книги / Сборник задач по курсу математического анализа
..pdf402 |
|
ОТВЕТЫ |
|
|
|
основания равны каждая 2а +^2и. высота вдвое меньше: а + |
. 3311. а3 |
||||
(куб). 3312. Наименьшая |
площадь равна З-JiiаЪ 3313. |
^4 / ч1Е,3 / |
и |
||
(-4/V5,-З/л/б). 3314. |
(-5/9,-1/9). 3315. (3,5). 3316. zw 6=2. |
3317. Сторо |
|||
ны треугольника -J2S, |
^2S |
и 2-Js. 3318. Высота Н / 3, |
стороны основания |
||
2aV2/3 и 2Ьл/2/3, объем |
V = 8аЬ#/27. 3319. Тетраэдр. |
3320. |
Нормаль к |
||
эллипсу в искомой точке должна быть перпендикулярна к линии, соединяю
щей |
данные |
точки. |
3321. |
Нормаль провести в |
точке |
с координатами |
|||||||||
(±a-Ja/(a+b), ± byjb/(a+&)). |
3322. |
(9,1/8, 3/8); |
(-9, -1/8, - 3/8). 3323. 2^2. |
||||||||||||
3324. х + у = 2; |
у = х. |
3325. |
х - у+ а = 0; х + у - За = 0. 3326. х + 2у-1 = 0; |
||||||||||||
2х - у- 2 = 0. 3327. х -у + 2 = 0; |
х +у -2 = 0. 3328. (о,0). 3329. (о, 0). |
|
|||||||||||||
3330. (0,0). 3331. (а, 0). 3332. |
(0,а), (0,-а), |
(а,0), (-а,0). 3333. (2,0), |
|||||||||||||
(-2,0). 3334. (о, 3), |
(-3,0), |
|
(-6,3). 3335. (0,0) |
- двойная точка. |
|
|
|||||||||
3336. (О, О) ~ изолированная точка. 3337. (О, 0) - точка прекращения. |
|
||||||||||||||
3338. |
kn, k = 0, |
1, 2, ... , - |
точки возврата. 3339. |
(а,0) |
~ точка возврата. |
||||||||||
3340. |
(о, О). 3341. х = -/'(а), |
у = /(а)-а/'(а); |
у = х arcsinх + VI - х2 . |
|
|
||||||||||
3342. |
16у3 +27х4 = 0. 3343. у2=4ах. 3344. у = х /2 и у = -х/2. |
|
|
||||||||||||
3345. |
у = -х4/4. |
3346. у= 0 и 16у= х*. 3347. у = х и у - х - 4/27. Первая - |
|||||||||||||
геометрическое место особых точек, вторая - |
огибающая. 3348. х2+ ~^=у2 = О |
||||||||||||||
и х2 |
= 0. |
3349. |
х2/3 +у2/3 = d2/z. 3350. |
Четыре прямые х ± у = ±R. |
|||||||||||
3351. |
26у(г2 +у2)+ х2 = 0. |
3352. |
Парабола |
V* + >/у = Ja. |
3353. |
Циклоида |
|||||||||
х = -|.(t - sin t), |
у = Y (I - cost). 3354. Эллипс x2 + Jj- = Д2. |
3355. |
Гипербола |
||||||||||||
xy = |
3357. Эволюта параболы у2= JL-(X - p f . 3359. Гиперболы xy = 1/2 |
и |
|||||||||||||
*» — »/*• |
|
•> |
H |
M |
|
' I # |
6) ( £ ) % |
ф |
в) rx |
£ : г) ( , * А ) . |
|||||
3362. |
Из равенства |
-g. = a(t)r следует |
= -g-r + a-g- = (g. + a2)r = 3(f)г |
и |
|||||||||||
т. д. 3363. Дифференцируя равенство г2 = const |
(см. задачу 3361), |
получаем |
|||||||||||||
г— = 0.. Касательная к сферической линии (т. е. к линии, расположенной не
сфере) перпендикулярна к радиусу сферы, проведенному в точку касания. Обратная теорема также имеет место.
3370. Из равенства = 0, где tl <x<t2, следует, что на замкнутой
(в силу равенства r(t,)= г(#2)) линии найдется точка, в которой касательная перпендикулярна к любому наперед заданному направлению. 3371. Годограф скорости v{acoat, aeint,2bt} ~ винтовая линия; годограф ускорения
w{-a.B\nt, a cost, 26} - окружность. 3372. Скалярное умножение на а и на г
|
ОТВЕТЫ |
4 0 3 |
|
|
|
дает а^ = 0, |
= 0. Отсюда ar = const - уравнение плоскости и г2 = const - |
|
уравнение шара. Искомая траектория - окружность, плоскость которой пер пендикулярна вектору а. 3374. Эллипс. Скорость будет максимальной в мо мент, когда материальная точка будет в конце малой полуоси, и минимальной, когда точка будет в конце большой полуоси. Ускорение будет максимальным (минимальным) в момент, когда скорость будет минимальной (максимальной).
