книги / Сборник задач по курсу математического анализа
..pdf
3 8 4 |
|
|
|
|
ОТВЕТЫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
•2283. я/32. 2284. |
|
n^jL. 2285. 8/15. 2286. Лз-я/3. |
|
||||||
2287. |
+ |
2288. Зя/16. 2289. я/16.2290. ^ + 1п(2-л/з). |
|||||||
2291. я/4. 2292. л/з/24. 2293. я/3. |
2294. |
arctg|. 2295. V6/27 + ял/2/48. |
|||||||
2296. 20/9. |
2297. 21п| = 0,365. 2298. |
2/я; |
1/2. 2299. 2+ 1п-^-. |
||||||
|
|
|
5 |
|
|
|
|
е“+1 |
|
2300. При а - е. 2301. i-ln|. 2302. 2/45. |
2303. 81n3-151n2 +^ . |
||||||||
2304. |
_|_(5 + 7^/125). 2305. |
я/6. |
2306. |
а2]^2 - ln(V2 +1)]. |
|
||||
2307. |
|
+ |
2308. 848/105. |
2309. 4 -я . 2310. 1п^ | ^ . |
|||||
2311. |
i - i |
2312. -^arctg-^. 2313. j j i . |
2314. *1-Зя2 +24. |
|
|||||
2315. MJL-2V3. 2316. l i — |
2317. _L_inU|. 2319. х = 2. |
2320. x = ln4. |
|||||||
|
3 |
|
27 |
eVfl |
|
в2-Ь2 |
I b I |
|
|
2322*. Использовать соотношения 4 -x 2> 4 - x2- x 8>4-2x2, |
справедливые |
||||||||
при 0 < х < 1. 2323*. Воспользоваться неравенствами -Jl - х2 < Jl - х2п < 1, где
-1<х<1 и л > 1. 2324. 1,098</< 1,110. 2325*. Воспользоваться для оценки |
||
снизу неравенством 1 +х4 < (l+х2)2, |
а для оценки сверху - |
неравенством Ко- |
ши-Буняковского. 2326. /(l) = 1,66 |
- наибольшее значение, |
/(-1/2) = -0,11 - |
наименьшее значение. 2327. Минимум при х = 1 (у = -17/22), точки перегиба |
||
(2, -4/3) и (4/3, -112/81). 2332*. а) Заменить переменную интегрирования по формуле t = -x, разбить отрезок [-а, - *] на два отрезка: [-а, а] и [а,-х], и
учесть, |
что интеграл от нечетной функции на отрезке [-а, а] равен нулю, |
|||
б) Нет, если а * 0; да, если а= 0. 2333*. Положить t = l/z. 2338. Каждый из |
||||
интегралов равен я/4. |
2339*. Положить х = п -г . Интеграл равен |
я2/4. |
||
2340*. Разбить отрезок [а.а +Г] на отрезки [а,0], |
[о,Т\ и [7\ а+ 71], |
затем, |
||
пользуясь свойством f(x)=f(x +T), показать, что ) f(*)dx= J f{x)dx. |
|
|||
2341*. |
Требуемое для |
о |
т |
|
доказательства равенство |
эквивалентно равенству |
|||
*+г |
|
|
|
|
J f (z)dz = 0. Убедиться, что интеграл в левой части этого равенства не зави
сит от х, |
и затем положить х |
= -у . 2342. |
1^ а'Д2Т*1У 2343* Подстановка |
|
* = tg(*/2) |
незаконна, потому, |
что функция |
tg(x/2) при х = п |
разрывна. |
2344*. Для оценки /„ использовать, что 1пубывает при увеличении п. |
||||
2345*. Заменить переменную интегрирования по формуле 2 = |
- и учесть |
|||
свойство интеграла от четной функции. 2346*. Заменить переменную интегри рования по формуле г = Лш2х2 и применить затем правило Лопиталя. 2347. По правилу прямоугольников я = 2,904 (с недостатком) и я в 3,305 (с избытком). По формуле трапеций я = 3,104. По формуле Симпсона я = 3,127. 2348. По правилу прямоугольников я = 3,04 (с недостатком) и я = 3,24 (с избытком).
