книги / Теория автоматического управления техническими системами

реакции САУ составляющей свободного движения, можно точно

решить интегральное уравнение (11.1) на основе теоремы свер­ тывания, если известны изображения входного U(s) и выход­ ного У(s) сигналов:

где №(s) —передаточная функция системы.

Интегральное уравнение (11.1) сведено к простой алгебраиче­

а затем по вычисленной из выражения (11.16) функции №(s) найти k(t).

Существует ряд методов приближенного решения интеграль­

ного уравнения (11.17) относительно м(0. отличающихся слож­ ностью вычислений, значением ошибки и характером ограниче­

ний. Для определения динамических характеристик с использо­ ванием средств вычислительной техники удобным является ор­ тогональный метод моментов.

о

Следовательно, решение задачи сводят к отысканию по задан­ ным моментам {р,*} многочлена степени п относительно показа­ тельной функции

Система (11.22) линейна относительно неполных коэффи­ циентов а0, ai,..., ап. Она имеет решение и притом единствен­ ное. Это решение удовлетворяет критерию минимума взвешен­ ного квадрата ошибки (11.8). Минимум является абсолютным, если многочлен qn(t), коэффициенты которого определены из выражения (11.22), построен на основе ортогональной системы.

По определению, многочлен qn(t) можно представить в виде

Если имеется классическая ортогональная система {флДО с весовой функцией w(t), или система, полученная из выражения

где ck= \ k(t)Ф* (0w (t) dt —коэффициенты Фурье. oJ

Следовательно, задачу сводят к вычислению коэффициентов {с*}. Для этого необходимо выбрать ортогональную систему или синтезировать {фА(/)}, а далее найти связь между {<\} и

Ы .

Разложив в ряд Фурье функцию е~5*, получим

о

Последнее выражение имеет место для любого s с Res^O. На основе обобщенного равенства Парсеваля получим

оооо

Можно показать, что вычисление коэффициентов {с*} в фор­ ме ряда (11.27) обеспечивает абсолютную и равномерную схо­ димость в плоскости Re s>0.

Аппроксимирующий многочлен (11.25) в этом случае может быть представлен в виде

причем система {е-5**} также принадлежит интервалу (0; оо). Ортогонализируя исходную систему (11.19), получим мето­

дом Грамма—Шмидта систему функций {ф*(^)>

Ф0(О = а0;

<Pi(*) = “Sl) + ai(1)e-';

Ф,(t)= а<2>+ а|*)е“' + а<2>е-2';

Коэффициенты разложения определяютиз выражения

оо

ck=\k(t)e-‘<pk(t) dt. 0

Это выражение можно переписать так: 1

См= $ к(t)(а<*>+ а«>е-'+ а<‘>е"2' + ... + a<s>e-*<) de~‘ =

О

=а») 5 k(t)de-'+ а|‘) Çк(t)e~‘de-‘+

об)

т. е. коэффициенты {сь} связаны с моментами {цА} выражениями

c0= <W ^=а(1)ц0 + а[1)ж;

W(s) при k=0, 1, 2,... Необходимо иметь в виду, что на осно­ вании теоремы смещения аргумент s в изображении IF(s) из­ менится на si=s+c, где с —масштабный коэффициент весовой

можно использовать классические ортогональные системы поли­ номов Якоби, Лежандра, Эрнеста и, особенно, Лягерра.

Pn= Xtnf{t)*T«dt LO

■—моменты входного и выходного сигналов.

Ортогональную спектральную характеристику как совокуп­ ность коэффициентов {с*}, по аналогии с (11.30), для случая полиномов Лягерра вычисляютв виде

Специальные анализаторы вычисляют моменты входного и выходного сигналов на интервале [0, Т], соизмеримом с длитель­

(11.32)—(11.38). Импульсная переходная характеристика мо­

=e-e/cos {№; а=Ю; m/=3.

11.6. Метод дифференциальной аппроксимации

вектор; f—n-мерный вектор, описывающий динамику объекта;

b —^-мерный вектор неизвестных параметров.

Если все переменные состояния и их производные доступны для измерения, то первоначальную задачу оценки сводят к более

.простой —определению параметров алгебраической модели. Для оценки параметров составляют функцию ошибки

х—f(х, и, р; t)—в,

после чего можно применять статистические методы оценки.

В различные моменты ti производят измерение некоторых физически доступных состояний системы. Результат этих изме­ рений можно представить в виде

где <>—знак скалярного произведения; /,б(/0, tk) и т выби­ раюттаким образом, чтобы получить n+k условий вида (11.40). Вектор и(*) должен быть доступен для измерения в интервале (to, tf) наблюдения.

Итак, задана модель (11.39) динамической системы. Тре­ буется найти значения неизвестного вектора параметров b так, чтобы критерий

т. е. имел минимум по. р на интервале (0, Т), здесь 3 —вектор оценочных параметров.

Необходимое условие минимума

принимает в данном случае вид

k неизвестных составляющих вектора b определяют из k со* вместных уравнений (11.42).

Изложенный метод дифференциальной аппроксимации прост в вычислительном отношении, но предполагает отсутствие шу­

ления называют обработку данных измерений с целью умень­ шения влияния на них случайных факторов. В классической тео­ рии оценивания рассмотрены различные методы оценок, к числу

«штрафом» понимают потери из-за недостижения абсолютно точной идентификации;

2) метод максимального правдоподобия. Предполагается,

что динамические свойства объекта управления аппроксимиро­ ваны некоторой параметрической моделью. Кроме того, необ­ ходима информация о плотности распределения вероятности наблюдаемого (измеряемого) процесса;

3)метод наименьших квадратов. Предполагается то же, что

ив п. 2;

4)метод марковских оценок. Необходимо знание корреля­

ционной (ковариационной) матрицы возмущения.

Во многих случаях алгоритмы оценивания осуществляют оптимизацию, например поиск приближения к минимуму функ­ ции затрат, максимуму вероятности некоторого события, минимуму дисперсии ошибки и др. Идентификация объекта системы управления на основе классической теории оценивания по вектору наблюдения z* заключается в выборе метода опре­ деления и вычисления вектора р оценочных параметров, удов­ летворяющего критерию наилучшего приближения к вектору b действительных параметров исследуемого объекта.

Рассмотрим систему, показанную на рис. 11.8. Предположим,

Динамика

объекта I

Рис. 11.8. Схема идентификации при помощи классической теории оценивания

что наблюдения скалярных процессов осуществляют в дискрет­ ные моменты с постоянным шагом Д (далее символ А будем опускать). Время t последовательно принимает значения 1, 2, 3,..., k. Требуется найти правило, или оператор оценивания,

т. е. некоторую связь, которая позволила бы получить для неиз­ вестного вектора параметров объекта адекватноечисловое (век­ торное) приближение—оценку р:

..., z{k)} —вектор состояния.

Эта оценка зависит от имеющейся последовательности наблю­ дений, описываемых и и z, а также от длины k выборки.