книги / Сборник задач по курсу математического анализа
..pdf3 2 2 |
ГЛ. XIV. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ |
|
§ 5. Системы дифференциальных уравнений
4324.1. |
— = V -7 , |
4324.2. |
% = 2 x + y, |
|||||||
dt |
y |
* |
|
|
|
|||||
|
% + 2x + 5y = Q. |
|
|
|
f |
= 3* + 4У- |
||||
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
f |
= * S y , |
|
|
|
f |
= * - y |
+ z, |
||
|
|
|
|
dy |
|
|
||||
4324.3. < |
|
|
4324.4. |
|
|
|||||
|
|
-£ = * + y - * ’ |
||||||||
|
\% = 3* + y. |
|
|
|
|
|
|
|||
|
% = x - 2 y - z , |
|
|
|
' § = 3 x - y + z, |
|||||
4324.5. |
dy |
|
+ y + Z, |
4324.6. |
dy |
|
|
|||
-£ = - X |
-£ = x + y + z, |
|||||||||
|
d z = x - z |
|
|
|
|
= 4 x - у + 4z |
||||
|
dt |
X |
Z' |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(корни |
характеристического урав- |
|||||
|
|
|
|
нения |
= 1, |
r 2= 2 , |
|
|||
|
% |
= 2 x + y, |
|
|
|
dx _ |
|
|||
4324.7. |
$ f = x + 3y - z , |
|
|
|
|
|||||
|
4325. |
J * |
|
|
||||||
|
f |
= 2y + 3 z -x |
|
|
|
.dt |
|
|
||
(корни характеристического |
|
|
|
|
|
|
||||
уравнения rY= 2, r2 3 = 3 ±i). |
|
|
|
|
|
|||||
-g- = 2 p -5 * + e‘ , |
|
|
i W '= * ( » ' = £ ) , |
|||||||
4326. |
|
|
|
4327. |
||||||
= x - 6 y + e~2t. |
|
|
|
|
||||||
% |
|
|
|
= * (* ' = £ )• |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||
4328. |
|
|
|
4329. |
x y ' = |
y , |
|
|||
|
|
|
|
xzz' + x 2 + y 2 |
- 0. |
|||||
|
|
|
|
|
|
|||||
у' |
|
2xy |
|
|
|
|
|
|
|
|
х2-у 2 - 1 |
4331. г = y'{z - y f |
, |
||||||||
4330. |
||||||||||
_ |
2 x z |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
y = z'(z-yf. |
|
|||
4332. I4 лГ“ % + |
S x = s i n t , |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
4333. |
|
|
|
|
||
[lit+ y = cos*-
324 ГЛ. XIV. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
сательной на плоскости Оху при перемещении точки касания вдоль линии описывает биссектрису угла между положитель ными направлениями осей Ох и Оу; б) расстояние этого следа от начала координат равно координате г точки касания.
4343. Два шарика, масса каждого из которых т, соединены очень легкой пружиной (удлинение ее пропорционально растя гивающей силе). Длина нерастянутой пружины *о- Пружина растянута.до длины t\, а затем в момент t = О оба шарика, рас положенные вертикально один над другим, начинают падать (сопротивлением среды пренебрегаем). Через время Т длина нити сокращается до /0. Найти закон движения каждого из ша риков.
4344. Горизонтальная трубка вращается вокруг вертикаль ной оси с угловой скоростью 2 радиана в секунду. В трубке на ходятся два шарика с массами 300 и 200 г, соединенные неве сомой упругой нерастянутой пружиной длиной 10 см, причем более тяжелый шарик дальше от оси вращения. Сила 0,24 Н растягивает пружину на 1 см, а центр масс системы шариков удален от оси вращения на 10 см. Шарики удерживаются в ука занном положении некоторым механизмом. В момент, который считаем началом отсчета времени, действие механизма прекра щается, и шарики приходят в движение. Найти закон движе ния каждого шарика относительно трубки. (Трением пренебре гаем.)
4345. Скорость роста культуры микроорганизмов пропор циональна их количеству и количеству питательных веществ (коэффициент пропорциональности равен k). Скорость убывания питательных веществ пропорциональна наличному количеству микроорганизмов (коэффициент пропорциональности равен k{). В начале опыта в сосуде имелось AQ микроорганизмов и Во пи тательных веществ. Найти зависимость количества А микроор ганизмов и количества В питательных веществ от времени
(k > 0 , k1 > 0).
