книги / Теория автоматического управления техническими системами
..pdfСтруктурная схема, соответствующая уравнениям (13.13), изо бражена на рис. 13.5.
Рис. 13.5. Структурная схема дискретной системы
Вслучае стационарных систем запись ещ больше упрощается, так как матрицы, входящие в уравнения (13.13),не зависят от ft:
x(k+l)=Adx(k)+Bdu(k); |
I |
y(k)=Cdx(ky, x (0)=x0. |
J |
Решение уравнений (13.14) может быть получено следующим образом. Придавая индексу k значения 0, 1, 2,..., v, запишем
x(l)=A<x(0)+Bdu(0);
x(2)=Adx(l)+Bu(l)=Arfx(0)+AdB*u(0)+Brfu(l),
v—1
*(v)=Ajx(0)+2 AJ-'-'BiiiW, v=/,2,3, ... (13.15) i=0
Матрицу |
|
|
|
(13.16) |
<Pd(v) =Adv |
|
|
|
|
называют фундаментальной, или переходной. |
|
|
||
Подставляя матрицу (13.6) |
в уравнение (13.15),получим |
|||
п—1 |
|
|
|
|
x(v)=<p(v)x(0)+1=0 |
г—I)M(i). |
|
(13.17) |
|
Это —общее решение первого из уравнений (13.14). |
от |
начальных условий |
||
Первый член уравнения (13.17) зависит только |
||||
х(0) и определяет реакциюсистемы, не |
зависящую от |
воздействия u(i). |
||
Второй член зависит только от значений u(0), u(l),..., u(v—1). |
||||
Сучетом уравнений (13.14) |
и (13.17) |
сигнал на |
выходе определяют с |
|
помощьювыражения |
|
|
|
|
п—1 |
(v—/—1) Bdu (»)• |
|
|
|
У(v)=Cd<Pd (v) x (0) +2 |
|
|
||
Определение взвешенной временной последовательности по уравнениям в переменных состояния. Найдем взвешенную вре
менную последовательность для системы, описываемой разно стными уравнениями в переменных состояния, т. е. реакцию системы k(k) при нулевых начальных условиях х(0)=0 и входе
ввидедельта-последовательности:
*W -\W -(£ к5о.:
Последовательно решая уравнения (13.14), при к=0,1,2,...
получим
x(l)= Bd; у(0)=0; x(2)=AdBd; y(l) =CdBd; x(3)=Ad2Bd; у(2)=CdAdBd;
x(k)=Adk-‘Bd; y(к—l)=CdAdk-1Bd.
Итак, искомую взвешенную временную последовательность определяют формулой
к(к)= |
[ о, |
к<0; |
(13.18) |
[СЛА5-'вй, к>0. |
|||
Пример. Найти взвешеннуювременнуюпоследовательность для дискрет ной системы, описываемой уравнениями'(13.13):
Воспользовавшись (13.18), получим
к« - н - и [ - ? Т Г [ ? ] ' Для вычисления
Г—0,3 0,41*-1 L 1 0 J
применим формулу Сильвестра. Собственны значения матрицы определяют характеристическим уравнением
det J4^ ’3 ~ я’4] =(^+°<3) Я—0,4= (Л+0,8)(Я—0,5)=0,
так, что Я,=—0,8, Я^О.5. Имеем |
|
|
|||
“* |
Ad—Я81 I f-—о,3-0.5 |
0.41 |
1 ГО,8 —0,41 |
||
Я|—Я*= —1.3 L |
1 |
—0,5J =ТТЗ L—1—0,5J* |
|||
. |
Ad—Я,1 |
1 ГО.З +0,8 0,4] |
1 ГО,5 0,41 |
||
Adt- |
X,—Я, |
1,3 L 1 |
0.8J=1,3 1.1 |
0,8J' |
|
Подставляя эти выражения в формулу (13.18) для k (к), найдем
=Ï73{—О^С-О,8)*-1—0,4(0,5)*-1}=0,692(0,8)*-»—0,308 (0,5)*-*.
