книги / Теория автоматического управления техническими системами
..pdfдля электродвигателя |
|
|
|
||||
J |
d2x |
dx |
|
|
|
|
|
|
+0 dt —Rita, |
|
|
|
|||
где е —напряжение |
на |
входе |
усилителя; /а—ток якоря двигателя; k\ — |
||||
коэффициент |
усиления |
усилителя; |
/—приведенный |
момент инерции; Ь— |
|||
коэффициент |
вязкого трения; п0, щ, k2—постоянные |
коэффициенты. |
|||||
Передаточная функция следящей системыв разомкнутом состоянии |
|||||||
|
X(s) |
k (r,s+1) |
|
|
|||
'(*>— |
|
|
|
|
|
||
где |
E(s)~ s (T2s+1) ’ |
|
|
||||
|
|
J |
|
Ilakyki |
|
|
|
|
|
|
k== |
• |
|
||
Tl П0* T*=-r\ |
b |
|
|||||
Предполагается, что спектральная плотность скорости полезного снгна- ла m(t) имеет вид
2ра2 Sщ(©)= ©г +Р8*
Помеха представляет собой чисто случайны процесс, нли белый шум, т. е. спектральная плотность помехи Sn(w) сохраняет постоянное значение, не за висящее от частоты:
$„(©)=с2.
На основе формулы (10.26) среднее значение квадрата ошибки может быть представлено в виде суммыдвух составляющих:
мт=м{ь1}+м{4},
где
»i,« I-— ? I |
|
Уар»(Г,Л»+1) |
|
т \ет\-2л |
) I |
|
У©(ГгУ<в+1) +/г(Г,у©-Ы) |
|
—О |
|
|
жяfg2>__L СI |
|
kc(TtJa>+l) |
|
м\еп1~2п |
J! |
J(à(T2J(ù+iy+k(TJ(ù+l); |
|
d(ù ©г+Р2;
Подынтегральные выражения представляю собой квадрат модуля дроб но-рациональной функции. Каждый из интегралов можно вычислить, напри мер, определив корни знаменателя иразложив подынтегральное выражение на простейшие дроби. Имеются и другие способывычисления А1{е2}, кото рые не требую определения корней и позволяют получить в явном виде связь между параметрами, входящими в выражение для Se(w), изначени емсреднего квадрата ошибки.
10.5. Синтез САР при входных случайных воздействия
Ранее было показано, что если на входе следящей системы помимо управляющего есть и возмущающее воздействие (нли помеха), то ошибка следящей системы состоит из двух состав ляющих. Одна из них вызывается тем, что следящая система не может абсолютно точно воспроизводить полезный сигнал т (t), а другая—реакцией на помехи п(t). Обычно стремление уменьшить первую составляющую ошибки приводит к увели-
чению второй составляющей, и наоборот. Здесь задача синтеза состоит в том, чтобы обеспечить оптимальное решение, при ко тором сумма обеих составляющих имеет минимальное возмож ное значение.
Амплитудная частотная характеристика А(ю) рассматри ваемой системы, а также спектральные плотности 5m(œ) и S„((d) графически изображены на рис. 10.12. Если помехаимеет
Рис. 10.12. АЧХсистемыи спектральные плотности сигналов
более высокочастотный спектр, чем полезный сигнал, то при сужении полосы пропускания системы (кривая j4i((û) на рис. 10.12) система почти не будет реагировать на помехи. Но в этом случае значительно возрастает ошибка воспроизведения полезного сигнала. Если увеличить полосу пропускания (кривая Аг(ш) на рис. 10.12), то влияние помехи существенно воз растает. Поэтому при решении подобных задач необходим не который компромисс, обеспечивающий наивыгоднейшие усло вия работы системы.
Возможны следующие три способа решения задачи синтеза следящих си стем при наличии помех.
