книги / Теория автоматического управления техническими системами

Чтобы оценить математическое ожидание, необходимо выпол­ нить большое число экспериментов, а затем определить в каж­ дом сечении t среднее значение случайной функции.

Рассмотрим условия, при которых удовлетворяется прибли­ женное равенство

для любой реализации случайного процесса |i. Можно пока­ зать, что это имеет место, когда дисперсия по всему ансамблю функций |i стремится к нулю при Г-»-оо, т. е.

Кt) среднее по времени эргодического случайного процесса t[t). Тогда, используя предыдущее соотношение, можно напи­ сать

Среднее по времени равно среднему по ансамблю, и прибли­ женное равенство (10.6) будет иметь место при достаточно большом Т для любой реализации эргодического случайного процесса.

Обобщая, можно сказать, что стационарный случайный про­ цесс обладает эргодическим свойством, или подчиняется эргодической гипотезе, если все его статистические свойства могут быть определены по одной-единственной реализации.

Таким образом, каждая из систем может быть использована для анализа поведения некоторого множества систем: опре­ деляются не только все их возможные состояния, но и вероят­ ность любой совокупности этих состояний. Это значительно упрощает исследование систем управления.

Корреляционная функция эргодического случайного процес­ са. На основании определения (10.2) выражение для корреля­ ционной функции стационарного процесса может быть записа­

но так:

■Физический смысл корреляционной функции (10.8) состоит в следующем: если случайная функция *(/) в момент t имеет вероятность хи то в момент t+т она имеет значение х2, т. е. характеризует взаимную связь между x(t) и x(i-\-т). Если т мало по сравнению с постоянной времени системы, то связь

т) и x(t) велика и значение ,#(т) достигает максимума, т. е. при очень малых т вероятность того, что значение функции x(t-\-x) мало отличается от значения функции x(t), т. е. близка к единице. По мере увеличения т составляющая x(t), определя­ емая начальным значением x(t) при ^=0, затухает, связь меж­ ду величинами x(t) и x(t-\-т) ослабевает, они делаются взаимонезависимыми, а функция Я(т) стремится к нулю. Другими словами, при достаточно больших т вероятность того, что зна­ чение x(t-f-т) будет мало отличаться от значения x(t), практи­ чески равно нулю.

мится к нулю, т. е. 1Ш1/?(т)=Д(оо)=0.

2. Начальное значение R{0) корреляционной функции R(т) равно сред­ нему значениюквадрата случайной функции x(t) и поэтому положительно, .

т.е.

У?(0)=ПшЛ(т)=х*>0. т-*-0

■Согласно определению,

т

R (0)=7Jimïf\x{t)x (t)

3.Корреляционная функция R(т) является четной относительно т, т. е. R{x)=R(—т).

4.Значение корреляционной функции R(т) при любом т не может пре­ вышать ее начального значения,т. е. R(0)^|#(т)|.

При анализе случайных процессов часто пользуются понятием нормиро­ ванной корреляционной функции (очевидно, что р(0) = 1) :

р(т); *Jï>Я(0У

При рассмотрении связи двух случайных процессов x(t) и е/(0» согласно определению(10.4), используют взаимокорреляционнуюфункциюRx,y(x):

(10.9)

Взаимокорреляцнонная функция Rx,y{т) в соответствии с (10.9) опреде­ ляет взаимнуюсвязь различных случайных процессов. Примером таких про­ цессов могут быть две координатыпространственного положения подвиж­ ного объекта.

Рассмотрим некоторые примеры корреляционной функции

Я(т).

1. Белый шум —это случайный процесс, характеризующий­ ся отсутствием какой-либо взаимосвязи между предыдущими и последующими значениями x{t). Такой процесс еще называют абсолютно случайным. Корреляционная функция белого шума равна нулю при всех значениях т, кроме т=0, и ее можно представить в виде дельта-функции (рис. 10.4,а) или, практи-

Рис. 10.4. Корреляционная функция:

а —белого шума; случайного процесса: 6 —содержащего постоякннуюсоставляющую, в—с периодическойсоставляющей.

г —без постоянной игармонической составляющих

чески, в виде импульса достаточно малой длительности.

2. Случайный процесс x(t) содержит постоянную составля­

ющую. Корреляционная функция Я(т) также будет содержать постоянную составляющую (рис. 10.4,6).

разработаны приборы-корреляторы, которые позволяют в ряде случаев ав­ томатизировать вычисление корреляционной функции.

Формулы(10.8) и (10.9) для автокорреляционной и взаимокорреляционной функций показывают, что корреляторы должны проводить следующие операции (рис. 10.6):

преобразовывать ординатыкривых x(t) и y(t), заданных, например, в виде осциллограмм, в некоторы пропорциональные им физические величи­ ны(перемещения, напряжения и т. д.);

перемножать величины, соответствующие ординатам кривых x{t) и y{t) для значений tи сдвинутые друг относительно друга на т;

интегрировать результат умножения в пределах выбранного промежут­ ка Т.

Кроме того, прибор должен допускать регулировку сдвига т между пере­ множаемыми ординатами кривых x(t) и у(Ов требуемых пределах. Вариан­ тытехнической реализации коррелятора могут быть различными (аналоговы­ ми, цифровыми, гибридными).

Спектральная плотность S(©). Корреляционная функция Я(т) стационарного случайного процесса и спектральная плот­ ность 5(©) представляют друг относительно друга преобразо­

вание Фурье (так же, как и переходная и передаточная функ­ ции):

5,(«)= § /?,(т)e-^'dx.

Если применить преобразование Фурье к корреляционной функции (10.8), то можно получить другую формулу для опре­ деления Sx(©)

Действительно, реализация случайной функции хr(t) на интео-

ST(<»)=^TX'T(/«)XH/»)= 2f!*7(/o))|2;

так как S(oo)=M[St(©)], то спектральную плотность определя­

Значение спектральной плотности пропорционально составляющей Xi3 случайного сигнала на выходе t-го фильтра.