3 8 6 |
ОТВЕТЫ |
|
2449*. Полагая у = f - z, приводим <р(дг) к виду <р(х)= J lnsinzdz. В соот-
К/2
ветствии с формулой sinz = 2sinf cosy разбиваем интеграл на три, из которых один находим непосредственно. Два других интеграла при помощи замены переменной сводятся к интегралам тица первоначального; ср(|)= -|1п2.
2450. - у In2. 2451. --у-In2. 2452*. f In2. Интегрировать почастям. 2453*. fin 2. Заменой переменной сводится к предыдущей задаче. 2454. -fin 2.
К г л а в е VIII
2455. 16/3. 2456. 9/4. 2457. 16р2/3. 2458. 1/3. 2459. f -л/б. 2460. 2\.
2461. 2я +± и бя- f . 2462. |-(4я+л/з) и |-(8я-Уз).
2464. J& -flM n ^ = b|tf-aln^eWez-lJ], где £- эксцентриситет.
2465. |
a2[j~4ln(V3+V2)]; a2| |
f |
+ У2)] и a2[ f +&]n{& + Щ . |
||
2466. |
Sj = S8 =я-^1пЗ-2агс8Ш^| = 0,46; S2 = 2(n-S1). 2467. я/2-1/3. |
||||
2468. |
1/12. |
2469. 1/12. |
2470. |
|g=j|; .4|“ |
|, если т и п оба четны; 2|^f|, |
если т и п |
оба нечетны; |
|~f|, |
если т ип разной четности. 2471. а) 3/14; |
||
б) 73у. 2472. 1 (фигура состоит из двух частей, площади которых равны меж
ду собой). 2473. 8/15. 2474. Зя/4. |
2475. 4/3. |
2476. |
яа2/8. |
|
|||||
2477. |
8^1 +АУз-arctg^l +fVaj. |
2478. е +1/е-2. |
2479.4. |
|
|||||
2480. |
з(е8-4)/е. 2481. 18/е2-2 . |
2482. a) ft(ln6-l)-a(lna-l); |
б) Ь-а. |
||||||
2483. |
3-е. 2484. з^2 in2-2in2.2 |
2485. 2 - ^ 2 . |
2486. 1 |
+ Ы& |
2487. З-Л. |
||||
|
|
18 |
|
|
|
|
3 |
2 |
3 |
2488. |
V2-1. 2489. я/4. 2490. Зяа2. 2491. Зяа2/8. 2492. бяа2. |
|
|||||||
2493. |
1) |
.sfiL(rt +l)(n +2); 2) ^ -(п -1)(л-2). |
2494. 1) ^ /З ; 2) |
8/15. |
|||||
2495. |
1) |
4я8а2/3; 2) 7ба2я8/3. 2496. яа2/4. |
2497. яа2/4. |
2498. |
18яа2. |
||||
2499. |
а2(4-я)/8. 2500. 37я/6-бУз. 2501. |
51^3/16. 2502. а2. |
|
||||||
2505*. a2■6n+i®^2,, Для построения линии следует рассматривать изменение <р от 0 до Зя. 2506. я/4. 2507. а2. 2508. a2(l+я/0-Уз/2). 2509. |(а2+62). 2510. о2. 2511. я/л/2. 2512. я. 2513. 2. 2514. Зяа2. 2515. 4л. 2516*. 1) Уя/2; 2) Уя. Воспользоваться тем, что je'^dx = Уя/2 (интеграл Пуассона).
|
|
ОТВЕТЫ |
|
|
3 8 7 |
2517. |
па2/2. 2518. 2 -я/2 |
и 2+ я/2. 2519. aflh£. |
2520. |
|
„ и . 1+il„f .2522. ln3. i |
2528. |
2524- |
2525. 4|i 2520. 4a-Ja |
2527. f+ 21ntg-f-= |- + 21n(V2+l). 2528. i + i] n3. 2529.2. 2530.8.