3375. Компоненты скорости р^.; psinф^|-. Указание. Найти скалярные
произведения ~ е р; -g-ev; ^ е 0.
3376. |
= |
= |
|
+ |
+ г = |
+ |
|
|
|
||
3377. |
-аЧ2 |
= t-.-В/г шj^j/a |
|
+ + |
* |
И |
|
|
|||
|
|
aj2 |
*/« |
|
* |
naV2 |
8naV2 |
|
|
||
3378. |
х -6 a = |
= г£Й2.; |
х +6у + 36z = 2706а. |
|
|
||||||
3379. £2/2*1 = |
= |
|
* +!)+^ г = | +4. |
|
|
|
|||||
3380. ^ |
= .£=1; |
12х-4у+ 3z-12 = 0. |
|
|
|
||||||
3381. |
^2. = |
= *=£; |
27х +28у +4z + 2 = 0. |
|
|
|
|||||
3382. |
*~*0 _ |
УУ0 |
_ г-гр . |
*+У |
+ -*- = 2. |
|
|
|
|||
|
г0 |
*0 |
~ У0-*0* |
*0+У0 |
«О |
|
|
|
|
||
3383. |
г -х о _ У-УО _ *-*0 . |
|
|
У-УО г-го . |
|
|
|
||||
„2 2 ~ ,2,2 “ _,2 -2’ |
|
|
у1 |
4 ' |
|
|
|
||||
|
У0 20 |
жо го |
жо уо |
|
|
|
|
|
|||
3384. |
r0{v3/2,1/2, eK,t}. |
|
|
|
х-1 _ |
|
|
|
|||
3385. |
6х-8у- 2+ 3= 0; ^ |
|
_ г-1. |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
-1 ’ |
31 |
|
|
|
3386. |
- хо)~ Va(y- Уо) “ |
|
= |
|
^ |
= |
= |
||||
3 3 6 7 .^ - ev-V5-2+2 = o: |
|
|
|
|
|
|
|
||||
3389. |
idL= JL-*=l; |
2х- у+ 3z- 5 = 0; |
= = |
|
3x+3y -z -2 = 0; |
||||||
*|L = JL = J£=1; 8х-11у-9г + 1 = 0. |
|
|
|
|
|
||||||
3390. |
J=L = J !i= «d.; |
x-у = 0; |
£ 1 = £ > =с!.; |
> .l; |
|
||||||
х + у- 2 = 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3391. |
|
= iL-Уу ? = д=1; |
V2x-V2y +42 =4; |
|
= |
Ь |
|||||
V2x + 3V2y + z -5 = 0, |
|
|
|
|
- I3x +3y +i& z +^2 = 0. |
||||||
3392. |
i£l e i£LI = £ ; |
2x + Зу + 6г = 37; |
|
= |
= |
6x+ 2y-32 = 20; |
|||||
= ^ = |
3x-6y + 2z,= -81. |
|
|
|
|
|
|
||||
3393. |
Для |
любой точки |
линии |
уравнение |
соприкасающейся плоскости |
||||||
Зх- 2у-11 = 0, т. е. линия целикомлежит в этой плоскости. |
|
||||||||||
4 0 4 |
|
|
|
|
|
|
|
ОТВЕТЫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3394. |
Соприкасающаяся плоскость одна и та же для всех точек линии. Ее |
|||||||||||||
уравнение |
|
|
|
|
|
|
|
|
г |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
х |
у |
|
г |
а, |
а2 |
а8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
о, |
а2 |
|
аз = |
Ь, |
62 |
Ь3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
ь, |
ь2 |
|
ь3 |
Cl |
с2 |
с8 |
|
|
|
3395. |
ch2t/eh«. |
3393. B = ^cos«2(. |
3398. к - |
1(»У-»'»')2*У'а« ' 2 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
3399. |
|
3 ,= ^ , |
|
|
|
|
3400. т, —v,хрл; |
v,=M«ii 8,-t.xv,. |
||||||
3401. Искомый вектор (0 (если он существует) можно представить в виде |
||||||||||||||
|
|
|
|
m = (ciyt1)T1 + ((OV1)v1 + ((oPI)P1. |
|
(1) |
||||||||
Из условия задачи следует (принимая во внимание формулы Френе), что |
||||||||||||||
|
|
©хт, = AVj, |
©хv, = -Лт, +Т0„ ©xPj = -Гу,. |
|
(2) |
|||||||||
Умножая эти равенства скалярно на Vi, |
0,, |
Х\ соответственно, |
найдем, что |
|||||||||||
(их, = Г, |
wv, = 0, |
(00, = k и, следовательно, ш=Гг, +лр1. Подстановка в форму |
||||||||||||
