книги / Сборник задач по курсу математического анализа

3 8 4

ОТВЕТЫ

•2283. я/32. 2284.

n^jL. 2285. 8/15. 2286. Лз-я/3.

2287.

+

2288. Зя/16. 2289. я/16.2290. ^ + 1п(2-л/з).

2291. я/4. 2292. л/з/24. 2293. я/3.

2294.

arctg|. 2295. V6/27 + ял/2/48.

2296. 20/9.

2297. 21п| = 0,365. 2298.

2/я;

1/2. 2299. 2+ 1п-^-.

5

е“+1

2300. При а - е. 2301. i-ln|. 2302. 2/45.

2303. 81n3-151n2 +^ .

2304.

_|_(5 + 7^/125). 2305.

я/6.

2306.

а2]^2 - ln(V2 +1)].

2307.

+

2308. 848/105.

2309. 4 -я . 2310. 1п^ | ^ .

2311.

i - i

2312. -^arctg-^. 2313. j j i .

2314. *1-Зя2 +24.

2315. MJL-2V3. 2316. l i —

2317. _L_inU|. 2319. х = 2.

2320. x = ln4.

3

27

eVfl

в2-Ь2

I b I

2322*. Использовать соотношения 4 -x 2> 4 - x2- x 8>4-2x2,

справедливые

-1<х<1 и л > 1. 2324. 1,098</< 1,110. 2325*. Воспользоваться для оценки

снизу неравенством 1 +х4 < (l+х2)2,

а для оценки сверху -

неравенством Ко-

ши-Буняковского. 2326. /(l) = 1,66

- наибольшее значение,

/(-1/2) = -0,11 -

наименьшее значение. 2327. Минимум при х = 1 (у = -17/22), точки перегиба

учесть,

что интеграл от нечетной функции на отрезке [-а, а] равен нулю,

б) Нет, если а * 0; да, если а= 0. 2333*. Положить t = l/z. 2338. Каждый из

интегралов равен я/4.

2339*. Положить х = п -г . Интеграл равен

я2/4.

2340*. Разбить отрезок [а.а +Г] на отрезки [а,0],

[о,Т\ и [7\ а+ 71],

затем,

пользуясь свойством f(x)=f(x +T), показать, что ) f(*)dx= J f{x)dx.

2341*.

Требуемое для

о

т

доказательства равенство

эквивалентно равенству

*+г

сит от х,

и затем положить х

= -у . 2342.

1^ а'Д2Т*1У 2343* Подстановка

* = tg(*/2)

незаконна, потому,

что функция

tg(x/2) при х = п

разрывна.

2344*. Для оценки /„ использовать, что 1пубывает при увеличении п.

2345*. Заменить переменную интегрирования по формуле 2 =

- и учесть

3 8 6

ОТВЕТЫ

2465.

a2[j~4ln(V3+V2)]; a2|

f

+ У2)] и a2[ f +&]n{& + Щ .

2466.

Sj = S8 =я-^1пЗ-2агс8Ш^| = 0,46; S2 = 2(n-S1). 2467. я/2-1/3.

2468.

1/12.

2469. 1/12.

2470.

|g=j|; .4|“

|, если т и п оба четны; 2|^f|,

если т и п

оба нечетны;

|~f|,

если т ип разной четности. 2471. а) 3/14;

ду собой). 2473. 8/15. 2474. Зя/4.

2475. 4/3.

2476.

яа2/8.

2477.

8^1 +АУз-arctg^l +fVaj.

2478. е +1/е-2.

2479.4.

2480.

з(е8-4)/е. 2481. 18/е2-2 .

2482. a) ft(ln6-l)-a(lna-l);

б) Ь-а.

2483.

3-е. 2484. з^2 in2-2in2.2

2485. 2 - ^ 2 .

2486. 1

+ Ы&

2487. З-Л.

18

3

2

3

2488.

V2-1. 2489. я/4. 2490. Зяа2. 2491. Зяа2/8. 2492. бяа2.

2493.

1)

.sfiL(rt +l)(n +2); 2) ^ -(п -1)(л-2).

2494. 1) ^ /З ; 2)

8/15.

2495.

1)

4я8а2/3; 2) 7ба2я8/3. 2496. яа2/4.

2497. яа2/4.

2498.

18яа2.

2499.

а2(4-я)/8. 2500. 37я/6-бУз. 2501.

51^3/16. 2502. а2.

ОТВЕТЫ

3 8 7

2517.

