||||||
122. |
1 < х < 3; |
у = 1 +21'*2. |
123. |
у = arcsinVx-x2-2. |
128. |
Если |
у, = хл, |
|||||||||
у2 = \/х, |
то при |
л > 1 |
для |
0 < х < 1 |
У! < у2, |
а для 1 < х < +°° |
у1> у,; при |
|||||||||
О< п< 1 |
для 0 < х < 1 |
у, > у2, |
а для 1 < х < +°° у, < у2; при |
-1 < л < 0 для |
||||||||||||
О< х < 1 |
у1< у2, а для 1 < х < +оо У1 > у2, при л< -1 для 0 < х < 1 у х < у 2, & |
|||||||||||||||
для 1 < х < +оо ух<у2 |
135. |
л = 15. |
136. Исходя из определения гиперболиче |
|||||||||||||
ских функций, |
|
можно |
доказать, |
что |
sh(-x)=-shx, |
|
th(-x)=-thx, |
ch(-x) = chx. Периодическими эти функции не являются. 141. График функ ции симметричен относительно начала координат, так как функция нечетная,
у = а*~£ х. 146. Область определения (0, л). |
Площадь будет наибольшей при |
||||
х = А. 155*. 1) Период у. На отрезке [0,2л] |
функция может быть представ |
||||
лена так: у = sin(x)+cos(x) |
на отрезке [0, л/2], |
у = -sin(x)+ cos(x) на отрезке |
|||
[я/2, я], |
у = -sin(x)-cos(x) |
на отрезке [л, Зя/2], |
у = -sin(x)+cos(x) на отрез |
||
ке [Зя/2,2л]. 2) Период 2л. На отрезке [0,2я] |
функция может быть представ |
||||
лена так: |
у = tgx на полуинтервале [о,у), |
у = 0 на полуинтервале |
(§-,я], |
||
у = —tgх |
на полуинтервале [я,-^5-), у = 0 на полуинтервале (4р2я]. |
156. 1) |
Область определения состоит из бесчисленного множества интервалов вида (2лл, (2л+ 1)я), где л = 0, ±1, ±2 ...; ни четная и ни нечетная; периодиче
ская, период 2л. В интервале (о,-|) синус возрастает от 0 до 1, следовательно,
lgsinx, оставаясь отрицательным, возрастает до 0. В интервале (|,л) синус
убывает от 1 до 0, следовательно, убывает и lgsinx. В интервале (л,2л) синус имеет отрицательные значения, следовательно, функция lgsinx не определе на. 2) Область определения состоит из отдельных точек вида х = у + 2лл, где л = 0, ±1, ±2 , ... В этих точках у = 0. График состоит из отдельных точек
ОТВЕТЫ
3 4 6
оси абсцисс. 3) Функция опре делена на всей числовой оси, кроме точек х=пл, где л=0,
* t |
±1. |
±2,... 161. 1) |
-1<х<1; |
y=arcsin(sinx) |
2) |
0 < х < 1; 3) |
0 < х < 1; |
|
4) |
-1 < х < 0; 5) |
0 < х < +оо; |
|
6) |
-<» < х < 0; 7) |
0 < х < +оо; |
|
8) |
< х < 0; 9) |
-оо < х < 1; |
|
10) |
1 < х < +°°. |
|
163*. Период 2л. График см. на рис. 69. Указание. На интервале |
< х < -2- |
имеем у = arcsin(sin х) = х по определению функции arcsinх. Для получения графика функции на интервале у < х й ~ полагаем г = х - п, тогда х = п+ г,
—|-< г < у, у = arcsin (sin х) = arcsin sin (г+л)= - arcsin (sin г)=~г; у = п -х
и т. д.
Кглаве II
176.Umu„=l, л>4. 177. limu„=0, n>-j-. 178. л=19999. 179. limun=0,
л> 1000. Величина vnбывает то больше своего предела, то меньше, то равно
ему (последнее при |
n = 2k+1, |
где |
k = 0, 1, |
2, |
...). |
180. lim ип= 1; |
л > 14; |
||||||
Е |
|
зме |
если |
в |
л = 0, |
|
|
в |
182. л > |
|
|||
n>log2i. |
181. п > ± Ж |
е<-|; |
если е>-|- |
|
|||||||||
последовательность ипубывающая. 183. |
lim и |
= 0; |
о„ достигает своего предела |
||||||||||
|
|
|
|
|
л—*- |
|
|
|
|
|
|
|
|
при л = т +1, так как, начиная с этого значения л, |
и„ |
= 0. 185. 0. 186. 1) Нет. |
|||||||||||
2) Да. 189. При а - |
0 этот предел может равняться любому числу или не су |
||||||||||||
ществовать. |
190. 5< л/4 + е - 2; |
5< 0,00025. |
191. |
5< 2- >/з. |
192. |
5 < ^ |
|||||||
193. |
arcsin0,99 = 0,133. |
194. |
N > J j-1 , |
если е< 1; |
N = 0, если |
||||||||
е> L 195. |
N > |
если е < |
; |
N = 0 |
, |
если е > j . |
196. л > |
197. ип —положительная бесконечно большая величина, если разность про грессии d > 0, и отрицательная, если d < 0. Для геометрической прогрессии утверждение справедливо только тогда, когда знаменатель прогрессии по абсо
лютной величине больше |
1. 1 9 8 .---- ]—<х<— |
■ 199. |
ЛШШ.< х < |
090 |
||
|
|
ю4+2 |
ю4-2 |
J°01 |
||
200. |
б < -^Lr = 0.0L 201. |
log2 0,99 < х < log21,0L |
202. |
М > 10N= Ю100. |
||
203. |
sinx, cosx и все обратные тригонометрические функции. 205. Нет. Да. |
|||||
206. Нет. 207. 1) Например, хп= i +2пп и хя = 2лл. |
2) Нет. 209. Если а > 1, |
|||||
то функция при х -> +оо |
не ограничена (но не бесконечно большая); |
при |
х —> ~с° она стремится к нулю. Если 0 < а < 1, то функция при х -» -«> не ограничена (но не бесконечно большая); при х —>+<» она стремится к нулю.
