книги / Теория автоматического управления техническими системами

BU<ù)=i^(t)e^fdt,

о

причем отбрасываю (не принимают во внимание) нули и полюсы^(/ю), находящиеся в нижней полуплоскости, так как нас интересует лишь (J(f)>0.

5- й шаг. Вычисляют оптимальную передаточную функцию

Л(0=2^^ ф (У<а) eJa)td(ù.

о

é(0=2^5оВ (®) е^0<d(ù'

азатем обратным преобразованием

В+( у©)=| b(t)e-Wdt;

о

б) разложеннем £(;©) на слагаемые с неопределенными коэффициента­ ми и вычислением этих коэффициентов:

В(ущ)— I . .—âl_ и > (ù—J +(у©+ур)’

-^lï® + AJ$+j42©—AîJ=2ai(©+Ja).

следовательно,

y(t) и возмущающее n{t) воздействия. Управляющее воздейст­ вие является суммой двух составляющих:

*/(0=£(0+ю(0.

где g(/) —функция времени, заданная своим аналитическим выражением.

Для простоты предполагаем, что

г

<7-0

т. е. имеет вид полинома с известными значениями коэффици­ ентов k„, a m(t) —стационарный случайный сигнал с заданной корреляционной функцией Ят(т) или спектральной плотностью Sm((ù) (рис. 10.18).

Возмущающее воздействие (помеха) n{t) также предпола­ гается стационарной случайной функцией времени с заданной

n(t)

*л1пCKO(t)

n(t)

~<±> *(jo>)

Рис. 10.18. Постановка задачи синтеза системыс мини­ мальной среднеквадратической ошибкой (СКО)

корреляционной функцией Rn{x) или спектральной плотностью S„(ü>). Будем считать, что функции m{t) и n(t) взаимно не коррелированы. Обозначим величину на выходе системы через

x(t), а ее импульсную переходную функцию через k(t). Пред­ положим, что

Выражение (10.48) представляет собой условие физической осу­ ществимости, а выражение (10.49)—условие качества2, соглас­ но которому время переходного процесса, вызванного управля­ ющим воздействием в виде ступенчатой функции, не должно превышать значения Т.

Предположим, что величина y(t) на входе должны быть преобразована в соответствии с некоторым оператором Я(р). Если требуемый закон преобразования можно было бы осуще­

h{t)= ^ y(t —x)x(t)dx,

где оо

x{t)= k —\О

В действительности на выходе мы будем иметь величину x{t), а не h{t).

Учитывая (10.48) и (10.49) для д:(/) на выходе, можно на­ писать т

xm -^lgV -^ + mV-^+nV—iïïkWdT.

о

Ошибку e(f) преобразования управляющего воздействия полез­ ного сигнала y (t)

Тождество (10.54) определяет значения первых г+1 момен­ тов цо, ц-ь ..., рг оптимальной импульсной переходной функции через преобразующий оператор Я(р). Поэтому будем считать эти моменты, определяемые тождеством (10.54), заданными ве­ личинами.

Таким образом, тождество (10.54) накладывает г+Г ограни­ ченных условий на импульсную переходную функцию. Так, на­ пример, если

Н(р)=р и h(t)=py(t)=y{t),

то g (*)= WfW - mi (0+ • • • + ( - \У % gM (t) или

Цо=0,

T

Pi= /т/г{x)dx=—1, 0

P2=0,

Pr= 0.

Точно так же, если h(t)=y(t—to),

7. Сформулируйте задачу синтеза оптимальных передаточ­ ных функций следящих систем, находящихся под влиянием слу­ чайных воздействий.

8. Назовите основные этапы решения задачи Винера.

11. МЕТОДЫ ИДЕНТИФИКАЦИИ ОБЪЕКТОВ РЕГУЛИРОВАНИЯ

Исходными данными для расчета и проектирования САР и САУ являются динамические свойства объектов (математиче­ ские модели), которые описывают дифференциальными или интегральными уравнениями. Однако математические модели объектов регулирования проектировщику бывают известны лишь частично. Поэтому приходится прибегать к экспериментальным исследованиям для определения динамики объектов регулиро­ вания. Эту проблему называют проблемой идентификации.

В некоторых случаях вообще отсутствует какая-либо апри­ орная информация об объекте, поэтому структура его матема­

Итак, идентификация—это определение математической мо­ дели объекта, или, точнее, —определение оптимальной оценки А* истинного оператора реального объекта А из заданного класса операторов по входным и выходным переменным этого объекта.

Если в задаче анализа определяют выходную переменную y(t) по заданномувходу u{t)t т. е.

y{t)=Au{t),

то идентификация является обратной задачей, когда требуется найти оператор А-1, обратный оператору А:

объекта и конкретных условий его работы; б) выбор воздейст­ вий, при которых следует ставить эксперимент; в) выбор спо­ соба обработки экспериментальных данных; г) оценка точности.

Задачу идентификации решают в широком и узком смысле, в зависимости от имеющегося объема априорной информации о системе. При идентификации в широком смысле априорная информация о системе незначительна либо вообще отсутствует. Система представлена в виде «черного ящика», и для ее иден­ тификации необходимо решить ряд дополнительных задач, свя­ занных с выбором класса математической модели, оценкой ста­ ционарности, нестационарности, линейности и др.

Идентификация в узком смысле предполагает, что известны: класс математических моделей; структура системы; соответст­

вующая информация о характеристиках рассматриваемых про­

цессов.

В зависимости от того, какой критерий применяют как меру соответствия математической модели реальному объекту, мето­ ды идентификации можно разбить на три группы:

1) методы, основанные на минимизации ошибки выхода. Ма­ тематическую модель выбирают таким образом, чтобы обеспе­ чить возможно меньшее отклонение выхода модели от выхода реального объекта;

2) методы, основанные на минимизации ошибки уравнения. За меру отклонения поведения модели от поведения реального объекта принимают невязку между уравнением объекта вида

/[£(*). £'(*). ....£ (я)(0; « ( * ) . А...... р*Н*(*).

где у и к—наблюдаемые выход и вход; 0,—оценки параметров;

11.1приведены наиболее часто применяемые из них.

11.1.Идентификация методом частотных характеристик

Метод частотных характеристик составляет основу класси­ ческих методов идентификации, анализа, синтеза при расчете и проектировании линейных САР. Частотный метод идентифика­ ции, в свою очередь, основан на преобразовании Фурье:

У(/©)=Ф(/©)С/(/©),

где У(/©) —преобразование Фурье величины на выходе дина­ мической системы; Ф(/©) —частотная характеристика (переда­ точная функция); U(jbi) —преобразование Фурье для величи­

ны на входе.

Так как Ф(/©) —комплексная величина, то Ф(/ш)=Р(£й)+/<3(©)• Модуль Ф(/©), или АЧХ

А(о)- 1Ф(У©) |= 1/Р2(ш)+ Q »

иФЧХ

Ф( ш)= aîg [Ф(J©)] = arctg

Выход у (0 линейной системы имеет ту же частоту, что и вход u{t):