2531. При t = 2я/3 |
[x= а(2я/3- Vsf/2), у = За/2]. |
|
|
|
|
|
||
2532. При t = я/6 |
(г = 3^5д/ 8, у = Д/в). |
|
|
|
|
|
||
2533*. 4-a. t y . . . Положить х = acos3f, |
у = bsin3*. |
|
|
|
|
|||
2534. 5a[l +-^ rln(2+V3)]. 2535. aln£. |
2536. л2Д/2. |
2537. я3/а |
2538. 4т/з. |
|||||
2541. 2(e‘ -l). 2543. naJT+ 4я2~+f 1п^2я+Vl +4я2J. 2545. lnf + -^. |
|
|||||||
2546. 8a. 2547. |-яа. |
2549. ft должно иметь вид |
|
или “ |
зр где N - |
||||
целое число. 2550. 4. 2551. iniL |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
щ 2 . |
|
|
|
|
|
|
2554*. Доказать, что длина эллипса может быть записана в виде |
|
|
||||||
п/4 |
_____________ ________________ |
|
|
|||||
L = 4 J ^Va2cos2* +ft2sin2f +Va2sin2 f+62cos2 tjdt, |
|
|
||||||
и применить теорему об оценке интеграла. |
|
|
|
|
|
|||
2555. 2я. 2556. 1) fnab2; 2) |-яа2б. 2557. ^-яй2а. |
2558. -S|i(3a+ ft). |
|
||||||
2559. f(e2-l). 2560. |
- g2° |
+2(ft - a)j. |
2561. Зл/НХ |
|
|
|||
2562. f(l5-161n2). |
2563. 7i^£--2j. 25в4, 8я/а |
2565# 2я2- |
|
|
||||
2566. s![V21n(l + V2)-f]. 2567. 1) f па9; 2) .si |
2568. 5nV. |
|
|
|||||
2569. |
2570. ^-ла3. 2571. JSssl. 2572. |
2573. те/2. |
|
|||||
2574*. 1) я; 2) |
|
См. указание к задаче 2516. 2575*. 3я^2л/32 |
См. |
|||||
указание к задаче 2516. 2576*. л2. Воспользоваться тем, что |
J |
=£ |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
о |
|
(интеграл Дирихле). 2577*. 2я2а3. Целесообразно перейти к параметрическому
заданию, положив x = 2aein2f, у = |
2578. -|ла3. 2579*. |
При |
||
менить формулу V = |
где £(х) - площадь поперечного сечения. |
|||
2580. |
1) п</2 ; 2) 36л. 2581. о, = лЛфл/б- 11/з), оа = Лл/2^>/б + 11/з). |
|||
2582. |
Vl =ия=4я(^6 +V3-4), и2 = 8я|4- Vij. 2583. 8лТб/3. 2584. 8л. |
|||
2585*. —R2H = 400 |
см3. Принять за ось абсцисс ось симметрии основания. |
|||
2586. |
j^ahH = 128 см8. 2587. f обЯ = 133£ см3. 2588*. |лД2Я. |
Площадь |
||
3 8 8 |
|
ОТВЕТЫ |
|
|
|
симметричного параболического сегмента равна f ah, |
где а - |
основание сег |
|||
мента, а А - «стрелка». 2589*. |
+f) и |
- f j . |
(См. указание к зада |
||
че 2588.) 2590. 8а8/а |
2591. 8 я г 8 /3 . 2592. 12 R3. 2593. |
2594. ^-па2. |
|||
2595. |
2596. |
^ { е г - е~2+4). |
2597. |
2яЬ2 +^-arcsine и |
|
2яа2 +'2|~1п|±“, где е |
- эксцентриситет эллипса. 2598. 2я[-\/2 +ln(l +л/2)]. |
||||
2599. n[V5-V2+ln-2j^].2600. Зла2. 2601. яа2^ |
- 2 6 0 2 . |
_ 2). |
|||
2603. ^яа2. 2604. 8яа2(я-|). 2605. f -яа2. 2606. 4я2г2. 2607. 2na2{2 -fi).