4346*. Допустим, что бактерии размножаются со скоростью, . пропорциональной их наличному количеству (коэффициент пропорциональности равен а), но в то же время вырабатывают яд, истребляющий их со скоростью, пропорциональной количе ству яда и количеству бактерий (коэффициент пропорциональ ности равен Ь). Далее, допустим, что скорость выработки яда пропорциональна наличному количеству бактерий (коэффици
§ 6. ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ |
3 2 5 |
|
ент пропорциональности равен с). Число бактерий сначала воз растает до некоторого наибольшего значения, а затем убывает, стремясь к нулю. Показать, что для любого момента t число N бактерий дается формулой
N = _ 4 М _
где М - |
наибольшее число бактерий |
и время t измеряется от |
|
того момента, когда N = М , |
k - некоторая постоянная. |
||
4347. |
Два цилиндра, |
основания которых лежат в одной |
|
плоскости, соединенные внизу капиллярной трубкой, наполне |
|||
ны жидкостью до разной высоты |
и Hz)- Через трубку в еди |
||
ницу времени протекает объем жидкости, пропорциональный |
|||
разности высот, т. е. равный |
a(/^ -h 2 ) 1 где a - коэффициент |
||
пропорциональности. Найти закон изменения высоты жидкости в сосудах над капиллярной трубкой. Поперечное сечение сосу дов S\ и Sz-
§ 6. Вычислительные задачи
4348. |
1 кг воды, теплоемкость которой считается постоян |
|
ной, а начальная температура равна 0О, нагревается погружен |
||
ным в воду электрическим прибором, сопротивление которого |
||
R зависит от |
температуры 0 |
линейно: R = i?0(l + 0,0040), где |
Ro - сопротивление при 0°С |
(закон, справедливый для боль |
|
шинства чистых металлов). Термоизоляция сосуда настолько хороша, что теплоотдачей пренебрегаем..
Найти зависимость между температурой 0 и временем t при 0 < t < Т , если:
1) Напряжение Е вводится равномерно от Е - 0 до Е = Ег
в течение Т с. Вычислить с точностью до 1°С, на сколько гра дусов повысится температура воды к концу 10-й минуты, если
0О= 0°С, Ei = 110 В, Д0 = Ю |
Ом и Т = 10 мин. |
|
2) Напряжение изменяется |
по закону Е = .Е0 sin 100л*. Вы |
|
числить с точностью до 1°С, |
на сколько градусов |
повысится |
температура воды к концу |
10-й минуты, если |
0О= 0°С, |
Е0 = 110 В и R0 = 10 Ом. |
|
|
3 2 6 |
ГЛ. XIV. ДИФ Ф ЕРЕ Н ЦИ А ЛЬ Н Ы Е УРАВНЕНИЯ |
|
|
4349. |
Литр воды нагревается спиралью, сопротивление ко |
торой 24 Ом. При этом вода отдает тепло окружающей среде, имеющей температуру 20° С (скорость охлаждения пропорцио нальна разности между температурами тела и среды). Известно также, что если ток выключить, то температура воды понизится с 40° С до 30° С за 10 мин. Начальная температура воды 20° С. До какой температуры нагреется вода за 10 мин, если:
1) Напряжение вводится равномерно от Е0 = 0 до Е1 = 120 В
втечение 10 мин? Погрешность 0,1° С.
2)Ток переменный, и напряжение изменяется по формуле
Е= llOsinlOOxtf ? Погрешность 0,1°С.
4350. Дано уравнение у' = ^ - х 2 . Составить таблицу значе
ний решения, удовлетворяющего начальному условию y\x=l= 1,
давая х значения от 1 до 1,5 через 0,05. Вычисления вести до третьего десятичного знака.
4351. Вычислить при х = 1 значение частного решения диф
ференциального уравнения |
у' = у + х , удовлетворяющего на |
чальному условию у| = 1. |
Вычислить затем первые пять при |
ближений ух, у2, уз, у4 , у5 (до четвертого десятичного знака) по методу последовательных приближений. Сравнить результаты.