лы (2) показывает, что этот вектор удовлетворяет условию задачи. |
|
|
||||||||||||
3402. |
99 + In10 «=101,43. 3403. aln(l+>/£) = elntg^. 3404. V3(e‘ -l). |
3405. 5. |
||||||||||||
3406.4a. 3407. zfi. 3408. а\ п ф ^ . 3409. Wl + llns). |
|
|
||||||||||||
3410. |
8x8y- 2 = 4; |
£ f.= »± =£=L. |
3411. |
x + y - z - 1 = 0; |
= |
= |
||||||||
3412. 2+ a = 0, x = a, |
y = a. 3413. 17*+ lly+ 52= 60; i £ = JgL= .2±I |
|||||||||||||
3414. x - y +2z- f |
=0; |
^ |
= £ ± = il££ |
|
|
|
|
|
||||||
3415. f + |
+ t = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3416. x + lly + 52-18 = 0; |
|
= |
|
= |
|
|
|
|
|
|
||||
3417. 3x2y- 2z+1 = 0; |
|
= |
|
= |
|
|
|
|
|
|
||||
3418. 2x+ у+ 11г - 25 = 0; |
^1 = 1^ = ^ .. |
|
|
|
|
|
||||||||
3419. бх+4у + г-28 = 0; |
^ |
= |
|
= |
|
|
|
|
|
|
||||
3421. x - у + 2z = |
и х -у + 2г = -^ Г . |
3422. x + у + z = Vo2 + 62 + c2 . |
||||||||||||
3424. Все плоскости проходят через начало координат. |
|
|
||||||||||||
3425. x0x + y0y + z0z = a2; |
JL-= JL= ^-. |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
*0 |
IrO |
*0 |
|
|
|
|
|
|
|
3426. |
a2 |
= 2(z + zn): |
a(- - |
o) - |
ayo |
-2ab |
|
|
|
|||||
|
ft2 |
4 |
0 / |
|
b*o |
|
|
|
|
|
||||
3428. |-al . 3430. 2x + у- z = 2. |
3434. 4x - 2y - 3z = 3. |
|
|
|||||||||||
3435. |
Параллельна плоскости хОу в точках (0,3, 3) и (о, 3, -7); |
параллельна |
||||||||||||
плоскости уОг в точках (б, 3, -2) |
и (-5, 3, - 2); параллельна плоскости хОг в |
|||||||||||||
точках (0 ,-2 ,-2 ) |
и (о,8,-2). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
ОТВЕТЫ |
4 0 5 |
|
3436. a) 6u0v0x - 3 (и0+ о0)у +2z + (и0 + v0)(u2- 4u0v0+ и2)= 0; б) з{х1 - у0)х- 3x0(i/ + у0) + 2z+4г0 = 0.
3437. 2г[хг + у2+ г2)+j>{x2+ у2) = 0. 3438. (*2 +у2+г2)3 = 27а3хуг.
3430. 1) {-2,1}; 2) jlOxy- 3у3, 5х2 - 9ху2+4у3}.
3440.1) 6i - 4/; 2) Ш +j); 3)
|
|
8 |
|
*S+»o |
|
|
|
3441.1) tg(p = 0,342, ф = 18°52'; |
2) tg(p*4,87, |
ф = 78°24'. |
|
||||
3442. Отрицательная полуось у. |
|
|
|
|
|||
3443.1) сова » 0,99, а = 8°; 2) сова»-0199, |
а = 10Г30'. |
|
|||||
3444. |
1) |
(-1/3,3/4), |
(7/3,-3/4); 2) точки, |
лежащие на окружности |
|||
X2 +у2 = 2/3. 3447. 1) |
{а*0ЧЧ.2*Я*о.*г»г}; |
2) Г ^ * * |
- А . та» г - |
||||
|
|
|
1 |
|
J |
7*2+у2+г2 |
И |
радиус-вектор. 3450. 1) 2г; 2) 2j^-; 3) 2F'(r2)r; 4) a(br)+b(ar); |
5) ахЬ. |
||||||
3451.1) |
0; 2) л/2/2; 3) -^б; |
4) (сова + sinа)/2. 3452. V2/3. |
|
||||
3453. |
1/2. |
3455. 1) 5; 2) 98/13. |
3456. -22. 3459. 1/г2. |
|
|||
|
|
К г л а в е |
XII |
3460. |
M = jjy(x,y)da. 3461. Е = jjx(x,y)da. |
3462. Т = ^ 2jjy2y{x,y)d^ |
|
|
D |
o |
D |
3463. |
Q = (t2 - tjjJ c(x, y)y (r, y)</a 3464. M = JJJY(*, У,z)dv. |
||
|
D |
|
a |
3465. |
E = JJJS(x,y,z)dv. |
3466. 8n(б- -Я)< / < 8л(б+ ^2). |
|
|
Q |
|
|
3467. Звя < I < 100л. 3468. 2 < I < 8. 3469. -8 < / < 2/3. 3470. О < / < 64. 3471. 4 < /< 36 . 3472. 4 < / <в(5-2>/2). 3473. 4я < / < 22л. 3474. 0< /< ±я Я 5. 3475. 24 </<72.