2608. я[>/2+ln(l +V2)]. 2609. 4яа2. 2610. ah2/ 2. 2611. а3/в, а3/в,
a2J2/12. 2613. Центр масс лежит на оси симметрии сегмента на расстоянии
fA от основания. 2614. Для 5,:$ = fa, n = f&; Ддя S2:4= -^a, n = f Ь 2615. £ = 0, л = 2г/я. 2616. 5= 0, л = 4г/3я. 2617. Центр масс лежит на биссек-
eln£
трисе центрального угла, стягивающего дугу, на расстоянии 2 г -~ от центра.
2618. Ъ= а/5, т\= а/5. 2619. $ = 4а/(3я)’ л = 4Ь/(Зл) 2620. 2L+ffarcsine, где
Е - эксцентриситет эллипса. 2621. £ = я/2, л= я/8. |
2622. я/2 + 4/5. |
||||
2623. я/12+Тз/а 2624. 3/20. 2625. ^=5а/8, |
л=0. |
2626. £=0, |
т]=а^ М Ы-. |
||
2628. \ = па, л = 4а/3. |
2629. £= яа, |
л = 5а/6. |
2630. %= 2а/Ь, |
л = 2а/5. |
|
2631. $=256а/(315я), |
л=25ба/(315я). |
2633. $ = 6а(4-я2)/я3, л = 2а(лв - б)/я2. |
|||
2634. Центр масс лежит на оси симметрии сектора на расстоянии f £.rin.g от
центра круга. 2635. £ = 5а/б, ц = 0. |
2636. £ = л/2яа/8, |
л= 0. |
|
|
|||||
2638. |
Е = --*27£^*17 Г . |
|
|
2639. ? = 4а/5, |
Ч = 4а/5. |
2640. |
ЗЯ/8. |
||
2641. Центр масс находится на оси симметрии на расстоянии R/2 от центра. |
|||||||||
2642. Я /3, |
|
Lrr, Я /4 2643. А/3. 2644. -Ца2 + аЬ+Ь2). |
|
|
|||||
|
|
8|Д+Уя2+Л2| |
6V |
/ |
|
|
|||
2645. M i = |
|
(М - масса полуокружности). 2646. -^1+^8~2^ . |
|
||||||
2647. /х= ^ а 2; |
= 16а8(я2 - ^ ) . |
2648. а&8/а |
|
|
|
||||
2649.1) ah3/12; 2) аА8/4; 3) аА8/36. 2650. яД4/& 2651. яЛ4/2. |
|
||||||||
2652. |
nab3/4 |
и яАа8/4 |
2653. яД4Я/2. 2654. яД4Я/10. 2655. 8яй5/15. |
||||||
2656. |
8ла&4/15, где 2а - |
величина оси, вокруг которой происходит вращение. |
|||||||
2657. |
яЛ4Я/б. 2658. 56я/15. 2659.1) J, = я(е4 -l)/8; |
2) 1„ = 4я(3-е). |
|||||||
2660. |
МЛ2, |
где М - |
масса боковой поверхности цилиндра. |
2661. |
МЛ2/ 2. |
||||
2662. |
2МЛ2 /3. 2663. |
9па3/2. 2664. |
6я2а&2. 2665. Объем 3^2я2а8/8, |
поверх |
|||||
ность бл/2яа2. 2666. Объем 12я8а8, |
поверхность 32я2а2. 2667. Ось вращения |
||||||||
ОТВЕТЫ |
3 8 9 |
должна быть перпендикулярна к диагонали квадрата; ось вращения должна быть перпендикулярна к медиане. 2688. = 23,7 м.