4352. Известно, что интеграл f е~х dx не берется в конеч |
||||
ном виде в элементарных функциях. Пользуясь тем, что функ- |
||||
|
X |
|
|
|
ция у = е |
х2 С |
е |
- # 2 |
dt является решением уравнения у' = 2 ху + 1 , |
I |
|
|||
|
о |
|
|
|
вычислить |
J е~х dx. Воспользоваться методом последователь- |
|||
о
ных приближений, ограничиваясь пятым приближением. Срав нить результат с приближенным значением, вычисленным по правилу Симпсона.
4353. Функция у = f (х) является решением дифференци
ального уравнения у' = у2 - х при начальном условии у\х_0 - 1.
Найти про методу последовательных приближений четвертое приближение (у4), ограничиваясь таким количеством слагав-
Глава XV
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ
§ 1. Тригонометрические многочлены
4358. Пользуясь |
формулами Эйлера cos х = —~ |
<х и |
|||
sin х = е<х~^ ^ , доказать, что |
функции sin" х и |
cos" х |
могут |
||
быть |
представлены в |
виде |
тригонометрических |
многочленов |
|
71-го порядка. |
|
|
|
|
|
4359. Доказать соотношения |
|
|
|||
2л |
2я |
|
2л |
|
|
Jsin" х cos тх dx = Jsin" x sin mxdx = J*cos" x cos mx dx = |
|
||||
0 |
0 |
|
0 |
|
|
|
2л |
|
|
|
|
|
= J cos" xsinmxdx = 0, |
если m > n (т ип - целые числа), |
|||
|
о |
|
|
|
|
4360. Показать, что всякий тригонометрический многочлен л-го порядка, составленный из одних косинусов, можно пред ставить в виде P(coscp), где Р{х) - многочлен п-й степени от
носительно X.
4361. С помощью формулы Эйлера (см. задачу 4358) дока зать соотношение
• Жр |
(п+1)ф |
Sin-jpCOS |
2 |
cos ф + cos 2ф + ... + cos 71ф |
|
4362. Доказать соотношения:
1) со8ф + со8 3ф + ... + с о з(2 тг-1 )ф = ^ 2 ^ - ;
^ (ЛИ)Ф
2) в т ф + 8т2ф + ... + втлф =
§ 2. РЯДЫ ФУРЬЕ |
3 2 9 |
|
4363. Найти корни тригонометрических многочленов sin(p + + sin 2<р + ...+ sin лер и cos<p+cos2(p + ...+cosmp на отрезке [0, 271].
4364. Показать, что тригонометрический многочлен
sin(p+ S ^ i +...+ “ 2 ^
|
|
|
2 |
п |
|
на |
отрезке |
[0,7t] имеет |
максимумы |
в точках |
3 ^ - , ... |
...» |
(2 g - l)-^ y и минимумы в точках |
^2., 2 ~ , |
..., |
||
где |
q = |
если л четное, и q = ^ , если л нечетное. |
|||
|
4365*. Доказать, что тригонометрический многочлен без |
||||
свободного члена Фп (ср)= |
coscp+ ^ sirup+... + апcos лер + Ьпsin лер, |
||||
не равный тождественно нулю, не может сохранять для всех ф |
|||||
постоянного знака. |
|
|
|
||
§ 2. Ряды Фурье
4366. |
Убедиться, что функция |
у = х3sin |
при х Ф0 и |
у = 0 при |
х = 0 на отрезке [- п , я] |
непрерывна вместе со своей |
|
первой производной, но не удовлетворяет условиям теоремы
Дирихле. Можно ли ее разложить в ряд Фурье |
на отрезке |
[ - 71, 7l] ? |
|
Решить задачи 4367-4371 в предположении, что |
f(x ) - не |
прерывная функция.
4367. Функция f (я) удовлетворяет условию f(x + n) = - f (х).
Доказать, что все ее четные коэффициенты Фурье равны нулю (а0 = а2 = Ъ2 = а4 = 64 =... = 0).
4368. Функция f(x ) удовлетворяет условию /( * + 7с) = f(x).
Доказать, что все ее нечетные коэффициенты Фурье равны нулю.
4369. Функция f (я) удовлетворяет условиям f ( - JC) = f (.г) и f(x + n) = -f(x ).
Доказать, что Ьх = Ь2 = Ь3 = ... = 0 и а0 = а2 = аА =... = 0.