1. Вслучае, когда полезный сигнал имеет гораздо более низкочастот ный спектр, чем помехи (рис. 10.13). Полоса пропускания системы долж-
Рис. 10.13. Выбор полосычастот системыв случае высокоча стотного возмущающего воздействия (высокочастотной по мехи)
на быть выбрана достаточно широкой (но такой, |
чтобыона |
не реагирова |
|||||
ла на |
помехи) для |
обеспечения |
требуемой точности воспроизведения |
сиг |
|||
нала |
(кривая А(со) |
на |
рис. 10.13). Вэтомслучае помехи могут быть |
пол |
|||
ностьюотфильтрованы. |
управляющее воздействие имеет спектр частот, очень |
||||||
2. Вслучае, когда |
|||||||
быстро убывающий при возрастании частоты, а спектр помех близок к бе |
|||||||
лому |
шуму (рис. 10.14). Форму |
амплитудной |
частотной |
характеристики |
|||
вающем спектре частот полезного сигнала и при наличии помехи в виде белого шума
I (/со) | разомкнутой |
системы выбирают |
при низких |
|
частотах |
|
(когда |
|||||||
|IP0'cû)»1| и |
|
сконцентрирована основная |
энергия полезного сигнала) воз |
||||||||||
можно более |
близкой к форме АЧХполезного сигнала. |
При |
этом |
АЧХ |
|||||||||
разомкнутой системы должна быстро убывать, по возможности следуя за |
|||||||||||||
убывающей АЧХсигнала. |
|
одной стороны, равномерного |
ослабления |
||||||||||
Таким образом, достигают, с |
|||||||||||||
влияния всего |
|
основного |
спектра |
частот |
полезного |
сигнала |
на |
ошибку |
|||||
(в интервале частот, содержащем основнуюэнергиюсигнала, амплитудный |
|||||||||||||
спектр ошибки оказывается приблизительно равныммалой постоянной вели |
|||||||||||||
чине 1//г), а с другой,—уменьшения влияния помех ввиду быстрого убыва |
|||||||||||||
ния значений |№(/<в)|. Быстрота убывания функции |
|№(/'ш)| ничемне огра |
||||||||||||
ничивается лишь при \W(jo») 1>1. Для значений ю, при которых |
|117(/ш)|«1, |
||||||||||||
слишком быстрое убывание этой величиныможет привести к уменьшению |
|||||||||||||
запаса устойчивости или даже к нарушениюустойчивости системы. |
|
накла |
|||||||||||
3. Вслучае, |
когда |
спектрычастот полезного сигнала |
и помехи |
||||||||||
дываются друг |
на |
друга |
(см. рис. 10.12) |
и имеют |
произвольнуюформу. |
||||||||
Этот способ дает наиболее строгий иобщин подход к решениюзадачи син |
|||||||||||||
теза не только следящих, но и других преобразующих системпри наличии |
|||||||||||||
помех. Систему часто строят так, чтобыее частотная характеристика мак |
|||||||||||||
симально приближалась |
к |
спектральной характеристике |
полезного |
сигнала. |
|||||||||
10.6. Метод оптимизации динамических систем при случайных воздействиях (фильтры Винера)
Широкое применение получил метед синтеза оптимальных систем на основе критерия минимума среднеквадратической ошибки. Согласно Н. Винеру, постановка задачи синтеза заклю чается в следующем. Предполагается, что на вход системы по ступает управляющее воздействие (полезный сигнал) m(t) с наложенным на него возмущающим воздействием (помехой) n(t), так, что входной сигнал q>(f) имеет вид (рис. 10.15)
Рис. 10.15. Постановка задачи Винера (определение оптималь ной частотной характеристики Ф(/ш) системы)
ф (/)=лх(/)+«(/)»
где m{t) и n{t) —стационарные случайные сигналы с извест ными корреляционными функциями и равными нулю средними значениями.
Система должна осуществлять линейное преобразование полезного сигнала m(t) на входе в сигнал h(t)=n(t) на выхо де согласно формуле
1[Л(/)]=Я(*)1[/и(0],
где H(s) —заданный преобразующий оператор.
Требуется, пользуясь этими данными, найти импульсную пе реходную функцию k{t), удовлетворяющую условию физиче ской осуществимости
k(t)=0, /<0
и обеспечивающую минимум среднего значения квадрата |
||
ошибки |
т |
|
|
(10.27) |
|
?=lim -~r ^ (k(t)-x(t)fdt |
||
г-*» |
_y |
|
между требуемым h(t) и возможным в рассматриваемых усло виях изменением значения величины x{t) на выходе системы.
