книги / Теория автоматического управления техническими системами

Уравнения гамильтоновой системы (9.55) относительно вспомо­ гательной функции a|)(f) будут иметь вид

где Я,- —совокупность корней характеристического уравнения или собственные значения матрицы А.

Полагаем, что /= 1, 2, .... л. являются простыми вещест­ венными корнями. Тогда каждая из функций ф<(0 как сумма монотонных функций не более (п—1) раз пересекает ось t.

Так как функция Cj(t)= 2 Ьмф|(?) является суммой п моно­

тонных функций, то можно сформулировать 2-е свойство опти­ мального управления u(f).

В случае задачи на линейное оптимальное быстродействие систем п-го порядка, корни (9.66) характеристического уравне­ ния которых вещественны, управляющие воздействия имеют не более п промежутков знакопостоянства или не более (п—1) переключений.

Пример. Пусть управляемая система представляет собой двойное инте­ грирующее звено, т. е.

d*x

7F=“(*)•

а ограничение на управляющее воздействие имеет вид |и(/)|^1. Требуется найти управление u{t), переводящее фазовуюточку из х° в начало коорди­ нат фазового пространства за минимальное время.

1. Введем фазовые координаты

Отсюда

Рис. 9.13. Схема системыоптимального управления при и=М sgnч(»1

Задача оптимального управления линейным процессом. Рас­ смотрим простой линейный процесс, характеризуемый уравнени­ ем (9.60):

х=-ах-{-^и,

где а и ^ —положительные постоянные.

Начальное состояние процесса х(/о)=*°» а управляющее воздействие ограничено: |и|^Л1 Определим управляющее воз­ действие u{t), которое обеспечивает минимум показателя каче­

ства (9.7), т. е.

1{и) = ^ я2(«, t)dt.

Положим, что xi=x, и пусть новой координатой будет t,

x2=^xi*dt.

Тогда дифференциальные уравнения системы (9.60) примут вид *1= —й\Хх^и\ х2= х{г.

Задача сводится теперь к определению управляющего воз­ действия u{t), минимизирующего критерий J. Функция Гамиль­ тона (9.14) для этой системы имеет вид (9.62)

H=bh+bÎ2—b (—axx+w)+^*i2-

Для применения принципа максимума необходимо найти максимум функции Гамильтона по отношению к и. Очевидно, что функция Гамильтона имеет максимум, если знак управляю­ щего воздействия п, согласно (9.64), совпадает со знаком ty, а его значение равно максимально допустимому значению М, т. е.

u=Msgntyt

где

-1, %<0.

Канонические уравнения Гамильтона (9.56) имеют вид:

*=—ап+КИ»

Начальные условия для х: х,(/0)=х°=х,о, х2(/0)=0.

Граничные условия для яр:

ipi(^i)=0, гр2(М——^2=—1, ipi(^o)=^io. Так как

гр2(0=0, гр2(^0 = —I,

то

ярг(0 =const=—1.

Подставляя условия (9.65) максимума функции Гамильтона в канонические уравнения (9.56), получим

Х\=-—axi+Y-Msgiitpi, ф|=аф1—2xii|)2==ûnpi+2;ti.

Известные из условия задачи граничные условия для этих двух дифференциальных уравнений имеют вид:

xx(to)=x°i tpi(^) =0.

Это и есть задача с граничными значениями в двух точках, так как граничные условия заданы для обоих концов траекто­ рии. Теперь приведенные ранее два дифференциальных уравне­ ния необходимо решить относительно ххи ipi при этих двух граничных условиях. Процедура решения заключается в выбо­ ре наугад значения iM*o)=/> и в нахождении значений ххи фь при которых удовлетворяется другое граничное условие

M*i)=0. После того как определено tyi(*o), находят управляю­ щее воздействие M=Afsgntpi, которое переключается согласно знаку функции tpi (/). Следовательно, ipi (/) —требуемая функ­ ция переключения. Стратегия оптимального управления и= =Afsgni|)i может быть легко реализована (рис. 9.14).

Иногда легче определить ipi(0 при помощи аналоговой мо­ делирующей установки. Из рис. 9.15 следует, что управляющее воздействие образуется посредством подачи переменной состоя­ ния в схему, отмеченную пунктирной линией и известную под названием сопряженной системы. Последнее понятие будет рас­ смотрено в дальнейших разделах. Оптимальное управляющее

Рис.9Л4. Структурная схема оптимальной ОАР

воздействие является нелинейной функцией переменной состоя­ ния. Следует отметить, что закон управления не может быть выражен аналитически как функция переменной состояния. Такую схему оптимального управления иногда называют релей­ ным вариантом оптимального управления.

Задача оптимального управления конечным состоянием. При отсутствии ограничений на вектор управления в задаче Майера классического вариационного исчисления определяют значение функции от координат состояния в конечный момент t—t,, т. е. /= Ф[х(/,)].