па2/2. 2518. 2 -я/2

и 2+ я/2. 2519. aflh£.

2520.

„ и . 1+il„f .2522. ln3. i

2528.

2524-

2525. 4|i 2520. 4a-Ja

2531. При t = 2я/3

[x= а(2я/3- Vsf/2), у = За/2].

2532. При t = я/6

(г = 3^5д/ 8, у = Д/в).

2533*. 4-a. t y . . . Положить х = acos3f,

у = bsin3*.

2534. 5a[l +-^ rln(2+V3)]. 2535. aln£.

2536. л2Д/2.

2537. я3/а

2538. 4т/з.

2541. 2(e‘ -l). 2543. naJT+ 4я2~+f 1п^2я+Vl +4я2J. 2545. lnf + -^.

2546. 8a. 2547. |-яа.

2549. ft должно иметь вид

или “

зр где N -

целое число. 2550. 4. 2551. iniL

щ 2 .

2554*. Доказать, что длина эллипса может быть записана в виде

п/4

_____________ ________________

L = 4 J ^Va2cos2* +ft2sin2f +Va2sin2 f+62cos2 tjdt,

и применить теорему об оценке интеграла.

2555. 2я. 2556. 1) fnab2; 2) |-яа2б. 2557. ^-яй2а.

2558. -S|i(3a+ ft).

2559. f(e2-l). 2560.

- g2°

+2(ft - a)j.

2561. Зл/НХ

2562. f(l5-161n2).

2563. 7i^£--2j. 25в4, 8я/а

2565# 2я2-

2566. s![V21n(l + V2)-f]. 2567. 1) f па9; 2) .si

2568. 5nV.

2569.

2570. ^-ла3. 2571. JSssl. 2572.

2573. те/2.

2574*. 1) я; 2)

См. указание к задаче 2516. 2575*. 3я^2л/32

См.

указание к задаче 2516. 2576*. л2. Воспользоваться тем, что

J

=£

о

заданию, положив x = 2aein2f, у =

2578. -|ла3. 2579*.

При­

менить формулу V =

где £(х) - площадь поперечного сечения.

2580.

1) п</2 ; 2) 36л. 2581. о, = лЛфл/б- 11/з), оа = Лл/2^>/б + 11/з).

2582.

Vl =ия=4я(^6 +V3-4), и2 = 8я|4- Vij. 2583. 8лТб/3. 2584. 8л.

2585*. —R2H = 400

см3. Принять за ось абсцисс ось симметрии основания.

2586.

j^ahH = 128 см8. 2587. f обЯ = 133£ см3. 2588*. |лД2Я.

Площадь

3 8 8

ОТВЕТЫ

симметричного параболического сегмента равна f ah,

где а -

основание сег­

мента, а А - «стрелка». 2589*.

+f) и

- f j .

(См. указание к зада­

че 2588.) 2590. 8а8/а

2591. 8 я г 8 /3 . 2592. 12 R3. 2593.

2594. ^-па2.

2595.

2596.

^ { е г - е~2+4).

2597.

2яЬ2 +^-arcsine и

2яа2 +'2|~1п|±“, где е

- эксцентриситет эллипса. 2598. 2я[-\/2 +ln(l +л/2)].

2599. n[V5-V2+ln-2j^].2600. Зла2. 2601. яа2^

- 2 6 0 2 .

_ 2).

Е - эксцентриситет эллипса. 2621. £ = я/2, л= я/8.

2622. я/2 + 4/5.

2623. я/12+Тз/а 2624. 3/20. 2625. ^=5а/8,

л=0.

2626. £=0,

т]=а^ М Ы-.

2628. \ = па, л = 4а/3.

2629. £= яа,

л = 5а/6.

2630. %= 2а/Ь,

л = 2а/5.

2631. $=256а/(315я),

л=25ба/(315я).

2633. $ = 6а(4-я2)/я3, л = 2а(лв - б)/я2.

центра круга. 2635. £ = 5а/б, ц = 0.

2636. £ = л/2яа/8,

л= 0.

2638.

Е = --*27£^*17 Г .

2639. ? = 4а/5,

Ч = 4а/5.

2640.

ЗЯ/8.

2641. Центр масс находится на оси симметрии на расстоянии R/2 от центра.

2642. Я /3,

Lrr, Я /4 2643. А/3. 2644. -Ца2 + аЬ+Ь2).

8|Д+Уя2+Л2|

6V

/

2645. M i =

(М - масса полуокружности). 2646. -^1+^8~2^ .