Интегральное уравнение, определяющее минимум средне квадратической ошибки^ Найдем выражение для среднего зна
чения квадрата ошибки е2. Учитывая, что
X(t)= J <р(*_г)*(т)Л,
получим на основе (10.27)
h(i)—J ф(^—т)£(т) drt dt |
(10.28) |
Задача заключается в том, чтобы найти передаточную функиию Q(yœ) системы г 3
00 Q(y'©)==^£(*)e“'«*rf*
таким образом, чтобы значение е2 было минимальным.
Раскрыв в (10.28) фигурные скобки и поменяв порядок ин |
||
тегрирования, получим |
|
|
*г=т.ÏÏL'ST |
5 |
*(4<ftUm-5jr J h(t)x |
O |
00 |
|
ХФ (*-%« + \ k(l)dX [ k (9)dbllm 4r-X |
||
T |
4 |
lT |
|
,l029) |
|
X ^ ф(<-т)ф(<-9)Л |
|
|
—T |
|
|
Введя в рассмотрение корреляционные функции
т
J h(t+x^t)dt;
1i i'3 —Г T
Я*(T)= 11ш Ф(<+т)Ф{t)dt=Rm(t)+Ri (T)+
l+^fflnW+ ^nm (T)î T
Rnv(«)-Hm ^ | A (/+x)Ф(<) dt=Rhm{x)+Rm w
и~приняв водвнимание^что
|
T |
|
|
|
|
ПтГ-iÿr Çh2(t)dt=f^h(0), |
|
||||
T-+00- |
«L |
|
|
|
|
L»^f ”' |
|
написать |
|
||
вместо |
(10.29) можно |
|
|||
?=/?/,(0)-2 |
5 kW ^ |
(X) <ft+ |
|
||
O |
00 |
|
|
|
|
+ |
k(X) d(Я)^ |
*(0) |
(X-9) do. |
(10.30) |
|
TaKft(tO=0?” УСЛ0ВИЮфИЭИ,еской «ЧЧЗДШОМ
то нижние пределы интегрирования в (10.30) нужно принять равными нулю:
е2=/?Л(0) —2 \ й (X) Rh(X) dX+
+ \k(X)dX\>k(b)Rv(X- |
(10.31) |
Уравнение (10.31) показывает, что вид k{t) при рассматриваемых условиях зависит не от самих функций h(t) и ф(/), а от их корреляционных функций. Это означает, что если имеют
ся две совокупности функций {Л(0}, {ф(0} с корреляционными функциями Яи(т), Дф(т), /?лф(т) и если известна функция k(t)f дающая минимум среднего значения квадрата ошибки для ка ких-либо двух функций h(t), ф(f), входящих в рассмотрение, то эта же функция k(t) даст минимум среднего значения квад рата ошибки и для любых других функций, входящих в те же совокупности.