13.3. Прохождение непрерывного сигнала через цифровую ЭВМ
В контур управления САР и САУ часто входит ЭВМ. Для пояснения принципа действия таких систем и методов их рас чета рассмотрим, каким образом можно представить прохож
дение сигнала через цифровую ЭВМ. |
на |
Схема, имитирующая этот процесс, изображена |
|
рис. 13.6. Составными элементами схемы являются: ключ |
КЛ |
Рис. 13.6. Схема, имитирующая прохождение сигнала через ЭВМ:
а —с преобразователями АЦПиЦАП; б —динамически экви валентная схем а
(или импульсный элемент), преобразующий непрерывный сиг нал (например, от измерительного устройства) в аналоговый дискретный; преобразовательАЦП; ЭВМ;преобразователь ЦАП; экстраполятор Э. Следует различать аналоговый дискретный сигнал на выходе ключа КЛ от дискретного. Первый может принимать любое значение в заданном амплитудном диапазоне, в то время как амплитуда дискретного сигнала ограничена не которой совокупностью значений, определяемой разрядностью
цифровой |
ЭВМ. Далее сигнал поступает на ЭВМ в цифровой |
||
бинарной |
форме |
со скоростью, соответствующей |
интервалу |
дискретизации по |
времени тг. После ЭВМ цифровой |
сигнал |
|
трансформируется преобразователем цифра —аналог в дискрет но-аналоговую форму. Наконец, экстраполятор Э приводит сигнал к аналоговому непрерывному виду, форма которого оп
ределяется порядком экстраполятора.
Влияние на динамику имеют лишь три из перечисленных элементов: ключ, ЭВМ и экстраполятор,—а характеристики преобразователя аналог—цифра и преобразователя цифра—
аналог обычно не влияют на математическое описание системы. Поэтому схему (см. рис. 13.6,а) можно представить в упро
щенной форме (см. рис. 13.6,6).
Далее предполагают, что анализ схемы с цифровой ЭВМ
справедлив при следующих ограничениях:
1) шаг дискретности тг постоянен (тг=Дт+тр=const);
2)запаздыванием, создаваемым процессом вычисления в ЭВМ, можно пренебречь;
3)ЭВМ выполняет любую линейную операцию (дифферен-
цирование, интегрирование, упреждение, запаздывание, реше ние дифференциальных и интегральных уравнений и т. д.);
4)ЭВМ работает в реальном времени;
5)ЭВМ может использовать настоящую и прошлую, но не
будущую информацию (принцип физической осуществимости). Система, содержащая ЭВМ, квантует сигнал и по уровню, и по времени. Квантование по уровню создает на выходе ошиб
ку второго порядка малости по сравнению с эффектом от кван тования по времени (ошибку квантования по уровню можно уподобить воздействию некоторого шума). Поэтому в дальней шем, при рассмотрении динамики системы в первом приближе нии, квантованием по уровню пренебрегают.
Квантование по времени означает дискретизацию, замену непрерывной кривой последовательностью импульсов. Вообще говоря, такая замена может привести к потере информации. Условие, когда при квантовании по времени информация не те ряется, т. е. когда по дискретным данным можно восстановить исходную кривую, определяется из теоремы Котельникова.
Если кривая x{t) (рис. 13.7) обладает конечным спектром
Рис. 13.7. Дискретизация |
и спектр непрерывного |
сигнала: |
|
а —квантование сигнала по |
времени |
(x*'(t) —дискретный |
сигнал); |
б—частотный спектр |
X(ja> ) |
непрерывного сигнала |
|
(рис. 13.7 б), то информация не будет потеряна при выполнении условия
где ©о —ширина спектра, когда период повторения достаточно мал.