3476. 28лл/з < / < б2п-Уз. 3477.1.3478. (e -l)2. 3479. я/12.
3480. 1пА 3481. 1п^ 4 . 3482. я -2 . 3483.2.3484. -я/16. 3 i+Va
4 0 8 |
|
О ТВЕТЫ |
|
|
|
|
|
|
|
3552. |
па/2 |
3553. 8а2/9. 3554. 4яЯ5Д5. 3555. л/8. 3556. 4я(я5- г 6)/15. |
||
3557. |
2я/3. 3558. n[W Io+ln-^|^-V2-в]. 3559. 18б|. |
3560. т ( 'Т +'7')- |
||
3561. |
аЬс/6. |
3562. 12. 3563. 1/6. 3564. 78-Ц. 3565. |
f-Ve. 3566. 16. |
|
3567. 45. 3568. 13|. 3569. 1б£. 3570. аг2(^--|). 3571. 22я. 3572. 1S.R \ |
||||
3573. 12—. 3574. JBL. 3575. 27. 3576. 3/8. 3577. 88/105. 3578. а&с/З. |
||||
|
21 |
1бв2 |
|
|
3579. |
яа3/4. |
3580. 2^е2--Ц ±^ . 3581. |
Зе-8. 3582*. 4е-е2 -1 . Тело сим- |
|
метрично относительно плоскости у - х. |
3583. 2(я2 -3 5 /э). |
3584. 1/45. |
||
3585. 16/9. 3586. я/4. 3587. 40л. 3588. 2я. 3589. 5лЯ3/2. 3590. Зла3/2.
3591. 3592. а8/24. 3593. + 3594. f ( f - l ) . 3595. ял/2/24.
3596. я2Д2Л/16. 3597. 1/2. 3598. 2. 3599. nab. 3600. аЪ/6. 3601. 16/3.
3602*. |
5ла2/8. |
Перейти к полярным координатам. |
3603. |
Зл/4. |
3604. 2а2. |
|||||
3605. 2/3. 3606. 1/60. 3607. 1/1260. 3608*. 1) ^ 1 - |
2) |
25 |
Воспользоваться |
|||||||
|
|
|
|
2с2 |
|
|
|
|
|
|
результатом задачи 3541. 3609. 8. 3610. 7/12. 3611. |
3/35. 3612. 4 -(4-31пЗ). |
|||||||||
3613*. я/2. Проекция тела на плоскость Оху есть круг. 3614. |
я/8. Перенести |
|||||||||
начало координат в точку (1/2, 1/2, 0). 3615*. |
19л/6 |
и |
15л/2. |
Перейти к |
||||||
цилиндрическим координатам. 3616. 5яЯ3/12. |
3617. л/96. |
3618. |
92яЯ3/75. |
|||||||
3619*. |
яаэ/3. |
Перейти к сферическим координатам. |
3620. |
а8/360. |
3621. |
|||||
Апа3/12. 3622. 4яаэ/3. 3623. 64яа®/105. 3624. я2а8/6. |
3625. |
21(2- V2)я/ 4. |
||||||||
3626. |
|
14. 3627. 36. 3628. 8л. 3629. 2^2пр2. 3630*. 2лЯ2. Проектировать |
||||||||
поверхность на плоскость Oyz. 3631. zjbab. 3632. ^-(^6 - lj. |
|
|
|
|||||||
3633. |
f j ( i + * 2)8/2-:iJ. 3634. f-(>/8-l). 3635. 4яa^a-Va2-Л 2 j. |
|
||||||||
3636. |
2Д2(я-2). |
3637. 2Д2(я+4-4>/2). |
|
|
|
|
|
|
|
|
3638. |
||з^2- ^ |
- - ^ 1п2+ >/21п(л/з+-У2)}. 3639. 2a2/sin2a |
|
|
|
|
||||
3640*. |
^ -(V 3 -V i]= 3,42-10е км2. Перейти |
к сферическим координатам. |
||||||||
3641. |
16яа2/3. 3642. 8Я2. 3643. аб2/ 2. 3644. 2Я3/а |
3645. хЯ3. 3646. |
9а3/4. |
|||||||
3647. Статический момент равен ah2/ 6. 3648. Центр масс лежит на малой оси на расстоянии от большой оси (Ъ- малая полуось).
