книги / Сборник задач по курсу математического анализа
..pdfОТВЕТЫ |
351 |
|
549- ------ S5r=T* 55°* |
V b * 2 |
551* |
ercsinx. 552.---------- Ц ____ |
||||||||
|
2(.rccosx)2Vl-x2 |
|
|
|
|
|
( « г с э т х Я ^ |
||||
553. |
sin* arctgx + xcosxarctgx +ifitiUL. 554. _х±лпсозх£ |
|
|
||||||||
555. |
+ |
>*'2 |
556. 0. 557. —f±=. |
558.-----2*L^. |
Vl-xJ +xarcsinx |
||||||
|
2Л |
|
|
|
- P T |
|
(,«*)2 |
|
|
||
560. |
|
jfarctgx)2 |
|
|
562. |
- - |
V2 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
564.------7= = . 565. T^r. |
566. |
- 2агс1«7 567 |
лгссозх |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
1+x2 |
Vb^Vl-(arcco. x ? |
|
|||
568. |
—7-—.,* ■ .. 569. —p— |
— £ii^—= — = |
. 570. — ainct . |
||||||||
571* |
|
■ » |
|
|
573. 2 .к * « +* |
574. я и . |
575. ^ |
|
|||
576. |
. |
577. |
*ln-*~*~"ln2. 578. sinжInx +xcosxInx +sinx. 579.-----L_* |
||||||||
|
2Wln7 |
|
xln2 x |
|
|
|
|
|
|
xln2x |
|
580. baki. |
581. — —2—_ 582. l±-*2.-2E2ln*. 583. x"-l(nlnx+l). |
|
|||||||||
|
*n+1 |
|
*(l+lnx)2 |
x [l+X2] |
|
|
|
|
|||
584. —4H£—. 585.-7-1-. 586. |
ж2-4 х |
587. ctgx. 588. ---- 2s---- . 589. -^2=-, |
|||||||||
|
xVl+ln2x |
^ |
|
|
|
* |
|
Гх2-1)1пЗ |
8 |
||
590.---------- 2r |
. 591. |
4In8sinхctgx 592. |
------ ------------- r. |
|
|||||||
|
arccoe2xVl-4xz |
|
|
|
|
(ax+ft* l+ln^(ox+fc)J |
|
||||
593. |
n(l + lnsinxr'ctgx. |
594. |
|
|
|
|
|
|
|||
595. -------—=£-----596. |
|
|
0x2 arcsln|"lii(a3+x3Y] |
597. |
ctg— |
|
|||||
----------- -------- |
L.i_. |
JL. |
|
|
|||||||
|
,X2( 2+X2) / ^ |
' |
* |
^o3+x3j^l-ln2^o3+x3j " |
‘ 12^1n29 i a ^ ' |
||||||
598. 2XIn2 599. 10'lnlO. 600. |
- M |
601. 4'x(l-xln4). |
602. 10x(l+ xlnlO). |
||||||||
603. |
ex(l +x). 604. |
-bi. 605. ^Q"2-1)*3*2-*?.. 606. ex(cosx-sinx). |
|
||||||||
|
|
|
<x |
|
|
a* |
|
|
|
|
|
607. |
— (sinxcosx). |
608. - alnx-+c^ |
. 609. |
<ln- ~9l)— 2 ^ . 610. |
3x2-3 xln3. |
||||||
|
eln2x v |
|
7 |
|
|
ex |
|
ln2x |
|
|
611.612. ex(x2+1). 613. 2-e-X- r. 614. -Ш1МЖ, 615. gX^~1|-.
2'Jl+e* |
V |
7 |
. ( l+10x )2 |
(x2+l)2 |
616. e*(cosx+ sinx + 2xcosx). 617. - e x |
|
fVx+1 |
||
618. 2 102x_8lnl0. 619. ^ |
620.2xln2-cos(2x). 621. 3,lnxcosxln3. 622. 3sin2xcosxo'ln3x lna.
623.624. 28x -3*In2In3. 625.