Рассмотрим, как трансформируется сигнал при его прохож дении через каждый элемент (см. рис. 13.6). Обычно можно предположить, что ключ КЛ включается и выключается мгно венно через каждые тг секунд, генерируя числовую последова тельность
подаваемую на вход АЦП. Итак, на выходе ключа КЛ имеем 00
£*(*)= 2 £(ктг)0(*—ктг). К——00
Пусть g(t)=0, |
t< 0. Тогда |
|
«*(0=2 «(ктгЖ*—ктг). |
(13.19) |
|
к=0 |
|
|
Сигнал g*(О* |
определяемый формулой |
(13.19), поступает |
на вход ЭВМ и преобразуется в другую цифровую последова тельность, определяемую линейным разностным уравнением
xB(KTr)=b0g(Ki;r)+ bjgrt(к—1)т,.]+ ... +bng[{K—n)xr]— —ûi*b[(k—1)тг]—а2хв[(к—2)тГ]—. . Ап-«в[(к—ц)тг]. (13.20)
Выходной сигнал с ЭВМ л*(ктг) [k=0, 1, 2 ... п\ подается на вход преобразователя ЦАП. Задача последнего состоит в том, чтобы преобразовать цифровую последовательность (13.20) в непрерывный сигнал x9(t)=u(t), которым можно воздейство
вать на непрерывную часть системы управления. Обычно жела тельно, чтобы этот сигнал x9{t)=u{t) представлял собой оги бающую для временной последовательности хп(ктг), т. е. в ин тервале ктг<^(к+.1)тг преобразователь ЦАП должен экстра полировать значение амплитуды входного сигнала в момент ктг (на интервал тг вперед). Устройства, выполняющие эту
функцию, называют экстраполяторами.
Экстраполятор т-го порядка определяют как экстраполятор, выход кото рого в данный момент зависит от т+1 прошлых дискретных значений на его входе. Обычно используют полиномиальнуюэкстраполяцию. Вэтом случае
х»(тхг+хг) =amTrm+ûm-rtrm~1+• ■• +ûo, О^т^тг, |
(13.21) |
причемнужно, чтобы для всех к |
|
*,|<=1стг=Хэ(кТг) =Хв(КТг). |
|
|
||
Коэффициенты ат, .........«о в равенстве (13.21) вычисляют так-, чтобы |
||||
удовлетворялись ограничения |
|
|
|
|
*»(ктг) =хв(ктг) |
|
|
|
|
при к=п—т, п—т+1,...,п. |
хг |
. |
необходимо, |
|
Через , каждый интервал |
коэффициентыат, ........ .. |
|||
вообще говоря, вычислять заново. |
|
|||
Простым |
полиномиальным |
является экстраполятор, реализующий поли |
||
номнулевого |
порядка (т=0), т. е. х*{пхг+х)=х,(птг) при |
0^т<тг, где |
||
л_0; ,±i; ±2;... Выход такого экстраполятора представляет собой кусочно |
||||
постояннуюфункцию(рис. 13.8). |
|
Экстраполятор 1-го порядка (рис. 13.9) описывают полиномом 1-го по |
|
рядка |
|
х,(пхг-\-х)=ахх+ао, 0<т<Тг, |
(1322) |
причем |
|
Хл(пХг)-Ха(ПХг)- |
|
*f(K*r) Эксмрвлс- X%(t) лж/пвр
а
Рис. 13.8. Экстраполятор нулевого порядка:
а—функциональная схема; б—выходной сигнал при «запоми нании» на хг
Рис. 13.9. Выходной сигнал эксграполятора 1-го порядка
Общая схема прохождения сигнала показана на рис. 13.10, причем им пульсный элемент (ключ) представлен как модулятор, в котором происходит модуляция последовательности импульсов непрерывным входным сигналом g(t). Полагая в выражении (13.22) т=0 и т=—т„ получим
а9=хв {пхт)\
ХВ(ПХГ)—Х0[(П—1)ХГ] а1=---------Тг .
Следовательно, уравнения экстраполятора 1-го порядка имеют вид
Рис. 13.10. Общая схема прохождения сигнала через ЭВМ: М—модулятор; Э—экстраполятор
13.4. Преобразование частотного спектра непрерывного сигнала при его прохождении через цифровую ЭВМ
Рассмотрим теперь преобразование частотного спектра сиг нала при его прохождении через ЭВМ(см. рис. 13.10). Это по
зволит наглядно представить влияние на процесс преобразова ния шага дискретизации и характеристик экстраполятора.