3649. £ = (l - j) (4/2+1), Л= ” l)(2 + V2). 3650. Центр масс лежит на бис-
л «in?
сектрисе угла а на расстоянии у Я -~ от центра круга. 3651. Центр масс
л «to8?-
лежит на биссектрисе угла а на расстоянии уЯ —-^а от центра круга. 3652. £ =3л/1в, л = о. 3653. 5лR*/4. 3654. 2а*/3. 3655. паь(аг+Ь2)/4
4 1 0 |
|
ОТВЕТЫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
дится. 3714. Сходится. 3715. Расходится. 3716. Нет. 3717. 8/15. 3718. я/16. |
|||||
3719*. |
; воспользоваться интегралом Пуассона Jе~*2dx = Vn/2. |
|
|||
|
|
|
о |
|
|
3720. |
Расходится. 3721. Сходится. 3722. Расходится. |
3723. ■|яЯ8(1пД - i) . |
|||
3724*. я. (См. указание к задаче 3719.) 3725. я/4. 3726. л/я/2. |
|
||||
3727. |
2nkm^R + Н - V-R2 + Я2 j . Сила направлена по оси цилиндра, |
k - гра |
|||
витационная постоянная. 3728. |
{l-Н), |
где I - |
образующая |
конуса. |
|
Сила |
направлена по оси конуса. 3729. а) |
а = 4уе-3у0. Ь = ^(уе- Yo); |
|||
б) —nkRic = ШШ-. 3730. Определена всюду, кроме х = 0. 3731. Зя. |
|
||||
3 |
R2 |
|
|
|
|
3733- ^ t e ^ + « 8rctg4 |
3734- |
|
("> !)• 3735- |
||
|
л(в2+62) |
|
|
|
|
|
|
|
|
3736*. -Р --д'. Продифференцировать по а и по 6 и результаты сложить. |
|||||||||
|
4И1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3737. 1п(1+ в). 3738. |
|ln(l +a). |
3739. Jln^a + Vl + a*j. |
|
|
|||||
3740. n^Vl-a2 - l j . |
3741. |
-|ln(l +a), если a>0; |
-yln (l-a), |
если a<0. |
|||||
3742. яIn |
|
. 3743. narcsina. |
3744. лarcsin a. 3745. */па. |
|
|||||
3746*. V5i(Vft -Va). Дифференцировать no a или no ft. |
|
|
|||||||
3747*. arctgi-arctg^ = arctg |
Дифференцировать no ft или no c. |
||||||||
3748. iln 4 i4 . |
3749*. nln*±t. Дифференцировать по а или no ft. |
||||||||
z |
a2+cz |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
я / 2 |
|
|
3750. -jln(l +a), если a>0; |
-&in(l-a), если a<0; |
J |
= |
ln2. |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
3751*. |
|
Интегрировать по параметру л в пределах от а до р. |
|
||||||
3752. V^ft-a). 3753. |
|
|
3755. iin f. |
3756. JLini |
|||||
3757*. I |
= lim 7 f M - f { b x ) d x |
= lim |
|
|
|
||||
|
е-»0 |
J |
* |
|
е-*0 |
|
|
|
|
|
|
- * |
|
|
|
|
|
|
|
ниваем последний интеграл, заменяя f[x) ее наибольшим и наименьшим зна
чениями в интервале (ас, Ье), |
и переходим к пределу. |
|
|||
3758. 1п^. 3759. |
lni 3760. |
iln l^ l. |
3761. aMni . 3762*. |
3in3. Представ- |
|
a |
a |
" I |
I |
a |
4 |
ляя sin8 x в виде разности синусов кратных дуг, сводим задачу к предыдущей (при соответствующем выборе а и ft). 3763*. Для доказательства можно ис пользовать два метода: 1) интегрирование по частям; 2) изменение порядка интегрирования в двойном интеграле, получающемся после подстановки инте-