ОТВЕТЫ
3 5 6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
889.1) S f -t o 2) J f r |
3) -J fi |
4) - |
f |
б) |
6) |
|
7) ^ |
|
|
8) -Elildx; 9) -M fc!id 4 10) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ii) fe*+4)(r*- V7)+(*2+4x+ |
1 |
|
2 |
) |
- J g ji* |
13) - p ^ . |
|
||
14) 3(l+x- x2)2(l- 2x)dx; 15) - ^ d x ; |
16) 5,nt«x^g-dx; |
|
|
|
|||||
' |
cos |
x |
|
ГX2-l)elnX+2XC08X |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|||
17) - 2 " - “ 1п2Л1^-Лс; |
18) — |
|
19) J-----J— |
=-------dx; |
|
|
|
||
cos2* |
2eln| |
|
|
fl-x 2} |
|
|
|
||
20) |
21) |
|
|
|
|
|
|
|
|
22) fa ** ~^--ln3 + 9x2--jj--jdx. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
890. 1) -0,0059; 2) -0,0075; 3) 0,0086; 4) 0; 5) 0,00287. |
891. |
Aу = 0,00025; |
|||||||
sin30°l' = 0,50025. 892. 0,00582. 893. -0,0693. 894. dp= - - ^ = |
d(P- |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
усов2ф |
|
|
895.0,3466.896. sin60°03' = 0,8665; |
sin60°18' = 0,8686 899.0,995. |
|
|||||||
900. arctgl,02= 0,795; |
arctgO.97 = 0,770. |
901. 0,355. 902. 0,52164. 903. а) Из |
|||||||
менение длины нити: |
2s= -|jdf; б) изменение стрелки провеса: df = -^-ds. |
||||||||
904. Погрешность при определении угла по его синусу: Axs = tgxAy; |
погреш |
||||||||
ность при определении угла по его тангенсу: Лхг = -|-sin2xAz |
(где |
Ау, Ал - |
|||||||
погрешности, с которыми даны величины у и г); |
= —L_; точность опреде- |
||||||||
|
|
|
|
|
|
“ Г cos'*х |
|
|
ления угла по логарифму его тангенса выше, чем при определении по лога рифму его синуса. 905. 0,3%.
906. 1) |
Г2t3+4«+7Y3*2+2V* |
|
2 |
|
|
dy= - j ----- Л |
I, |
; 2) ds = --Lsin-^J-df; 3) dz = -ds; |
|||
|
3^[p+2mp |
+2t+eJ]2 |
2 |
|
|
4) do |
J L -S 6) |
, |
в) |
dy ~ |
|
|
gl/lntf« in2tg*sln2* eln2*’ |
2V2u2-3 u + l’ |
' ' ' |
coe2*’ |
908. Непрерывна и дифференцируема. 909. /(x) непрерывна всюду, кроме точек х = 0 и х = 2; /'(х) существует и непрерывна всюду, кроме точек х = 0, 1, 2,
где она не существует. 910. При х = /ел, где k - произвольное целое число. 911. Непрерывна, но недифференцируема. 912. /'(0) = 0. 913. Непрерывна, но недиф
ференцируема. 914. Ау и Ах - величины различных порядков малости. 915.
Непрерывна, но недифференцируема. 916. Да; нет. 917. а 918. а(оеоф. 919. Абс цисса изменяется со скоростью vx = —2/tosin2(p; ордината изменяется со скоро
стью Оу ——2гойсов2ф. 920. Скорость изменения абсциссы ох= =u(l +coscp);
скорость изменения ординаты |
vy = uaintp (<р - угол между осью ординат и по |
лярным радиусом точки). 921. |
-- ^ 1 = -0,000125р. 922. 2 ед./с в точке (3,б) и |
-2 ед./с в точке (3, - 6). 923. 2 |
см/с в точке (3,4) и -2 см/с в точке (-3,4). |
ОТВЕТЫ
3 5 8
1007. -24*. 1008. 207 360. 1009. 360. 1010. б(бх4+6*2+l). 1011. 4sin2x.
1012. А. Ю13. -1- 1014. —&L- 1015. A, 1016. ДЗД . 1017. 16asin2(p.