2669. |
хг = хх+ зт(-^2- + Фоj |
+<p0j . |
2e70- |
|
2в71- |
2672. |
kmMa/ ^J?2 + a2J = kmMсое2 (p / о2, где ф - угол между прямыми, |
|
соединяющими точку С с центром кольца и с любой из точек кольца; kmM/R.
2673. |
2674. 2яАото. |
2675*. 2 я Ы у |
Л ^ 1 = |
= 2яАтуЛ(1-соаа), |
где а - угол между образующей конуса и его осью. Вос |
||
пользоваться решением задачи 2673. 2676. |
2кту. 2678*. J^-ln—. Сначала |
||
|
|
/2 |
3 |
подсчитать силу взаимодействия элемента ds первого стержня со вторым стержнем (воспользоваться результатом задачи 2670), а затем найти всю силу
взаимодействия. 2679. g2M9/(pm2). 2680. —**d-[R2+2Дг+3r2j.
2681. = 1,63 1012 Дж. 2682. 3,6325 10е Дж. 2693. ngdR2H2/ 12, ngdR2H2/ 4. Величина работы в ответах к задачам 2683-2686 получится в джоулях, если брать расстояние в метрах, а плотность - в кг/м3. 2684. ngdR4/4 =1018 Дж.
2685. ngdR2H2/6 = 2,68 10® Дж. 2686. ±gdabH2= 2,4 108 Дж.
2687. S /V Y/6 =4,2 Дж. 2688. abadym2/6 = 11,6 Дж. 2689. аЛ8Жй2у/24=0,5 Дж.
2690. |
Ла8Ао2у/60 = |
0,15 Дж. 2691. яД4Яй)2у/4. 2692. MR2!rV/3600; |
МД2(Зя-8>т2/360й |
2693. а) аЛ2/6; б) в два раза. 2694. а^2/2. |
|
2695. |
2,22.10® Н. 2696. \gda2b. 2697. abgd[h+|sina). |
|
2699. а) gd2H2S/2 = 320 Дж; б) ^ 5 Я 2(1 - <*)2 = 20 Дж. 2700. jgnR*. 2701. а 0,206 см2. 2702. а) в 33,2 с; б) * 64,6 с. 2703. »1 час 6 мин 53 с. 2704. ^ E ( 2 ,/2 - l) .
2705. |
+й)8/2 - Я 8/2]; при Я = 0: ^ L h m |
, где S - пло |
|
щадь щели. 2706. а) = 2,4 с; б) =>6,3 с; в) = 53 с; г) при f |
|
||
2707. |
= 34 Дж. 2708. 1) а) * 71,6 Дж; б) = 166 Дж; в) =238 Дж; 2) при неог |
||
раниченном расширении газа работа неограниченно увеличивается. |
|||
2709. |
1.6 104 Дж. 2710. =82 мин. 2711. Немного больше 5°. 2712. —2—. |
||
2713. а) 4 •10"® Дж; б) в•10'® Дж. 2714. б см. 2715. = 946 Кл. |
|||
2716. |
= 1092 Кл. 2717. =5110 Кл. 2718. Е0 /2 . Эффективное напряжение |
||
переменного тока равно E0/-j2. 2719. Щ&.Тcos<p0. 2720. = 7 мин. |
|||
2721. |
=2,915 л. 2722. а) я , |
= Я fna~!n-f = 15 см; б) =0,125%. |
2723. 1/1024 от |
|
1 |
1пв_ Ш0 |
|
первоначального количества. 2724. = 2,49 г. 2725. 8/9 г. 2726. = 37,3 мин.
