книги / Теория автоматического управления техническими системами

Уравнения (13.64) и (13.65) представляют собой дискретную модель непрерывной САР при кусочно-постоянном входном сиг­ нале. Они аналогичны по виду уравнениям дискретной системы в переменных состояния, а математическая модель непрерывной системы с кусочно-постоянным входом эквивалентна линейной дискретной системе со входом в виде числовой последователь­ ности. Отличие заключается лишь в том, что матрицы Ай(тг) и Bd(tr) зависят от интервала тг.

Если матрица А неособенная, то ВЛтг)= А-'(еАт'-1)В.

Таким образом, А*(тг), Bd(xr) —постоянные матрицы, эле­ менты которых являются функциями от тг. Из уравнения (13.62) следует два основных свойства матрицы Ad:

А/=А„(в-0=еА"';

вычисления матрицы eAV Для этого можно воспользоваться одним из сле­ дующих способов.

1. Разложение в ряд. При этом имеем еАт' =1+Атг +Атг*+ ... +Адтгд

Зная Аи тг и ограничиваясь конечным числомчленов этого ряда, можно найти еАтг. (Вообще говоря, этот способ неудобен, так как для обеспечения точности он требует учета большого числа членов ряда.)

2. Матрица Адиагональна. Вэтом случае еАг/также диагональна: если A=diag(X|, Я2,. ..Дп), то

eAT/,=dlag (е'Л*Т1 oktXr

Анализ дискретных систем, описываемых разностными урав­ нениями в переменных состояния. Изложим метод вычисления дискретного сигнала на выходе дискретной системы, в частности для дискретной системы, эквивалентной непрерывной. Применяя Z-преобразование к уравнениям (13.64), (13.65) состояния диск­

ретной системы, получим

Подставляя выражение (13.68) в уравнение (13.67), найдем

Покажем, каким образом, пользуясь уравнением (13.69), можно найти дискретную последовательность у(п) на выходе. Тем самым будет установлена взаимосвязь между описаниями

во временной и в 2-комплексной области.

Полагая в уравнении (13.68) и(г)=0 и применяя обратное Z- лреобразование, найдем выражение для фундаментальной мат­ рицы <pd(k):

(p(k)=Z-1{2(2l-Ad)“1]. (13.70)

Таким образом, фундаментальная матрица является обрат­ ным ^-преобразованием матрицы 2(г1—А)“!, имеющей размер­ ность пХп.

Алгоритм вычисления обратной матрицы (zi—А)—1заключается в сле­ дующем. Пусть имеем

13.11.Анализ устойчивости дискретных САР

Вслучае дискретных САР передаточная функция разомкну­ той системы, согласно (13.37) или (13.38), при мнимых значе­

ниях s=j(ù имеет вид

т.e. представляется бесконечной суммой. Однако она все же мо­ жет быть использована для исследования дискретных систем. Это объясняется тем, что непрерывная часть системы в виде

экстраполятора и объекта обладает свойствами низкочастотно­ го фильтра, и поэтому в правой части формулы (13.75) мож­

но учитывать лишь несколько первых его членов.

Покажем, каким образом частотные характеристики диск­ ретной системы могут быть применены для анализа ее устойчи­ вости. Для простоты предположим, что ЭВМ в контуре управле­ ния отсутствует. Тогда частотный спектр выходного сигнала У(/щ), согласно формуле (13.38), принимает вид

оо

САР определяется корнями характеристического уравнения

оо

1+Г 2 ^ о с (* + у*,)-0, ГV»—о°

которое является аналогом характеристического уравнения не­ прерывной системы

1+№(5)1Рос(5)=0,

причем выражение

может рассматриваться как передаточная функция разомкну­

Члены в правой части выражения (13.78) представляют со­ бой векторы, проведенные из начала координат до точек а, (а+

+аг), (ш+2аг), ...» (©—©г), (а—2аг) АФЧХ xr'WWodjiù) непрерывной части системы. Из выражения (13.78) следует, что

АФЧХ дискретной системы может быть получена суммирова­ нием этих векторов. Так как WWoc*(j(ù) является периодичес­ кой функцией частоты а с периодом /аг, то переменной а доста­ точно придаватьзначения в интервале от 0 до аг. Более того, так как [WW]*(j(ù) симметрична относительно действительной оси, т. е. ее годограф в диапазоне частот от аг/2 до аг является зер­ кальным отражением годографа для частотного диапазона от О до аг/2, то оказывается достаточным изменять частоту а в ин­

ты дискретности аг. Если частота аг велика по сравнению с шириной полосы, то часто можно ограничиться первыми тремя членами в выражении (13.78).