|
« |
|
|
2 |
|
(l-x)° |
|
x |
|
Xя*2 |
|
|
|
|
|
|
|
1018. iBEsL. |
1019. 2е*2(зх+2x8). 1020. |
**^ |
1021. -Цг + 2arctgx. |
|
|
||||||||||||
|
(1+ Iy»+1 |
|
|
|
|
|
|
M |
' |
|
1+*2 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
lr3-l.il |
|
|
|
|
|
|
||||
1022. |
|
|
|
, |
1023. - |
|
1024. |
__g+з^Г |
1025. 4 |
^ |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4хЛ{а+& Т |
|
|
|
|
|
|
|
|
1026. |
|
|
|
|
|
fl^o2-l^i |
|
1028. ^[(lnx +lf + ij . |
1029. |
aneox |
|||||||
|
F ? |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
8in2 xj |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1030. |
|
|
|
|
|
|
|
|
1032. |
2я'1sin^ +^ |
^ |
j. |
|||||
(-l)"e“x. 1031. on sin(a*+-^-)+Ь"cos(px+-И-). |
|||||||||||||||||
1033. |
ex(x+n). |
1034. .(~1)n("-2)1 |
(„>2). |
1035. |
|
|
|
1036. |
|
|
|
|
|||||
|
|
4 |
' |
|
|
Xя' 1 |
V |
} |
|
(ax+6)n+1 |
|
|
|
(ex+6)n |
|
||
Ю37. |
|
|
|
|
1038. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1039. |
(-1)»л1[ _ 1 _ - _ 1 _ ] . |
1040. |
4 -coS(4*t m). |
1054. |
$ |
= |
|
|
|||||||||
1056. --§ k |
Ю57. -Лек |
Ю58. - |
И |
|
Ю59. |
|
|
1060. |
— *а^ - . |
||||||||
|
|
аУ |
|
|
Г |
|
|
|
|
(2-.)8 |
|
^-ах)3 |
|||||
1061. - -----2— -р |
|
|
|
|
|
|
Л, |
|
|
|
|
|
|||||
1062. - Й *-;)Ч -г)21 1063. Лк = _^2 . 1064. — . |
|
|
|||||||||||||||
|
|
[1-сов(х+у)] |
|
|
х2^ - ! ) 8 |
|
|
dy2 |
|dyj8 |
* |
g2 |
|
|
|
|||
1065. |
лХ !)! |
M69. -■ ^ 7. 1070. - \ |
= -----L-. 1071. —Дм? . |
|
|
|
|||||||||||
|
|
» Л 4 |
v |
у8 |
aeln8t |
|
|
в8 вш5 1 |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
1072. |
- |
- 1 |
2. |
|
1073. 1) -s^-4ein2t . |
2) О, так как x + y = a, |
1074. 1) 4f2; |
||||||||||
|
e(l-coe«p)z |
|
_2±lL_ |
flo2coe7 fein8t |
|
|
|
|
y |
|
|
7 |
• |
||||
|
T- |
1075. |
|
10 8 0 |
1 6 M /c2 - 108 1 * y = 2 f - |
4' |
a = 2 - |
|
|
|
|||||||
|
|
2 |
a(co.r-temtp |
|
|
|
|||||||||||
1082. |
|
см/с2. 1084. -0,0015 м/с2. 1085. - i |
м/с2. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
1088. 1) (e2-379)sin*-40*cos*; |
2) ex^C*sin(r+ -y-); |
3) anxa sin(ax +-*у-)+ |
|||||||||||||||
+ 3na"-V8inla*+i2^J+ 3n(n-l) an-2* 8inla*+-fc|&]+ n(n-l)(n-2)a"-3x |
|
||||||||||||||||
xsin[ar +-fcy^J. |
1093. у(2я)(о) = 0; у{2я+1)(о)= [l •3•5•... •(2л- 1)]2. |
|
|
|
|
||||||||||||
1095. у(2я-1)(0)=0; |
у(2я)(0)=2-[2.4.6.....(2л-2)]2. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
1096, ~0мГ 1097‘ m(m~^Krn~2)xm~3dx3 |
1098. 4(x+l)(5x2-2x-l)dx2 . |
|
|||||||||||||||
1099. 4-z2•2In4•(fix2In4 - l)d*2. 1100. .ф Ь ^ гх й х 2 И01 ^inx-4-m3x |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
frWx+bW*)1 |
|
ХЩп2х-4? |
|
|
||||||
1102. -4sin2*rfx3. |
1103. ±-22J2Sk^+5tg2(p)d(p2. |
1104. -gffi!. |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
4^ Ф |
|
|
|
|
3x<y2 |
|
|
|
|
|
ОТВЕТЫ |
359 |
|
|
|
1X05.1) d!y = ^ - d > x - l i !!^ dx>-, 2) d2y = -4sec22tdt2 |
|
|
X ~l |
(t4-l) |
|
1106. 1) d2y = coszd2z- sinzdz2;
2)d2y = axcos(a*)lnacf2x- axIn2a(axsina* - cosax)dx2;
3)d2y = a'8lnajcosa'3(б* +9t4lna)-a‘3sina** •9f4lnajdf2.