Пусть управляемую систему описывают системой дифферен­ циальных уравнений л-го порядка

с граничными условиями x(f0)=x°; x(f1)=x1.

Эти уравнения линейны относительно m-мерного вектора управ­ ления u(f). На управляющие воздействия накладываются огра­ ничения вида

Дополнительное дифференциальное уравнение относительно x0(t) запишем в виде

сграничными условиями *о(^о)=ф[хо], xQ{t)=1.

2. Функция Гамильтона (9.14) для системы (9.67)

Выполняем ряд несложных .преобразований функции Я(х,ф, и): Щх, ф, u)= 2(i|),-^)/,(x, и)—

полагаем ф0(/)= —1.

3.На основании принципа максимума при введенных огра­

ничениях оптимальное управление конечным состоянием для данной системы определяют выражением

Су(0= 2(ф1 —

может быть вычислена после решения гамильтоновой системы уравнений при заданных граничных условиях.

Задача управления на минимум расхода энергии. Это —за­ дача оптимального управления, имеющая большое практическое значение. Расход энергии, затраченной на управление, пропор­ ционален интегралу по времени от квадрата управляющего воз­ действия. Если расход энергии по всем входам брать с одина­ ковыми весовыми коэффициентами, то функционал (9.7) можно записать в виде

/ - т ? 2 ^ ( о л . oJy-i

где 1/2 —коэффициент, введенный для удобства последующих

Рассмотрим два случая определения оптимального управления по расходу энергии на управление: 1-й, когда на вектор управ­

•*ь(0“ 4" (ол-

Соответствующее этой координате диффзренииалыое ураза» ние

dxо dt

при граничных условиях Хо(А))=0, Xo(^i)=/. Функция Гамиль­ тона для этой системы имеет вид (9.70)

Я(х, ф, и)= ф ьт2а/ + 2 ^ 2 аЛ + 2 ^ 2 М у У=1

Меняем порядок суммирования в последней группе слагаемых и полагаем, как и прежде, что ф0= —1.

1-й случай. На вектор и(0 не накладывается ограничений. Макси,мум функции Гамильтона (9.71) относительно и может быть найден на основании необходимого условия экстремума функции из классического анализа:

дН (х, ф, и) du

Дифференцируем по щ\

С/(0-«/(0=0, /=ЛГ£

где

Отсюда оптимальное управление

и/(0=С/(0, H U

2-й случай. Управляющие воздействия подчиняются ограничению:

Для определения С/(/) необходимо решить систему уравнений Гамильтона.

L _ /r _ ^ 2 т

Рис. 9.16. Схема САР с управлением по минимум расхода энергии: 1—сопряженная система; 2—управляющее устройство; 3—объект

Систему, реализующую управление по минимуму расхода

энергии, схематично можно представить в виде блок-схемы (рис. 9.16). Если начальное состояние сопряженной системы опреде­ лено, то нахождение последующих векторов ясно из схемы.

9.8.Формулировка и классификация методов математического программирования

Пусть I —целевая функция векторах переменных хи х2, ...,

..., хп. Необходимо, чтобы вектор х удовлетворял ограничениям в виде равенств

02Axj)=0, /=1, 2, или в векторной форме

С?2(х)=0.

Задачу математического программирования4можно сформу­

4 См.: Бсллман Р. Динамическое программирование / Пер. с англ. И.М.Андреевой и др.; Под ред. H. Н. Воробьева, М.: Изд-во иностр. лит,, 1960. 400 с.

лировать следующим образом: найти экстремум функции (функ­ ционала) 1{х) при условии

(?,(х)>0; G2(x)=0,

или, кратко, найти

extr{/(х); G,(x)>0; G2(x)=0}.

Если вместо определения экстремума функции /(х) ограни­ читься, например, определением ее минимума, то задача не те­ ряет общности, так как минимизация функции /(х) эквивалент­ на максимизации функции /(х). Это же замечание справедливо и дляограничений.

Действительно, если например, заданы ограничения

GH(xKо,

то, определив множество функций G<=—Gu,

вновь получим ограничения в виденеравенств.

Если /(х), Gi(x) и G2(x) являются линейными функциями

Если целевая функция квадратичная, в то время как все огра­ ничения линейны, то имеем задачу квадратичного программиро­ вания, для которой

ял

/(х)=cTx+xTDx.

Вформуле (9.74) через dt) обозначены элементы симметрич­

ной (так как xixj=xjxi матрицы D размерностью (пХп).

К нелинейному программированию относят те задачи, в ко­ торых целевая функция нелинейна и (или) имеется по крайней мере одно нелинейное ограничение на переменные xt.

Задачи линейного программирования, описываемые выраже­ нием (9.73), в которых переменные принимают лишь дискретные целочисленные значения, относят к целочисленному программи­ рованию.

Если параметры, входящие в ограничения или в целевую функцию, являются случайными переменными, то в этом случае приходим к задачам стохастического программирования.