После того как АФЧХ, или годограф дискретной САР, по­ строена, анализ ее устойчивости можно проводить при помо­ щи частотного критерия устойчивости, который применялся для анализа устойчивости непрерывных систем.

Таким образом, для дискретных САР можно сформулиро­ вать следующий частотный критерий устойчивости. Для того чтобы дискретная САР, устойчивая в разомкнутом состоянии, была устойчива и в замкнутом состоянии, необходимо и доста­ точно, чтобы АФЧХ разомкнутой системы не охваты­ вала критическую точку (—1, /0) при изменении а в интер­ вале —аг/2<а<аг/2.

Анализ дискретных систем с помощью определения и по­ строения их АФЧХ является трудоемким процессом, в особен­ ности, когда необходимо учитывать больше трех членов разло*

окружность плоскости z. Этот процесс повторяется, когда © возрастает до ©+©г, ©+2©г и т. д. То же самое, но в обрат­ ном направлении вращения по окружности единичного радиу­ са, происходит, если ©изменяется от 0 до —©г, —©—©г, —©—2©г и т. д. В любой точке плоскости s=o+/© и

В точке а=—а>, ©=0 плоскости s значение z равно нулю, т. е. точка, лежащая в бесконечности на отрицательной действи­ тельной оси плоскости 5, отображается в начало координат

плоскости z.

Для любых значений а<0, т. е. для любой точки в левой полуплоскости s, еотг<1 й |z|>l. Следовательно, левая по­ луплоскость s отображается во внутреннюю область единичной окружности в плоскости z. С другой стороны, так как |z|> 1

для оХ), правая половина плоскости отображается в область, лежащую вне единичной окружности. При этом очевидно, что дискретная система устойчива, если все корни характеристи­

передаточная функция W(z) является дробно-рациональной от z, можно написать

ции i(z).

Так же как и в случае систем с непрерывным временем, можно получить критерий, являющийся аналогом частотного критерия устойчивости для непрерывных систем. Если диск­ ретная САР устойчива в разомкнутом состоянии, то, для того чтобы система была устойчива в замкнутом состоянии, годо­ граф W(z) при изменении частоты от 0 до ©г=2я/тг не дол­ жен охватывать критическую точку (—1, /0). Если дискрет­ ная САР неустойчива в разомкнутом состоянии и р полюсов W(z) расположено внутри единичной окружности, то, для то­ го чтобы система была устойчива в замкнутом состоянии, число оборотов годографа W(z) относительно точки (—1,

/0) при изменении частоты от 0 до ©г=2я/тг должно быть равно п—р.

Пример. Пусть передаточная функция дискретной системы

W(z)= Кг (l—е~Т/>) (г—I) (г—eTf)

Для построения годографа W{z) необходимо для каждого значения г умножить или разделить друг на друга векторы типа К, г, (z—е-*г) и (Z—1), 1—е-^г. Все они могут быть полученына плоскости г графическим путем.

Предположим, что

0,792/Сг 1Г(*)= (z—1) (г—0,208) *

Рис, 13.27. Критерий устойчивости дискретных систем: а —построение кривой W(z); б—кривая (годограф) TV(z)

Анализ устойчивости на плоскости г. Рассмотрим критерий устойчивости, позволяющий производить анализ устойчивости по расположению полюсов z-передаточной функции замкнутой системы. Этот критерий удобен, если имеется цифровая ЭВМ, снабженная программой для вычисления полюсов Z-передаточ­ ной функции (т. е. корней характеристического уравнения Дискретной системы). Согласно формуле (13.55),

Y(z)=0(z)G(z),

где Ф(г) —передаточная функция, являющаяся дробно-рацио­ нальной функцией от z.