|
|
|
К |
г л а в е |
IV |
|
|
|
1110. 1) Точка максимума; 2) убывает; 3) возрастает; 4) точка минимума; |
||||||||
5) точка максимума; 6) точка минимума; 7) точка минимума; 8) точка макси |
||||||||
мума; |
9) точка минимума. |
1112. В точке |
хх= 0 возрастает, в точке х2= 1 |
|||||
убывает, в точке ха = -л/2 |
возрастает и в точке х4= 2 убывает. 1113. Убыва |
|||||||
ет в точке л:, = 1/ 2, |
возрастает в точках хг = 2 |
и х3 = е\ |
х4 = 1 - |
точка ми |
||||
нимума. 1114. Возрастает в точке хх= 1, убывает в точке |
хг = - 1; |
х3= 0 - |
||||||
точка минимума. 1115. Убывает в точке хх= 1/ 2, |
возрастает в точке х2= -1/ 2; |
|||||||
ха= 0 |
- точка максимума. 1125. Три корня, принадлежащих соответственно |
|||||||
интервалам (1,2), |
(2,3) и |
(3,4). |
1127. зтЗхг-зтЗх^ 3(х2-х 1)созЗ^ где |
|||||
хх<%<хг. 1128. a(l-lna)-&(l-lnft) = (ft-a)ln^, |
где a<\<b. |
|
||||||
1129. |
arcsin[2(x0+ Ax)]-arcsin2x0= 2Ад: / 7Г-4^, |
где х0<£<х0+Дх. |
1135. При |
|||||
х -»0 |
£ стремится к нулю, принимая не все промежуточные значения, но |
лишь такую их последовательность, при которой cos-|- стремится к нулю.
1136. 0,833. 1137. 0,57. 1138. 1,0414. 1139. 0,1990. 1140. 0,8449. 1141. 1,7853. 1149*. Требуемое неравенство вытекает из возрастания функции у = — ■ в
интервале (0, я /2). 1150. (-«>,-l) возрастает, (-1,3) убывает, (3,+ «>) возрас тает. 1151. (-oo,-l) убывает, (-1, 0) возрастает, (0, 1) убывает, (l,+oo) возрас
тает. 1152. (-оо,-1/2) возрастает, (-1/2,11/18) убывает, (11/18,+ оо) возрас
тает. 1153. |
(-оо, 2а/3) |
возрастает, |
(2а/3, а) |
убывает, |
(а, + «>) |
возрастает. |
||||||||
1154. (-оо, - 1) возрастает, (-1,1) |
убывает, |
(l, + °°) |
возрастает. 1155. |
(-н», 0) |
||||||||||
убывает, (0,1/2) убывает, (1/2, l) |
возрастает, |
(l,+ ») убывает. 1156. |
(-~, 0) |
|||||||||||
возрастает, |
(0, + о») убывает. 1157. |
(-оо, о) убывает, |
(0,2) возрастает, |
(2, + оо) |
||||||||||
убывает. 1158. (О, l) |
убывает, (Ц е) убывает, |
(<?, + оо) возрастает. 1159. |
(0,1/2) |
|||||||||||
убывает, (1/2,+оо) возрастает. 1160. |
(О, я/3) |
убывает, (л/3, 5л/3) |
возрастает, |
|||||||||||
(5л/3, 2л) убывает. 1161. |
(О, л/б) |
возрастает, (л/6,л /2) убывает, |
(л/2,5л/б) |
|||||||||||
возрастает, |
(5я/6,Зя/2) |
убывает, |
(Зл/2,2л) |
возрастает. |
1162. |
Монотонно |
||||||||
возрастает. |
1163. Монотонно возрастает. 1164. |
(О, За/4) |
возрастает, (За/4,а) |
|||||||||||
убывает. 1165. у ышв = 0 при х = 0, |
у ыян = -1 при х = L |
1166. у шисе = 17 |
при |
|||||||||||
х = - 1 , |
Уиян = -47 |
при |
х = 3. 1167. y uutc |
= 4 |
при |
* = О, |
уМШ1= 8/3 |
при |
||||||
х = —2. |
1168. у Ыйкд = 2 при х = 0, |
у Ш1а = ^4 |
при х = 2.1169. yUULg = 1 / 1пЗ при |
|||||||||||
х = -3. |
1170. у ы т = 0 при х - 0. |
1171. yutxc = 0при х = 0, |
у ниш = -2/ 3 при |
|||||||||||
х = L |