Цифровую ЭВМ заменим разностным уравнением вход-вы ход, т. е. дискретной системой, передаточная функция которой определяется алгоритмом цифровой машины.
Вид сигнала на выходе преобразователя АЦП позволяет рассматривать его как модулятор, т. е. как устройство, осу ществляющее модуляцию бесконечной последовательности им пульсов q(t) входным сигналом g{t). Проследим за теми изме нениями, которые претерпевает сигнал g{t) в частотной обла
сти (см. рис. 13.6).
Преобразование Фурье от входного сигнала
G{j(ù)= ^
Пусть амплитудный частотный спектр [<?(/ю)] входного сигнала g(t) (рис. 13.11, а) имеет вид (рис. 13.11,6). Действие ключа
g(t) 0(ju)
|
/ |
4 |
. |
|
J |
L |
|
и |
м |
MINI |
|
|
0 |
|
а |
|
t |
|
0 |
б |
If |
g*(t) |
в 0 Tr" * |
't |
|
|
|
О(jut) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
П |
t |
I |
I I |
|
1 |
|
. ■lllllll........ |
* |
|||
|
|
• |
|
|
Uü |
|
, |
|
“ 1 |
r| |t- |
i |
|
|
|
|
|
|
t—ч |
|
|
|
' ' |
|
||
Рис. 13.11. Преобразование частотного спектра непрерывного сигна ла при прохождении через импульсный элемент:
а—входной сигнал g(t); 6—амплитудный частотный спектр G(jffl): о—по следовательность импульсов q(i)\ г —линейчаты спектр Q(j'm) последова тельности импульсов q(t); д—сигнал на выходе ключа в виде последова тельности импульсов g*(О
(см. рис. 13.6) состоит в том, что сигнал g{t) модулирует по следовательность импульсов q(t) (рис. 13.11,в). Последова
тельность бесконечно высоких импульсов единичной площади обладает бесконечно широким линейчатым спектром (рис. 13.11,г), т. е. ее спектр представляет бесконечную сумму гармоник, частоты которых кратны значению ©г=2я/яг (где тг —шаг дискретизации).
’ Действительно, преобразование Лапласа для последователь ности дельта-функций
?(*)== 2 6(*-ктг) |
|
имеет вид |
|
Q (yûï)= (j 2 ô - Ktf) |
= 1+ е'“т' + |
—оо |
|
|_ е2у“т/-+ e"2/“Tf+ ...
Таким образом, сигнал на выходе импульсного элемента пред ставляет собой последовательность импульсов, модулированных
по амплитуде:
00 g*(t)=q(t)g(t)=g{t) 2«(<-ктг).
Так как дельта-функция равна нулю, кроме £=ктг, и g{t)=0 при /<0 (рис. 13.11,(3), то
g*W= 2U(KTr)ô(^-KTf). |
(13.23) |
к—О |
|
Найдем преобразование Лапласа для g*. Вывод основан на следующем свойстве: преобразование Лапласа для произведения интегралов равно свертке их изображений в области комплексной переменной:
1 СТ |
|
(Ш4) |
|
£[?(<)г (01=щ |
у |
|
|
|
C—jao |
|
|
В правой части записан |
интеграл свертки функций Q(s) н |
G(s) |
(где Q(s) |
и G(s)—преобразование Лапласа для q(t) и g(t))- Если один из сомножи |
|||
телей подынтегрального выражения представляет собой функцию, обладаю |
|||
щуютолько простыми полюсами, то интеграл берется довольно просто. |
|||
Пусть q(X) представлено дробно-рациональной функцией |
д |
и имеет |
|
только простые полюсы, т. е. все корни уравнения В(Х)—разные. Тогда, согласно теореме вычетов,
C+Joo
5^7 5 |
T ^ G(s-*)rf=2g7^yO(s-!L|). |
С—/со |
Л( |
где h—полюсыфункции Q(Я);
Внашем случае
о(X)=£ [6 (0+8 «—•гг) +... +{ «_„,)]= I +е-1'1+... +е“л,Л
Здесь Q(X) |
представляет собой сумму убывающей геометрической |
прогрес |
сии: |
|
|
0(Х)=— W r- |
(|3'25> |
|
1—е г |
|
|
И, следовательно, |
|
|
Л (Х)= 1, |
В(к)= \—е“Т'\ |
|
ПолюсыQ(h)—это корни уравнения |
|
|
1-«^=0.
