книги / Теория автоматического управления техническими системами

вует выделению только первого периода и фильтрации всех вы­ сокочастотных периодов спектра.

Задача сглаживания возлагается на преобразователь ЦАП (экстраполятор). Для идеально точной фильтрации АЧХ фик­ сирующего устройства (экстраполятора) должна иметь вид,как на рис. 13.14,а. Реализация идеального экстраполятора невоз­

можна. Поэтому на практике осуществляется приближенное экстраполирование.

Рис. 13.14. Характеристики экстраполятора нулевого порядка: а—АЧХидеального экстраполятора; б—ИПФ; в—ИПФ, представ­ ленная двумя единичными ступенчатыми функциями; г—АЧХнФЧХ реального экстраполятора

Самый простой способ приближенного преобразования дис­ кретного импульсного сигнала в непрерывный —способ запоми­ нания (длительность импульса сохраняется экстраполятором до момента поступления следующего импульса), т. е. применение экстраполятора нулевого порядка. Для того, чтобы экстраполятор мог проводить операцию запоминания, его ИПФ долж­ на иметь вид, как на рис. 13.14,6. Реализация такого экстрапо­ лятора с помощью дискретных элементов не представляет осо­ бого труда.

ИПФ k9(t) может быть представлена двумя единичными функциями, сдвинутыми друг относительно друга на тг (рис. 13.14,0), т. е. М/)“ 1(0—1(/—т,). Передаточная функ-

дия экстраполятора определяется как преобразование Лапласа от МО

Устройство, реализующее эту передаточную функцию, должно обладать частотной характеристикой

иФЧХ (рис. 13.14,г) фэ (ш)= —ТгСо/2.

При этом рассматриваемый экстраполятор является фильтром низких частот, но отличается от идеального тем, что он хотя и ослабляет, но все же пропускает в некоторой степени й высоко­

частотные составляющие спектра Хв(/©). Наличие высокочас­ тотных составляющих и объясняет с точки зрения спектра тот факт, что сигнал на выходе экстраполятора имеет ступенчатый (см. рис. 13.8), а не плавный характер, как это было бы в идеальном случае.

13.5. Передаточные функции дискретных систем

Ранее понятия «передаточная функция» и «частотные харак­ теристики» использовались при анализе,и синтезе непрерывных САР. Теперь эти понятия будем применять и относительно дис­ кретных и дискретно-непрерывных систем.

Рассмотрим дискретно-непрерывную систему (рис. 13.15),

Рис. 13.15. Типовая схема дискретно-непрерывной си­ стемы

состоящую из непрерывной подсистемы (объект, имеющий ИПФ

МО и передаточную функцию №0(s)) и импульсного элемента (КЛ), на вход которого подан непрерывный сигнал g{t). Сиг­ нал на выходе импульсного элемента согласно (13.19)

g*(t)= 2s^r)à(t-KTr). к—0

^(s)=$ [ 2 kB{t—Kir)g(iar)Y-*tdt=

00О

=2 S(кт,)е- "" \ К(t—ктг)e-s('-l,Vc((<_,„,)= «-о g

=2 ?(^r)e-"Vr0(s)= r 0(s)O*(s). к=0

Таким образом, передаточная функция непрерывного выхода *(/) по отношению к дискретному входу системы (см.рис. 13.15)

Г0 03-29)

Но, так как преобразование Лапласа от функции 1(t—ктг)

—-SKTf L [1 (t-к*,)]---—s---,

то преобразование Лапласа для (13.30) имеет вид

00Г -SKXf_ -f(K+l)Tf

£(х9 (01=хэ (s)= 2 *в (ктг) —------;-------

л=о 1

или

(КТГ) е

\/ к—О

Рис. 13.18. Эквивалентная САР с ЭВМв контуре

рующего сигнал обратной связи r(t), который сравнивается с входом g{t). Регулируемой (выходной) переменной является

y(t). При этом имеем XB*(s)=WB*{s)E*(s).

Преобразование Лапласа регулируемой переменной

ный элемент. Преобразование Лапласа для импульсного эле­ мента имеет вид:

00

о* (i)= 2^ (VTr)e_vv V=0

и представляет собой бесконечный ряд по отрицательным

степеням e“TfS. Поэтому используем подстановку £=eT'f и, заменяя в этом выражении s на

s=ilnz,

Тг можно записать

T. e. выражение, совпадающее с выражением (13.39), опреде­ ляющим Z-преобразование.

Итак, Z-преобразование от g*{t)

2fe*W]= îf(v tr)z-v. v-0

Подчеркнем, что Z-преобразование содержит информацию о соответствующей непрерывной функции времени только в диск­ ретные моменты, поэтому оно определяет не непрерывную

функцию, а ряд ее последовательных дискретных значений. Значит, одному Z-преобразованию может соответствовать мно­ жество непрерывных функций, имеющих одинаковые значения в моменты ктг (рис. 13.19), так как им будут соответствовать одни и те же дискретные функции.

ктг» полностью теряется. Другими словами, можно считать, что введение Z-преобразования соответствует включению на вы-

Перейдя к Z-преобразованию, т. е. заменяя в этом выражении ъ~хг5 На г~\ получим

2) Z-лреобразование единичной ступенчатой функции (рис. 13.21,6) не отличается от Z-преобразовакия функции, рассмотренной в первом приме­ ре, так как в моментыктг они имеют одинаковые дискретные значения /*(/):

'« -7 = 1 -

Это лишний раз показывает, что Z-преобразование «не чувствует» промежу­ точных значений исходной непрерывной функции;

3) Z-преобразование линейной функции (рис. 13.21,в)

Эта функция соответствует дискретной последовательности

откуда

^ (z—-I)2'

т.е. Z-преобразование получено в замкнутой математической форме. Z-преобразования элементарных функций приведены в табл. 13.1.