2647. /х= ^ а 2;

= 16а8(я2 - ^ ) .

2648. а&8/а

2649.1) ah3/12; 2) аА8/4; 3) аА8/36. 2650. яД4/& 2651. яЛ4/2.

2652.

nab3/4

и яАа8/4

2653. яД4Я/2. 2654. яД4Я/10. 2655. 8яй5/15.

2656.

8ла&4/15, где 2а -

величина оси, вокруг которой происходит вращение.

2657.

яЛ4Я/б. 2658. 56я/15. 2659.1) J, = я(е4 -l)/8;

2) 1„ = 4я(3-е).

2660.

МЛ2,

где М -

масса боковой поверхности цилиндра.

2661.

МЛ2/ 2.

2662.

2МЛ2 /3. 2663.

9па3/2. 2664.

6я2а&2. 2665. Объем 3^2я2а8/8,

поверх­

ность бл/2яа2. 2666. Объем 12я8а8,

поверхность 32я2а2. 2667. Ось вращения

ОТВЕТЫ

3 8 9

2669.

хг = хх+ зт(-^2- + Фоj

+<p0j .

2e70-

2в71-

2672.

kmMa/ ^J?2 + a2J = kmMсое2 (p / о2, где ф - угол между прямыми,

2673.

2674. 2яАото.

2675*. 2 я Ы у

Л ^ 1 =

= 2яАтуЛ(1-соаа),

где а - угол между образующей конуса и его осью. Вос­

пользоваться решением задачи 2673. 2676.

2кту. 2678*. J^-ln—. Сначала

/2

3

2690.

Ла8Ао2у/60 =

0,15 Дж. 2691. яД4Яй)2у/4. 2692. MR2!rV/3600;

МД2(Зя-8>т2/360й

2693. а) аЛ2/6; б) в два раза. 2694. а^2/2.

2695.

2,22.10® Н. 2696. \gda2b. 2697. abgd[h+|sina).

2705.

+й)8/2 - Я 8/2]; при Я = 0: ^ L h m

, где S - пло­

щадь щели. 2706. а) = 2,4 с; б) =>6,3 с; в) = 53 с; г) при f

2707.

= 34 Дж. 2708. 1) а) * 71,6 Дж; б) = 166 Дж; в) =238 Дж; 2) при неог­

раниченном расширении газа работа неограниченно увеличивается.

2709.

1.6 104 Дж. 2710. =82 мин. 2711. Немного больше 5°. 2712. —2—.

2713. а) 4 •10"® Дж; б) в•10'® Дж. 2714. б см. 2715. = 946 Кл.

2716.

= 1092 Кл. 2717. =5110 Кл. 2718. Е0 /2 . Эффективное напряжение

переменного тока равно E0/-j2. 2719. Щ&.Тcos<p0. 2720. = 7 мин.

2721.

=2,915 л. 2722. а) я ,

= Я fna~!n-f = 15 см; б) =0,125%.

2723. 1/1024 от

1

1пв_ Ш0

390

ОТВЕТЫ

К г л а в е

IX

2727*. Sn= 1 --* -, S = 1. Представить каждый член ряда в виде суммы

двух слагаемых. 2728. Sn=£(l - ^

) , S = \ •2729- ^ = i ( 1-3^r)- * =f

- 3 ^ 1 +2+ g

n+1

n+2

n+s J, о

i e .

2730. S= l f i +l

l — 1-------1-L_\

S = Ii

2731. S

- i f i + i +l __ 1------- L---------1—) S = Ц-.

° n

e r

3

5 2п+1

2п+3

2n + 6/

9 0 '

2732. s

= 4 T -7— S7— rl

$ = 7- 2733‘

= 1+ | --V —

S = j

"

2 [ 2

(n+l)(n+2) J

^

»

2

2n 2-3"

2

2734. S

=1-----L_

S = 1.

2735. S „= i 1------1—

L^S = |.

(п+i)2

BL

(2я+1)

J

/(l) = 0,049; /(-0,2)

= 0,108. 2827. linl±i_±arctgx. 2828. larctgx + J ln ^ .

2829. (x + l)ln(x + l ) - x . 2830.

1/2

2831.0,2. 2832*. ln-|. Использовать соот­

ношение cos—cos-т-••«»— ...=

2833*. я8/12 Воспользоваться формулой

2

4

2 "

*

£JL=4- 2834.1)

j(ln2+*“

); 2)

^=-[ln(l +V2)+f]. 2835. In2. 2836.