Необходимое и достаточное условие для того, чтобы функ ция k(t) обращала выражение (10.31) в минимум, заключается в том, чтобы она представляла собой решение интегрального уравнения
ЯафМ-\/?ф(*-*)Л(&)й&«0| т>0. |
|
(10.32) |
|||
Рассмотрим_другой вывод уравнения |
(10.32). |
до постоянной |
Rh{0) |
||
Величину |
е2(см. формулу 10.31) с |
точностью |
|||
определяют выражением |
|
|
|
|
|
/= -2 j к (X) ЯЛф(X) dX+J It (X) dXfk (d)/?ф(X-fi)dO. |
(10.33) |
||||
Пусть |
|
|
|
|
|
R*r<X)=f Л,№-#)»(*)<<«, х>0, |
|
(10.34) |
|||
О |
|
|
|
|
|
где <7(6) —пока неизвестная функция, которая должна быть найдена таким |
|||||
образом, чтобывыражение (10.33) имело минимум. |
|
|
|||
Учитывая |
(10.34), вместо |
(10.33) можно написать |
|
|
|
/=—2 f q($)db f Яф(Я-д) k (X) dX+jj /г (4)db J k (X) Яф(X-&)dX= |
|||||
o |
o |
|
b |
b |
|
=- J ?(O) |
(X) i (X) + |
|
|
||
+ f [A«►)-?(*)]db f R |
(X-«) [A(X)-q(J,)) dX. |
(10.35) |
|||
b |
b |
|
|
|
|
Учитывая, что Яф(т)=2^- J $ф(о)e~J0Xdœ, u полагая
<?(/<»)=J <г(Ое-^'л, |
|
|
||
вместо (10.35) |
получим: |
|
|
|
1--- 2ТГ\ гс«) |
$ «« «/“<й 5 S„ (ш) iffl+ |
|||
|
оо |
|
« |
со |
+2^1* №-» (*)1 е-***"*) |
W-»(Х)1 Л 5 S„ (•)Л,= |
|||
--- dr |
S IQ 0)1’s„<•)«*»+ |
|
||
+25Г |
5 |
1 |
|
(10.36) |
Выражение (10.36), очевидно, имеет минимум, если |
||||
4(/ш)«Ф(/а). |
|
(10.37) |
||
Всилу (10.37), м-ожио написать |
|
|||
q(t)=k(t), |
к интегральному уравнению(10.32). Условия |
|||
и равенство (10.34) сведется |
||||
минимума |
на |
е2определяют интегральным |
уравнением(10.32). |
|
10.7.Решение интегрального уравнения относительно оптимальной передаточной функции
Не рассматривая процедуру решения интегрального урав нения (10.32) относительно ИПФ k(t) или соответствующей ей
передаточной функции Ф(/о)=^ k(t)erlntdt, приведем оконча тельное решение. Оно имеет вид
ф^ “)=5л775)5е"А $ - I w e,“'d“' О —оо
где Y(/©) и Ч** (уш) определяют как комплексно-сопряженные части выражения для спектральной плотности
5Ф= ^ R* (a)e-^dt.
Следует обратить внимание на определение комплексно-сопря
женных функций |
и |
4е |
по спектральной плотности 5Ф(©). |
Эта задача сводится |
к |
разложению четной, симметричной |
|
функции 5ф((о) на два множителя: |
|||
5,(©)- W(/©)V*(/"©) = |Y (/©)12. |
|||
Обозначим квадратичную |
АЧХ спектральной плотности |
||
S9(q) через
v(*>)- 1v (/®)i2“ ^ (/«)*• (/»),
где
i4j(©)= go+gifi)2+ 4-aa,n Co+Ci<02+ +<DÎB
ивсе коэффициенты e0, et,..., Со, ci ит.д. — вещественны. Учитывая, что корни числителя fi и знаменателя Я* являют
ся комплексно-сопряженными, можно написать
л*(а)- Г(«-?.)—С-У_1 х |
|
|
(Ш—Yi*) (Д>—Vt*).• ■(«—1Ym*) |
(10.38) |
|
х[ |
]■ |
|
где |
|
|
Y<e «i+/P<; |
|
|
—/Р<» a<>0. |
из выражений в правой части |
(10.38), |
Обозначим первое |
||
содержащее все нули и полюсы в верхней полуплоскости, через ¥(/©) а второе, в нижней полуплоскости, через Чг*(/ю). Та ким образом, задача определения 4f(/©) и ЧГ*(/ш), входящих
в формулу |
(10.38), заключается в факторизации, или |
разло |
|
жении на множители, спектральной функции £,(©). |
|
||
Рассмотрим выражение для оптимальной среднеквадратической ошибки. |
|||
Оно может быть представлено в виде |
|
||
е*=ЯЛ(0)+/, |
(10.33). |
|
|
где / определяют формулой |
оптимума |
||
Из (10.36) |
следует, что |
в случае удовлетворения условия |
|
(10.37) |
|
|
|
1— sir $ |
|
|
|
Поэтому минимальное среднее значение квадрата ошибки |
|
||
|
О |
|
|
«тШ=Л/> (0J-JJ- $ 1ф (/“>1! 5ф («Оda. |
(10.39) |
||
Учитывая, что |
—00 |
|
|
|
|
|
|
Ла(0)=Лг=2“ J SA(©)rfw |
(10.40) |
||
и подставляя (10.40) в (10.39), найдем |
|
||
■®га1п=2л" |
$ {5А(©)'-1Ф(Уа))|г5(р(©))^ш. |
(10.41) |
|
Иногда может оказаться более удобной другая формула для e*mm, ко торуюможно получить из (10.41):
298
Ho
J i в см i1 -ce
следовательно
®mln==^A (0)
=j>
о
2^- ^ p* (0 dt.