|
|
|
|
|
|
ОТВЕТЫ |
|
|
|
|
|
3 4 7 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
При а = 1 |
функция ограничена на всей числовой оси. 210. 1), 3) и 5) нет; 2) и |
|||||||||||||
4> да- |
« 3 . |
|
< *< |
ееёэ■ |
2 Ы - |
|
|
|
215. |
1) |
» = l t - J - j |
2) |
||
У = -2+-^ ~ 2+ij |
3) У = -1 +'^ 2’' |
216* |
°Рапнить ип с суммой членов геометри |
|||||||||||
ческой прогрессии |
■*•, |
i |
, -L. |
220. |
3. 221. Да. |
222. |
/(х)=9л |
при |
||||||
О< х < 5; |
f(x) = 4л |
при |
5 < х < 10; |
f{x) = п |
при |
10 < х < 15. |
Функция раз |
|||||||
рывна при |
х = 5 и при |
х = 10. |
223. |
а= L 224. |
А = -1, |
В = L 225. х = 2; |
||||||||
х = -2. |
226. у. |
227. Функция у = |
|
имеет в точке х = 0 |
устранимый раз |
|||||||||
рыв, у = |
- |
разрыв второго рода (бесконечный). 228. Функция разрывна |
||||||||||||
при х = 0. |
229. Функция имеет три точки разрыва. При х = 0 |
разрыв устра |
||||||||||||
нимый, при х = ±1 |
разрыв второго рода (бесконечный). 230. Нет. Если х -»0 |
|||||||||||||
справа, то f(x)-»-|, |
если х -> 0 |
слева, то f(x)-»~j. 231. Функция разрывна |
||||||||||||
при х = 0. |
232. 0. 234. Нет. Если х -»1 |
справа, то у -> 1; |
если х -»1 слева, |
|||||||||||
то у -» 0. |
235. Если х -» 0 справа, то |
у -»1; |
если х -»0 |
слева, то у -» -L |
236. Функция разрывна при х = 0 (разрыв первого рода). 237. Функция имеет разрывы первого рода в точках х = у (2k+1) 238. При х = 0 функция непре
рывна, при х * 0 функция разрывна. 239. Все три функции разрывны, когда х равен целому числу (положительному или отрицательному) или нулю.
241*. Записать многочлен в виде х"^а0 +— + |
j и исследовать его пове |
|||||||||||||||
дение |
при |
х —»±оо |
244*. Построить схематично график функции |
|||||||||||||
у = |
*-Aj |
+-Щ—+ —у—, |
исследовав ее поведение в окрестности точек Хи Л2 и |
|||||||||||||
|
1-Л2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Xa 245.1. 246. |
1. 247. 3. 248. |
«. |
249. 0. 250. 0. 251. -Ц, 252. 1 253. 0. 254. 4. |
|||||||||||||
255. |
1. 256. 0. 257. 0. 258. 0. 259. 1. 260. |
|
261. £. |
262. |
|
263. -1. 264*. 1. |
||||||||||
Заметить, что ^ |
г = |
|
£> |
265. |
266. 1. 267. 0. 268. 9. 269. |
|
270. |
|
||||||||
271. |
0. |
272. |
0. |
273. |
|
274. |
± |
275. |
6. |
276. ~. |
277. -1. |
278. |
». 279. 0. |
|||
280. |
f . |
281. 0. 282. |
283. |
284. -1. 285. 0. 286. |
287. -1. |
|
288. 100. |
|||||||||
289. |
-1. 290. 1. 291. |
~. |
292. |
0. 293. 0. 294. «. |
295. |
4. |
296. |
± |
297. |
3. |
||||||
298. |
|
если х>0; |
°°, |
если х = 0. 299. |
300. |. 301. |
- ^ = . |
302. |
f . |
||||||||
303*. — К числителю прибавить и отнять единицу. 304. |
|
305. Один ко |
||||||||||||||
рень стремится к -у, |
другой - |
к |
». 306. 0. 307. 0. 308. 0, если х -* +°°; |
оо, |
||||||||||||
если х —> -со. |
309. |
если х -» +«»; -со, если х —> |
310. |
|
если х -» -к»; |
|||||||||||
о», если х -» |
|
311. |
±|. |
312. 0. 313. 1. 314. 3. 315. А. 316. f . 317. |
£. 318. 0, |
|||||||||||
если |
п>т; 1, если п = т; |
оо, если |
п< т |
319. у. |
320. |
321. у. |
322. |
|
ОТВЕТЫ