390 |
|
|
|
|
|
ОТВЕТЫ |
|
|
|
|
|
|
|
К г л а в е |
IX |
|
|
||
2727*. Sn= 1 --* -, S = 1. Представить каждый член ряда в виде суммы |
|||||||||
двух слагаемых. 2728. Sn=£(l - ^ |
) , S = \ •2729- ^ = i ( 1-3^r)- * =f |
||||||||
|
- 3 ^ 1 +2+ g |
n+1 |
n+2 |
n+s J, о |
i e . |
|
|
||
2730. S= l f i +l |
l — 1-------1-L_\ |
|
S = Ii |
|
|
|
|||
2731. S |
- i f i + i +l __ 1------- L---------1—) S = Ц-. |
|
|
||||||
° n |
e r |
3 |
5 2п+1 |
2п+3 |
|
2n + 6/ |
9 0 ' |
|
|
2732. s |
= 4 T -7— S7— rl |
$ = 7- 2733‘ |
= 1+ | --V — |
S = j |
|||||
" |
2 [ 2 |
(n+l)(n+2) J |
^ |
|
» |
2 |
2n 2-3" |
2 |
|
2734. S |
=1-----L_ |
S = 1. |
2735. S „= i 1------1— |
L^S = |. |
|
||||
|
(п+i)2 |
|
|
|
BL |
(2я+1) |
J |
|
|
2736. Sn= arctg-^Y» S = j . 2737. Сходится. 2738. Сходится. 2739. Расходится.
2740. Сходится. 2741. Расходится. 2742. Расходится. 2743. Сходится.
2744. Расходится. 2745. Расходится. 2746. Сходится. 2747. Сходится.
2748. Расходится. 2749. Сходится. 2750. Расходится. 2751. Сходится.
2752. Сходится. 2753. Расходится. 2767. Сходится. 2768. Расходится.
2769. Сходится. 2770. Сходится. 2771. Сходится. 2772. Расходится.
2773. Расходится. 2774. Сходится. 2775. Расходится. 2776. Расходится.
2777. Расходится. 2778. Сходится. 2779. Сходится. 2780. Расходится. 2781. Сходится. 2782. Расходится. 2783. Сходится. 2784*. Расходится. Вос пользоваться формулой
ein-^-aein^a
8ina+sin2a+...+sinAa ---- -—, einf
или неравенством sinx > 2х/я, если 0 < х < я/2
2790. Сходится, но не абсолютно. 2791. Сходится абсолютно. 2792. Сходится, но не абсолютно. 2793. Сходится'абсолютно. 2794. Сходится абсолютно.
2795. Расходится. 2796. Сходится, но не абсолютно. 2797. Сходится абсолютно. 2798. Сходится, но не абсолютно. 2799. Расходится. 2802. -1 < х < 1.
2803. i< * < e . 2804. -1<х<1. 2805. -1<х<1. 2806. -1£х<1.
2807. х<-1 и х>1. 2808. -1<х<1. 2809. -1<х<1. 2810. х ф ± 1.
2811. При любом х. 2812. -2 < х < 2. 2813. При любом х. 2814. х > 0.
2815. ж > 0. 2816. х > 0. 2822. 11 членов. 2823*. Воспользоваться неравенст вом In (l + a) £ а. 2825. /(О) = 1/9; /(я/2) = -1/101; /(я/3) = 44/1001;
/(l) = 0,049; /(-0,2) |
= 0,108. 2827. linl±i_±arctgx. 2828. larctgx + J ln ^ . |
|||
2829. (x + l)ln(x + l ) - x . 2830. |
1/2 |
2831.0,2. 2832*. ln-|. Использовать соот |
||
ношение cos—cos-т-••«»— ...= |
2833*. я8/12 Воспользоваться формулой |
|||
2 |
4 |
2 " |
* |
|
£JL=4- 2834.1) |
j(ln2+*“ |
); 2) |
^=-[ln(l +V2)+f]. 2835. In2. 2836. |
|
2837. Дяиттый ряд нельзя почленно дифференцировать ни в каком интервале. Действительно, общий член ряда производных имеет вид ясов^ях). Сколь бы мал ни был интервал (а, р) и где бы на числовой оСи он ни лежал, всегда
внутри него найдутся числа вида к/ 2N, где к - целое, а N - достаточно боль-