1172. у ыыи = 2 при х = 2/3. |
1173. уммс = >/205 /10 при х = 12/5. |
|
|
3 6 0 |
|
|
ОТВЕТЫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1174. |
у ^ = tfa* при х = 0, |
уыпп= 0 при х = ±си 1175. Утва= о при х = 0. |
|||||
1176. |
Монотонно возрастает. |
1177. уылке=~-Лв |
при х = 1/2, |
умив = 0 |
при |
||
х = ”1 и при х-Ь. |
1178. уышхе= 2,5 при х = 1, |
Уынд= в(4- е)/ 2 = 1,76 |
при |
||||
х = е. |
1179. Уышкс=1/2 при х = 0, уыан=п / 8 при л = L 1180. уивкс = 0 |
при |
|||||
х = 0, Ут№=Щ 2* |
при х = 1/2. 1181. ум<ке = ая^~*2+18„ 1дз |
при х = ±п/3, |
|||||
уияя= 1 при х = 0. |
1182. умы(е =шп^ +^ |
при х = -1, умнп = aeVa-izWam-tfoen |
|||||
при х = 71/6. 1183. уышкс= 1 / я при х = 1, |
умип= -1 /я при х = 3. 1184. Если |
аЬ<0, экстремумов нет. Если аЬ > О и а > 0, то утя= 2-Jab при х=-^-1п£,
если аЪ> 0 и а< 0, то уМ1КС= -2Jdb при х = |
1185. 13 |
и 4. 1186. 8и 0. |
||||||
1187. 2 и -10. |
1188. 2 и -12. 1189. 10 и 6. 1190. 1 и 3/5. |
1191. 3/5 и -1. |
||||||
1192. Наименьшее значение равно (в+ bf, |
наибольшего нет. 1193. я /2 и |
|||||||
-я/2. |
1194. |
Наибольшее значение равно 1, наименьшего нет. 1195. Наимень |
||||||
шее значение равно (l/e)1/e, |
наибольшего нет. 1196. V9 и 0. 1197. я /4 |
и 0. |
||||||
1208. 4 и 4. |
1209. 1. 1210. 6и 6. 1211. 3, 6и 4 см. |
1212. 3 см. 1213. |
1 см. |
|||||
1214. |
3/iu. |
1215. Радиус основания и высота равны |
Jv/n. |
1216. Н = 2А |
||||
1217. |
20^3/3 |
см. 1218. |
2x^273 = 293°56'. |
1219. |
Боковая сторона равна |
|||
Зр/4, |
основание равно р/2. 1220. Боковая сторона равна |
Зр/5, основание |
равно 4р/5. 1221. 2ЯТз/3. 1222. 4Я/3. 1223. |
|
1224. j2aP/k. |
1225. 20 км/ч, 720 руб. 1226. Через 1-Ц- часа |
* 1 |
час 38 мин. 1227. Рас |
стояние хорды от точки А должно равняться |
3/4 |
диаметра окружности. |
1228. ARjb/Ъ и R J E / 5. 1229. Высота прямоугольника равна ^-8-д-^ 2~3-, гДе |
ft - расстояние от центра хорды, стягивающей дугу сегмента, a R - радиус круга. 1230. Радиус основания конуса должен быть в полтора раза больше
радиуса цилиндра. 1231. 4Д. 1232. = 49е. |
1233. 60°. 1234. Rjz. 1235. 4Я/а |
1237. х/З + у/6= L 1238. aj2 и bj2. |
1239. Площадь прямоугольника= -£х |
Xплощадь эллипса. 1240. Через точку (2,3). 1241. с(-& ,-& ). 1242. х=а-р, |
|
если а > prt х = 0, если а< р. 1243. Сечение желоба имеет форму полукруга. |
1244. Длина балки равна 13у м, сторона поперечного сечения равна 2^2/3 м.
1245. Искомое значение равно среднему арифметическому результатов измере ний: х = £?1х2+-+*в 1246. В 3 км от лагеря. 1247. На высоте Rj2 /2.
1248. Расстояние от источника силы 1\ равно |
иными словами, рас- |
||
стояние Iделится искомой точкой в отношении |
1249. 2,4 м. |
||
1250. |
= kP/ Vl + ft2 при |
<p= arctgft. 1251. =4,5. |
1252. 2b + J S b J a и |
2a+ JSa/b. |
1253*. |
где ^ ~ обРа®У1°Щая конуса. Принять во вни |