3 4 8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
323. |
о». |
324. -1. |
325. |
i. |
326. |
~. |
327. 0. |
328. |
% 329. |
|
330. |
331. 1. |
||||||||
332. |. |
333. |
|
334. |
- к |
335. |
|
336. |
2. 337. |
338. -2. |
339. |
-2 sinа. |
|||||||||
340. |
|
341. |
co s'а |
342. |
|
343. -sina. 344. -Мм.. 345. |
346. 1. |
|||||||||||||
347. 6. 348. |
|
349. -1. 350*. |
-щ. Положить |
arcqosx = у. |
351. к |
352. к |
||||||||||||||
353. 1. 354. |
етк |
355. |
е®. |
356. |
е~*. 357. |
ег. |
358. 0, если х -> +~; |
», |
если |
|||||||||||
х _> —во. |
359. оо, если х-»+<*>; |
0, если |
х— |
|
360. 1. 361. «>, если |
х->+«>; |
||||||||||||||
0, если |
х->-~. |
362. |
е2. |
363. |
е. |
364. |
|
365. к. 366. |
|
к |
367. а. |
368. к |
||||||||
369. Inа. 370. |
371. е. 372*. -|; |
к числителю прибавить и отнять единицу. |
||||||||||||||||||
373. |
2. |
374. |
1. |
375. |
а-Ъ. 376. 1. 377. 0, если х ->+<»; |
оо, |
если |
х |
|
|||||||||||
378.1, если х -» +~; -1, если х -> |
379. 1) |
а"; 2) 0, если А * 0, а", |
если |
|||||||||||||||||
Л = 0 и а * 0, и оо, если |
А = а= 0; 3) yjj. |
380. 0, если |
х -» -к»; -°о, |
если |
||||||||||||||||
х —> —о°. |
381. При а > 1 |
предел равен 1, если |
х - » +~, |
и 0, если х -> -оо. При |
||||||||||||||||
а < 1 |
предел .равен 0, |
если х - » -н», |
и 1, если х -» -«о. |
При |
а = 1 |
предел |
||||||||||||||
равен ^ |
382. При а>1 |
предел равен 1, если |
х -> -н», |
и -1, |
если |
х -> -оо. |
||||||||||||||
При а < 1 - |
наоборот. При а= 1 предел равен 0. 383. 0. 384. 0. 385. 1. 386. 0. |
|||||||||||||||||||
387. |
-cosa. |
388. |
389. j. 390*. •s^ . |
Умножить и разделить на sin-^-. |
||||||||||||||||
391. j. 392.0.393*. - j . |
Воспользоватьсяформулой arctgbarctga = arctg-j^-. |
|||||||||||||||||||
394. |
|
395*. Y |
Заменить arcsinx |
на |
arctg-j-x— и воспользоваться указани |
|||||||||||||||
ем к задаче 393. 396. |
оо, |
если |
л<1; |
е, |
если |
л = 1; |
1, |
если л > L |
397*. 1. |
|||||||||||
Взять вместо cosx выражение l-(l-cosx). 398. —|. |
399. к |
400. е. 401. еаЬ |
||||||||||||||||||
402. |
v„ высшего порядка малости. 403. и„ и vn - эквивалентные бесконечно |
|||||||||||||||||||
малые. 405. Одного порядка. 406. При х = 0 |
порядок малости различен. При |
|||||||||||||||||||
х = |
|
величины Ду |
и |
Дх эквивалентны. 407. Нет. 408. Третьего порядка. |
||||||||||||||||
409. 1) 2; 2) ±; |
3) 1; 4) 10. 410. х = |
|
|
411. а= к |
412. Нет. 414. 1) |
|||||||||||||||
2) g-; 3) |
4) эквивалентная бесконечно малая; 5) эквивалентная бесконечно |
|||||||||||||||||||
малая; 6) 1; 7) эквивалентная бесконечно малая; 8) 2; 9) 2; 10) 1; 11) |
|
12) 2. |
||||||||||||||||||
415. |
а2ч/з. |
416. 2яЯ2; |
4Д2. 418. Из того, что ломаная линия стремится к |
прямой (в смысле сближения их точек), не следует, что длина ломаной стремит
ся к длине отрезка. 419. а. 420. a, |
421. |
2л(Д+г). 422. И отрезок и угол |
|
имеют порядок 1. |
425. 1) 10,25; 2) 30,2; 3) |
16,125; 4) 40,4; 5) 0,558; 6) 0,145. |
|
426. 1) 10,16; 2) |
20,12; 3) 1,02; |
4) 4,04. |
427. 1а1,01« 0,01; In1,02 = 0,02; |
In1,1 = 0,1; In1,2 = 0,2.