книги / Сборник задач по курсу математического анализа

ОТВЕТЫ

411

К

г л а в е XIII

3770.

V51n2.

3771. 24. 3772.

3773. 2na2n+1.

3774.

3775. 4яa>/J.

3776.

|F(pcos(p,psin(p)Vp2 +Р72 dtp

44

3777*. па2/2. Перейти к полярным координатам. 3778. 2a3V2/3.

3779.

+4)3/2-e j. 3780. 8a%*&/3. 3781. Л4>/3/32

3782.

+

3783. Я»,/*. 3784. ф | +l)3/2-(*?+l)3/2}.

3785.

5a. 3786.

+ arcsine, где е -

эксцентриситет эллипса.

3787. ^2па2

а2 +Ъ2 . 3788. (l-«r‘)V3. 3789. (О, 2a/n, bn/2).

3790.

- фл* + i f * + 1].

3791.

Ix - I x = (>!/2 + h2/ з)^4пгаг +Л2,

I, = a4in2a2 *h2.

3792.

3nR2. 3793.

яра/4 3794. 11/3. 3795. Д2.

3796.

ka^a+

где c = V<*2 -b 2; 5 = 2fta2 при a = 6.

3803.

2nmla/b2, где a и b - полуоси эллипса. 3804. 2nml/p.

3805.

ZnmIR2/(<h2

+ R2f /Z. При Д = W2. 3806. 3. 3807. aft/2.

3808.

-56/15. 3809. 37^. 3810. 4я. 3811. 1) 1/3;

2) 1/12; 3) 17/30;

4)

-1/20. 3812.

Во всех четырех случаях интеграл равен 1. 3813. 0.

3814. -2яа&. 3815.

-4а/3. 3816. па2. 3817. ЗлД^Л/16.

3818. 13.

3819. 0. 3820. 3^3. 3821. -яЯ8/4.

412

ОТВЕТЫ

3840.

in f. 3841. R2- Я,. 3842. f . 3843. 0. 3844. -9/2L

3845.

u = 2-gtL + C.

3846.

и= [х2-у 2)2 + С.

3847.

и = 1п|х+ у | -- ^ + С.

3848. u = £ S i l + c. 3849. и = ln|*-y| +- ^ + J£—x

+ a

3850. и = х2созу+ у2созх+ С. 3851. и = -£~ + у+ С.

1+х*

3852. ц= —

+ С. 3853. л = 1, и =-J-ln(x:2+j/2)+arctg^ + C.

{*+УГ

3854.

а= Ь = -1, и =-^— -+ С. 3855. и = ln|x+ y + z| + C.

х2+1Г

3856.

и = ^х2 + у2+ z2 + С. 3857. arctgxyz + С.

3858. ц = -2£_ + С.

3859.

а = - ^

+-£ + С. 3860. у = «^(x + lj + e1" -е 'г. 3861. nab.

3862.

Зла2/8.

3863.

бяа2.

3864*. За2/2. Перейти к параметрическому зада­

3888-

при л" 2!

jjпри Л = 2.

3884. n ^ V F + l+ ln ^ +V F + ljj.

3885*. я2Л8. Воспользоваться сферическими координатами.

3886.

8яЯ4/3.

3887. 3. 3888. 2яЯ7/105.

3889.

4паЬс/3. 3890. 0. 3891. 1/8.

3892.

Д2Я(2Я/3 + я£Г/8). 3893. я/8.

3894.

2jj(x-y)dxdy +{y-z)dydz + (z-x)dxdz. 3895. -яЯв/8.

3896. 2\\[{x +y +z)dxdydz. 3897. ({( i ~ * ~ -

dxdydz.

о

JtJV*2+lr+z2

Q ’

9

3898. 0. 3899.

12яЯ6/5.

414

ОТВЕТЫ

3954. у = Се~2* + 2х- 1. 3955. у = в'1* (с +х2/2). 3956. у = Сх2е1/Х+ х2.

3957. y =(i + C)(l+ xI). 3958. у = Ce'x+^(cosx +sinx).

3959. Если т Ф-а, то у = Се““

+

если

т = -а, то у = (С +*)<?"“.