10.8. Алгоритм вычисления фильтров
Предположим, что на вход системы подается стационарный случайный сигнал
т(0+п (0.
где m(t) —полезный сигнал; n{t) —помеха.
Определим передаточную функцию системы таким образом, чтобы она воспроизводила на выходе с минимальной средне квадратической ошибкой полезный сигнал m{t). Эту задачу назовем задачей сглаживания, так как помеха n(t) обычно со держит более высокие частоты, чем полезный сигнал m(t), и наилучшее воспроизведение этого сигнала может быть достиг нуто лишь в результате «сглаживания» входного сигнала, т. е. подавления его высокочастотных составляющих.
В рассматриваемом случае
А(0-«(*). S*(0)=SOT(0)+Sn(0)+Sm„(0)+Snm(û)),
S*,(©)=5тф(©)=Sm(©)+Smft(о) и общая формула имеет вид
о—00
где
|’F(cû)|2=S»(<o). (10.42)
Согласно (10.41), минимальное среднее значение квадрата ошибки сглаживания
ëj,ln—jL jj |
(to)—IФ(Уû>)Ist-5ф(о.)}cfco. |
(10.43) |
—00 |
оптимальной сглаживающей |
передаточной |
Вычисление |
функции Заданы аналитические выражения для спектральных плотностей S9(<o) и Smv(©) в виде дробно-рациональных функ-
ций от ©. Выражение для S„(©) представляет собой четную функцию от ©как при отсутствии, так и при наличии взаимной корреляции между полезным сигналом и помехами. Действи тельно, в первом случае
5/вЛ(й))=5ля,(©)= 0. | |
(10.44) |
|
5Ф(ю)=5т(©)4-5л(©). j |
||
|
Из (10.44) ясно, что функция Sv(©) является четной, так как она представляет собой сумму двух четных функций: Sm(©) и
Sn(ü>).
Функции Smn(©) и Snm(©) имеют комплексно-сопряженные нули и полюсы. Поэтому выражение 5m„(0)+5nm(©) является четной функцией. Следовательно, S*(©) и в этом случае пред ставляет собой четную функцию. ' Таким образом, функция 5Ф(©), если она является дробно-рациональной, всегда может быть представлена в виде
Sv (©)—60+ М>» + ... +уо2д |
(10.45) |
а0+й!©8+... +ay(ù2v * |
|
В отличие от S<?(©) функция Smф(©) |
является четной от © |
лишь при отсутствии корреляции между полезным сигналом и |
||
помехой, когда |
|
|
Smn (©)=5nm(©)=0 |
|
|
и |
|
|
Smv(G>)=Sm((ù). |
для вспомогательной функции |
|
Согласно (10.42) и (10.45), |
||
Y(/©) получим |
(©—Уц) |
|
(©—У«) (©—Уг) |
’ |
|
(со—Л0 (0>—Лг) |
(©—A,v) |
|
(®+У0 (©+ у2) ... (©-ЬУц) |
’ |
|
V(ju)-C9 (©+ M(©+A2)... (©+ ÀV) |
||
где Сф—]/ Ьц/СЬ) .
Итак, алгоритм вычисления оптимальной передаточной функции заклю чается в следующем.
1-й шаг. Производят факторизациюспектральной плотности 5,(со)= |ф(/©) 1ф(/со)'Р*(/©.
2-й шаг. Определяют спектральнуюплотность 5mip((ù) =<Sfn((û) -f-Sn(ü)),
где отсутствует взаимная корреляция между m(t) и n{t). 3-й шаг. Вычисляют интеграл
О5тф(®) <><'>=55$ Ф* (У©) eJ(àtd(ù.