книги / Теория автоматического управления техническими системами

есть ошибка между выходными переменными эталонной моде­ ли х9(0 и основной системы x(t). Эта ошибка зависит от пара­

настраиваемого параметра может вычисляться путем перемно­

быть вычислен по уравнению (12.6) с учетом уравнения (12.4). Так как переменная x3(t) от параметров основной системы не зависит, то

сигнал этого вычислителя при подаче на его. вход воздействия g(t). В результате уравнение (12.7) принимает вид

р«‘= -*■ $ [ ( - ^ г М = - x‘dÈ Ъ Ш Ы

Структура вычислителя W\(s) известна, так как априорно известны структура и функциональная зависимость от парамет­ ров оператора <D(s). Неизвестными остаются текущие значения параметров аир (причем а могут задаваться вычислителю, а при использовании эталонной модели необходимость в инфор­ мации о неконтролируемых параметрах р отпадает).

Рассмотрим АСАУ, приведеннуюна рис. 12.16. Основной контур ее уп­ равления характеризуется оператором

Рис. 12.16. АСАУ, реализующая градиентный ме­ тод настройки

Го(5) =^оШ. И=0, 1, 2,...

Остальные операторы от не зависят и являются функциями соответствую­ щих настраиваемых параметров:

1^ф(5) = К7ф(аф<);

Woc(s) =Woc(ctoc i), i=0, 1, 2,...

Вычисляя частные производные по параметрам Оф/, at и аос< от функ­ ции <D(s), получим выражения для операторов соответствующих вычислите­ лей:

=W4>(s) - даф] >

4. В чем различие пассивных и активных, разомкнутых и

замкнутых АСАУ?

5. Каково назначение эталонной модели в АСАУ?

6. Как реализуется градиентный метод в АСАУ?

13. ДИСКРЕТНЫЕ ЦИФРОВЫЕ СИСТЕМЫ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ

Электронные вычислительные машины (ЭВМ) в настоящее время используют не только для решении разнообразных за­ дач, связанных с расчетом и проектированием технических си­ стем. Аналоговые и цифровые ЭВМ применяют в составе си­ стем автоматического регулирования и управления различного назначения. Еще более широкие перспективы для цифровых ЭВМ открылись в связи с появлением микроЭВМ. Поэтому знание основных понятий, определений, методов математиче­ ского описания и расчета систем, содержащих цифровые ЭВМ и называемых дискретными системами регулирования и управ­ ления, является совершенно необходимым.

13.1. Определение дискретной системы. Разностные уравнения

Входные и выходные сигналы непрерывных систем явля­ ются функциями непрерывного времени t. Если независимая переменная t принимает непрерывную последовательность зна­ чений, то сигнал называется непрерывным; если она прини­ мает только конечное множество значений tk (где £=0; ±1; ±2;... ), то сигнал называется дискретным. В дискретных САР и САУ в отличие от непрерывных, которые были рассмотрены ранее, циркулирующие сигналы являются дискретными.

a —непрерывный; б—дискретный

можно представить себе следующим образом. Пусть имеется ключ (КЛ) (рис. 13.2), который включается на очень короткий промежуток времени Ат, а затем остается разомкнутым в те-

Рис. 13.2. Работа идеального ключа (импульсного элемента):

1—сигнал на входе ключа; г—сигнал на выходе

чение тр. Если на вход такого ключа подать непрерывный сигнал g(t), то на его выходе, образуется последовательность им­

пульсов g*(f)> разделенных друг от друга во времени интерва­ лами тг, причем величина (амплитуда) каждого из импульсов

будет .равна амплитуде непрерывного сигнала в дискретные моменты th. В дальнейшем принимают, что интервал тг (назы­ ваемый интервалом, или шагом дискретизации по времени) яв­

ляется постоянным Tr=const. Поэтому, если сигнал наблю­ дают в течение 7’н, то TB=kxr, где fc —целое число. Ключ по существу является амплитудным модулятором непрерывного сигнала в дискретные моменты и называется импульсным эле­

ментом.

Системы, в которых входные и выходные сигналы являются дискретными, называют дискретными. Системы, характеризу­

емые как непрерывными, так и дискретными сигналами, назы­ вают дискретно-непрерывными. Дискретные системы описывают разностными уравнениями, а непрерывные системы —диффе­

ренциальными.

Понятие разностного уравнения можно пояснить на следу­ ющем примере. Предположим, что необходимо вычислить ин­

теграл

t

y(t)= \a(x)di

в случае, например, если подынтегральная функция ы(т)—не интегрируемая в замкнутом контуре. Тогда обычный прием заключается в том, что функция и\т) аппроксимируется кусоч­

но-постоянной функцией и{т) (рис. 13.3), причем

ц(т)=м(&г), £тг<т<£тг+тг.

ния при Тг-И). Она требует запоминания всех прежних значе­ ний сигнала u(ixr) для того, чтобы определить значение ин­ теграла в данный момент t=kxrГораздо более простой способ состоит в том, что вначале находят

предыдущие значения интеграла y{kxr) и его значение и(х) в данный момент, чтобы определить значение интеграла в после­ дующий момент (£+1)тг.

Выражение (13.3) является разностным уравнением 1-го по­ рядка. Алгоритм его интегрирования заключается в следующем:

1) запоминается начальное условие

1/(0)=0;

2) формулу (13.3) применяют последовательно для значе­ ний fe=0, 1, 2,.... т. е.