3960. у2-2х = Су8. 3961. х = Се2у + у2/2 + у/2 +1/4

3962. х = у1пу+ С/у. 3963. у = e*(ln|x| +х2/г)+ Се*.

3964. у = Се‘ф(х) +Ф (х)- L 3965. у = x/cosx.

3966. у = 'z±°P-'a-.

3967. у = ^ г (х-1 +1п|х|).

3968. х = -f arctgf. 3969.6) а +Э = 1. 3971.

у= Cx-xln|x|-2.

3972*. у = Сх ±

Дифференциальное уравнение задачи JХу - х2у' |= а2.

3973*. х = Су±а2/у . Дифференциальное уравнение задачи |ху - у 2

= 2о2.

3974. v =

3975.

v= (и0 +Ь)е"“'2 +Ь(at2 - 1),

где а=

у =

А2

т

3976.

0- 0О= е"*'|<р(t)ek,dt.

3977. 9,03 А.

о

3978.

/ = -^2^2 [lil-e^^ + JJsmajf-ciiLcosajf].

3979.

x = Ce*rctg*.

3980. у = Сх2 +1 / х. 3981. у =£^х2 +

1 3

9

8 2

. у = Сх-1.

3983.

(l +x2)(l + у2)= Сх2.

3984. (х+ у)2(2х+ у)8 = С.

3985.

х = Се

^

3986. sin-j = Сх. 3987. sin—+ 1п|х| = С.

3988. у = Се_ех + ех -1. 3989. у(у- 2х)* = С (у- х)2.

3990.

у = Ceelny - 2(1+sinу). 3991. х = у2(1 + Се1/у).

3992. у = Ce_,lnx + sinx-1. 3993. у = (c+e*)(l +x)n.

3994. у4 =4хул-С. 3995. у = Сех и у = С +х2/ 2.

3996*.

у2 = l 8inx +- ~ - .

Привести

к уравнению

линейному относительно

2= у2.

3997. arctg(x+ у) = х + С. 3999. arctg^- + ln(x2 +y2J= А+ In 2.

4000. y = ± ^

[ 2

+ W l-x 2 + flrcein хJ.

4001. (l + y)e-' =lnJ^- + l - x

4002. л = |е'*

416

ОТВЕТЫ

тегрирование его дает р =Се*®2*2. Далее,

М = j* dm = С•2fcSJe^^dx, откуда

о

о

.

'

находится С. Имеем р =

■ н°

Yo=2*p0= f ,

и оконча.

2ASJe*“ * dx

о

тельно п =

РО^2*2

------ .

У 1

/е*® * dx

о

4025. (x+y - l / = С(х-у +3).

4026. х2 - ху + у2 + х -у = С.

4027. х - 2 у + 1п|х + у| = С.

.

. у+2

4028. е" “'**-» = С(у +2).

4029. у2 - x +fc + ljln ^ .

4030. yV y2/x =С. 4031. у = -Ltgln|Cx|.

4032. х2у2+ 1 = Су. 4033. Сх = 1-----£—. 4034.

(l + Сх)еу = 1.

х2+у2

4035. у4 + 2х2у2 +2у2 = С. 4036. х2 + у2 = С(у- if.

4037. у = хtg (х+ С).

4038.

= се2*2 + х2 +

4039. „ =

_

1

у2

2

у

(l+x)[c+ln|l+x|]

4040. пуп= Се~пх,а +пх-а. 4041. х2 = у3|с- у2). 4042. у(l + In х + Сх) = L

4043. у(* + С) = аес*.

4044. у= (> Ч ? Н

+ tgIj 2. 4045. у .jiln»|c*|.

4040.

4047.

=

4048.1) f +i = l; 2)

+

=

“Мв-

405°- *‘ - * V + » 4 -C . 4051. I + arctgi=C.

4052. xey - у2 = C. 4053. xy =C. 4054. Jx2+y2 + f = C.

4055.

tg(xy)- coaxcosy = C. 4056. |^(x2 + y2)3 +x - j y 2 = C.

4057.

sm j-cosj + x --i = c .

4058.

x-|- = C.

Интегрирующий

множитель

ц(*) = 1 / x2.

