книги / Теория автоматического управления техническими системами

если u{t) чисто синусоидальный входной сигнал с частотой со, т. е.

u(t) =Hosin©^ то выход

У(0= ÿosin(©/+ф), причем

Ф=arg[d> (Уш].

Таким образом, амплитудную А(ш) и фазовую ср(ш) частот­ ные характеристики Ф(/©) определяют подачей синусоидальных входных сигналов u0sin©^ на различных частотах и записью выходных сигналов y0sin (©/+ф) в том диапазоне частот, в ко­ тором представляет интерес частотная характеристика Ф(/©),

причем для каждой из частот определяют уо/ио= У Аи ср. Так как каждая точка частотной характеристики должна

быть найдена в результате отдельного эксперимента, то опреде­ ление частотных характеристик системы требует значительного времени. Метод удобен для оценки поведения системы при зара­ нее известных или заданных частотах, однако он чувствителен

к шумам.

Амплитуду «о гармонического входного сигнала следует вы­ бирать в зависимости от особенностей системы и ожидаемых условий ее работы. Так, например, если на вход в нормальных условиях эксплуатации последовательно поступают ступенчатые функции с промежутками, превышающими время переходного

процесса, то амплитуду и0входного сигнала u{t) выбирают не­ сколько меньшей, т. е. в соответствии со значением ступенчатой

функции.

Очень важно, что частотные характеристики при различных ам­ плитудах входного сигнала позволяют установить область ли­ нейности объекта и время запаздывания. Кроме того, частотные характеристики можно использовать для построения общей мо­ дели системы, причем устойчивость разомкнутой системы может

быть определена непосредственно.

Частотный метод идентификации может быть применим как для одно-, так и для многомерных САУ.

Пример. Рассмотрим ЛАЧХсистемы (рис. 11.1). Такая характеристика может быть, например, получена экспериментально. Необходимо идентифи­ цировать систему по заданной ЛАЧХматематической модельюв форме пе­ редаточной функции G(s), составленной из соответствующих типовых дина­ мических звеньев.

Вкачестве 1-го варианта задачи рассмотрим ЛАЧХсистемы, не имею­ щей особенностей типа резонансных пиков.

Предварительно осуществим аппроксимацию экспериментальной харак­ теристики асимптотической ЛАЧХ (пунктирные линии AB, CD, EF, КМсо стандартными наклонами (см. рис. 11.1). Точки пересечения а, б, в этих

Частота ©о в точке пересечения В связана с коэффициентом К соотношением

,g (jVo)* =0,

поэтому К*=©о"= 122=144.

144.(0,2215+1)’ G(*)e s2.(0,0635+1) (0,0053s+1) •

стях ЛАЧХна рис. 11.2 не отличается от ЛАЧХна рис. 11.1.

пробным или искусственным сигналом, а динамические характеристики определяются в установившемся режиме движения системы. Последнее требует больших по сравнениюс «памятью» системыинтервалов наблюде­ ний с цельюисключения переходной составляющей реакции, что также «ежелательио в системах регулирования производственных процессов.

11.2.Идентификация методом свертки в случае произвольного входного сигнала

Классический метод идентификации позволяет определить передаточную функцию системы. Однако обычно требуется най­ ти дифференциальные уравнения в условиях работы системы при реальных, а не при гармонических входных сигналах. Сделать это особенно трудно, когда экспериментальные результаты за­ даны в графической форме, как это имело место в предыдущем случае.

Рассматриваемый метод идентификации1лишен этого недо­ статка и позволяет определить математическое описание объек­

та практически при любом входном сигнале.

Связь между y(t), u(t) через k(t) при нулевых начальных условиях определяют выражением (уравнением свертки)

по формуле прямоугольников с постоянным шагом дискретизации по пере­ менной т, равным Д, получим соотношения:

1Дмитриев А. Н., Егупов Н. Д. Определение динамических характери­ стик объектов регулирования из экспериментальных данных // Техническая кибернетика: Теория автомат, регулирования: В3 кн. / Под ред. В. В. Солодовникова. Кн. 2. М.: Машиностроение, 1967. С. 93—234. (Сер. инженер, монографий).

д

у(Д)= f k (т)и(Д—x)dx=k(A)tt(OД+ôj; b2Д

y(2Д)= j*k (т) и (2Д—x) dx=ft (2Д) и (О) Д+k (Д) и (A) +ô2;

(П.2)

y(nA)= f k (x)u(nà—x)dx—k(лД)и(0)Д + b

+ k{(n—1)Ди) (A)+ ... +k(â)u((n—1) Д) Д+6Л,

где компоненты векторов-столбцов у., к* образуются по аналогии с компо­ нентами векторов у, к, но на основе y*(t), k*(t).

Квадратная матрица и порядка п:

Применение пробных воздействий в виде ступенчатой функ­ ции или импульса не всегда желательно. Кроме того, получен­ ные в виде графиков переходные функции САУ не имеют удоб­ ной аналитической формы для дальнейшего использования. Быстрота проведения эксперимента не компенсирует длительной и связанной со значительными погрешностями работы по ап­ проксимации кривой переходного процесса.

Процесс определения динамических характеристик по типо­ вому пробному сигналу можно существенно упростить и авто­ матизировать применением ортогональных разложений. Смысл метода состоит в том, что осуществляют аппроксимацию произ­ вольной функции САУ с помощью системы функций (<р,(/)}, удовлетворяющих условию ортогонализации на интервале

a<t<b

ь

^i(t)^j(t)w(t) dt = 0t i=£j,

а

а также условию нормализации

ь

jj<Pi2(t)w(t)dt~l, i= j. a

Множества функций {q><(/)} представляют собой системы ортонормированных функций с весом w(t)z. Эти системы отли­ чаются друг от друга интервалом, на котором проводят аппрок­ симацию, а также полнотой разложения. Систему функций на­ зывают полной, если произвольную функцию данного множест­ ва можно представить бесконечным числом членов ряда.

Рассмотрим сигнал u(t), действующий на входе системы. Для того чтобы частная сумма ряда

П

и„ (0= 2 «Л>|(<) г-0

являлась наилучшим приближением для u(t), т. е. функционал

2Весом ш(/), или весовой функцией, называют параметр ортонорынрованной системы, влияющей на скорость сходимости ряда.