У(тг) =тгы(0)+ у (0)=тти(0); у{2хт)=хги(хг)+.у(хг)-, У(3tr) =хти(2тг) -\-у(2тг) ;

у(ixr) =хru[(i—1)тг]+у](i—1)тг].

На каждом шаге этого итерационного процесса каждое по­ следующее значение выхода y{ixr) вычисляют сложением его

1/(ц+6)+а,0(п-И—1)+ ... +any{k)=

(13.4)

=М(И-6)+М(М-6—1)4- •. • +MW.

Для того, чтобы при помощи этой формулы вычислить y{n-\-k),

13.2. Методы математического описания дискретных систем

Дискретные системы, так же как и непрерывные системы, имеют три формы математического описания во временной об­

ласти в виде:

разностных уравнений вход-выход, являющихся аналогом

дифференциальных уравнений; взвешенной временной -последовательности, являющейся ана­

логом описания непрерывных систем при помощи импульсной

переходной функции; разностных уравнений в переменных состояния, являющих­

ся аналогом описания дифференциальных уравнений в пере­ менных состояния для непрерывных систем.

Разностные уравнения вход-выход. Уравнение (13.4) часто используют для описания связи между входом и выходом циф­ ровой ЭВМ. При этом его приводят к следующему виду:

0(Л)= М(£)+.М(£—1)+ • • • +bnu(k—n)~

(13.5)

—я,у(k—1)—агу {k—2)—... —апу(k—n).

Число y(k) характеризует собой выход в момент kx, (шаг дискретности Тг обычно для простоты написания формул опускают). Числа y(k—1), y(k—2) характеризуют предыдущие значения выхода, запоминаемы в памя­

ти ЭВМ.Аналогично числа «(ft), «(ft—1) характеризую вход в дискретные моментыft, А—1,... и т. д. (они также хранятся в памяти машины). Урав­ нение (13.5) называют рекурсивным, или разностным, позволяющим вычис­ лить каждое последующее значение выхода по предыдущим данным.

Описание линейной системы при помощи взвешенной вре­ менной последовательности. Для систем, описываемых линей­ ными дифференциальными уравнениями, очень важным и удоб­

ИПФ, то, пользуясь интегралом суперпозиций или интегралом

функции. В дискретных системах в случае входного воздей­ ствия в виде дельта-функции получается последовательность чисел, а не непрерывная функция времени. Эта последователь­ ность чисел может быть получена следующим образом.

Рассмотрим систему, описываемую разностным уравнением (13.5) вход-выход, находившуюся в состоянии покоя до момен­ та приложения входного воздействия, т. е. #(к)=0 при к= —1,

—2,...

Пусть

где ôo('K) - дельта-последовательность Кронекера.

Положим в уравнении (13.5) и(к)=б0(к); обозначив полу­ чающуюся при этом реакцию системы через £(к), можно за­

писать

k (к)=60ô (к)+М (к—1) + ... +М (к—п)—

(13.6)

—fljÆ(K—1)—a2k(K—2)—... —а„£(к—п).

Взвешенную временную последовательность £(к) называют ве­ совой (рис. 13.4).

т ,

т

к(2)

О 1 2 3 ¥ 5 к

Рис. 13.4. Взвешенная временная по­ следовательность

ид.

Предположим теперь, что входной является дельта-последовательность

к—0; ц(к)=а0б0(к)=W к=£0.

Тогда

у0(к) =aft(к),

где надстрочный нуль при у означает взвешенную(множителем ао) реакцию системы (13.6) на дельта-последовательность, приложеннуюв момент к=0.

Найдем реакциюсистемы у'(к) для входа в виде дельта-последователь­ ности, приложенной в момент к=1:

«(K)=«,6, («)={“"

Вэтом случае у(к)=0 при к<1 и

y(l)=b0u(\)=alb0;

у{2)=а1(Ь1—а1Ь0); (13.8) у(3)=a, [bi—a0bt+a^b<t—a1b0]

Сравнивая систему уравнений (13.8) с (13.7), получим «/'(K)=a0ft(K—1).

Точно так же, если дельта-последовательность приложена в момент к=/, т.е.

г/,'(к)=а^(:к—/).

Рассмотрим теперь общий случай, когда входная функция представляет собой сумму дельта-последовательностей, прило­

женных в моменты к=0, 1,2,..., т. е.

к < 0;

ик>0,

или

и(к)=а06о (к)+aiô, (к)+а262(к)+ ...

Тогда на основании принципа суперпозиции регулируемая пере­ менная системы будет равна сумме реакций, вызванных сигна­

лами и(0), «(1), и(2),..., «(к):

я

у(к)= у0(к) у1(к)+... +yQ(к)=2^у(к)' у=о

или, принимая во внимание формулу (13.9),

я

y{K)=2«jk(K-J)- У=*°

Таким образом, если на вход системы, находящейся в по­ кое, подана временнаяпоследовательность чисел [w(0), и(1),...], то временную последовательность на выходе определяют по

формуле

Выражения(13.10) и (13.11) являются аналогами интегралов свертки для непрерывных систем.

Описание линейной системы при помощи разностных урав­

стояния для непрерывных систем играют разностные уравнения 1-го порядка:

нейшем предполагают, что Tr=const. Поэтому в уравнениях па­ раметр Тг обычно опускают и эти уравнения записывают в виде

х{k+1)=Ad(k)х(k)+ Bd{k)u(/e) ;

U3.13)

y(k)=Cd{k)x(k).

Здесь так же, как и в случае непрерывных систем, Ad(fc),

Bd(k), Cd(k) —матрицы размерности пХп, пХт, рХп соот­ ветственно.