4059*. x2 + 2x/y = С. Искать интегрирующий множитель в виде

функции р(у). 4060. (х2+у2)в* =С. 4061. Z +Jius.^c.

4062.

(хsinу+ уcosу - sinу)е* = с.

4064. ц =

^ .

4065. Выражение

должно быть функцией от (х+ у).

4066. Выражение ^ ^

должно быть функцией от ху.

4067.

аЪх + Ъгу + а + Ъс = СеЬх. 4068.

у = [ce(m' l)bjr/fl -

^ .

418

ОТВЕТЫ

4112.

y= l +2x-x2+fx3- f x 4+... 4113. у = 0.

4114.

у = , +4 +^

+^

+... 4115. l f - ^

- 4 -^Г-

4116. у, 1 +(1- 1 ) - 1 ^ +^

+^

- »

^

+...

4117.

у = Сх+ С2;

особый интеграл

х2+4у = 0.

4118.

у = Сх-ЗС8;

особый

интеграл 9у± 2xjx = 0. 4119. у = Сх+1/С; особый интеграл у2 = 4х.

4120. у = Сх+ Vl + С2 ; особый интеграл х2 + у2 = 1.

4121. у = Сх+ sin С; особое решение у = х (я- arccosх)+ V l-x2.

4122.

х = Сх - In С;

особое решение у= 1пх+ 1. 4123.

y = (VxTl+c)

; особое

решение у = 0. 4124. у = Сх2 + 1/С; особый интеграл у2 - 4х2 = 0.

4125.

2Сх = С2 - у2; особого интеграла нет.

4126.

х = Се~р+ 2(l - р),

у = х (l + р)+ р2; особого интеграла нет.

4127.

у = Сх- ес; особое решение у = х (in х - 1).

4128.

у = Сх + С+ С2; особое решение у = -(х + if /4

4129.

у = Сх+ oVl - С* ; особый интеграл ТЙ“ Тх^ = Та3". 4130. (С-х)у = С2;

особое решение у = 4х. 4131. у2 - 4е* = 0. 4132. ху = 1. 4133. 2у - х2 = 0.

4135.

Равнобочная гипербола 2ху = ±а2, где а2 -

площадь треугольника; три­

виальное решение - любая прямая семейства у = ±С2х / 2+ аС.

4136.

(у- х - 2а)2 = 8ах.

4137. Эллипсы и гиперболы.

Се 2' 2 (1 +р 2]

2р 2

( P 8 +I )

'

_ -сУр

4138.. X ----------1------s у = —------ ИЛИ X =

__L

4

р2+2)3

i(p2+zf

4139.

4140*. у = сова (с +-|sin2 а),

х = sinа (а - С -

sin2 а).

В полученном диффе­

ренциальном уравнении положить

= tga,

а затем выразить х через у и

420

ОТВЕТЫ

4178.

= С, arctg(С, In у), <\ > 0. 4179. ln|C,y| = 2tg(2x + C2).

4180.

y = ln|x2+C1|+^ r l n | ^ ^ | + C2, если ^ < 0 , и

4188.

in|y + c1|+^

= x + C2. 4189. y = x8+3x + l. 4190. y = 2+ ln-^.

4191.

у = 7*2л/ix --3^

4192. у = —-Ц-. 4193. y -x = 21n|y|.

(*+«)

4194.

у = V2x-x2. 4195. у = Vl +e2*. 4196. у = - In |l- х|. 4197. у = (х+ l)/x.

4198*. у = х. Сделать подстановку у = их. 4199. у = 2

- 1 .

4200*. Дифференциальное уравнение линии dx =

—, где А - коэффи­

I2'*

4201■мл/**. ev,aь

=С2аес(х/а— ^2 **т+^1/*С1). 'А4202У в ». v * — у

• « A V U * ц с и ш ш л и а н ;

4204. у=

ут#+Щ

4205. Парабола. 4206. 5 = -®- Jfat + c)3 -J (?

a*

/

поверхности

жидкости, уравнение луча у = /(х). На глубине

х

имеем

»tn(g+dg) = ”

Я~» ГД® т ~ показатель преломления на глубине х, а

а

- угол

между вертикалью и касательной к световому лучу. Очевидно, tga

равняется