Корни этого уравнения |
|
|
|
||
|
2л |
|
|
|
|
1= ±j — V=J(ùrv, v=0, 1,2, .... |
|
||||
v |
T-r |
|
|
|
|
де (ùr=2n/Tr—угловая частота. Далее |
|
||||
о/ п \ |
iT<ГхгКI |
|
±/2«тг |
|
|
в (К)—Кге |
1а=лу—гге |
|
|
||
Согласно уравнениям (13.23) и (13.25), |
|
||||
°*м=2 |
|
|
2 р ь+ м - |
|
|
|
Ху |
|
|
v=—00 |
|
Если s=/со, |
то |
получим |
соотношение, выражающее спектр |
дискретного |
|
сигнала G*(/со) через спектр непрерывного сигнала G(/со) : |
|
||||
О* (/(û)=_L |
У G(yû> +/vü>r). |
(13.26) |
|||
|
|
v=—оо |
|
|
|
Из последнего равенства следует, что спектр дискретного сигнала —периоди ческая функция ш, т. е.
G*(/(ù) = G*(/(ù+f(ùr).
Действительно, согласно соотношению(13.26),
О* (J(ù +J(ûr)=—У <?[У©+У(v + 1)сог]=0*(У©), Тг
так как пределы суммирования бесконечны.
Таким образом, влияние модулятора в частотной области (рис. 13.12) соответствует периодизации спектра модулирован-
е*6Ш
т |
т |
т |
Рис. 13.12. Периодический частотный спектр G*(/<ù) дискретного сигнала q*(t) на выходе ключа
ного сигнала (амплитуда каждой гармоники спектра (?*(/©) уменьшается при этом в тт раз). Период спектра G*(/<a) равен 2я/тг (периоду спектра Q(/<a) модулируемой последовательно сти импульсов q(t)). В результате модуляции дискретного пре образования спектр сигнала становится периодическим и бес
конечно широким.
Форма спектра G*(/œ) дискретного сигнала на каждом пе риоде будет мало отличаться от формы спектра (?(/©) только в том случае, если спектры соседних периодов не налагаются друг на друга, т. е. если выполняется условие
Сигнал g*(t) преобразуется ЭВМ в соответствии с алгорит мом ее работы в сигнал x**(t) (рис. 13.13,а), что, разумеется,
|
О |
|
|
а |
t |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
ш |
и |
у |
У |
У |
У |
|
|
|
7 X |
|
|
|
|
|
. *■ L |
|
|
б |
|
|
|
|
Xt(t) |
|
|
||
|
|
|
|
|
||
|
- |
Д |
о |
---------- Ï |
||
|
|
|
|
О |
* |
|
Рис. 13.13. Преобразование дискретного сигнала |
при его про |
|||||
хождении через цифровуюЭВМи экстраполятор: |
||||||
а—сигнал г„*(0 «а выходе ЭВМ; |
6 —частотный |
спектр |
диск |
|||
ретного сигнала на |
выходе ЭВМ; |
в —огибающая |
дискретного сигнала |
|||
|
хв*(0 на выходе ЭВМ |
|
|
|||
приводит к изменению его частотного спектра (рис. 13.13,6). При этом спектр сигнала *в*(0 остается периодиче ским, сплошным и бесконечным. Для сопряжения ЭВМ с после дующими непрерывными элементами необходимо сгладить сиг
нал хв(t) так, чтобы получить огибающую *э(0» показанную на рис. 13.13,в. В частотной области эта операция соответст