книги / Сферическая астрономия

мы Ьс + Ь о - Ь с х Ь а , причем Ьо является определяющей констан­ той, Ьс вычисляется на основе эфемерид БЕ405.

При таком определении разность между ТПВ и ТТ, измеряемая -на поверхности Земли, остается меньше 2 мс в течение нескольких тысячелетий.

Время Терн (аргумент эфемерид ОЕ405) с точки зрения потреби­ телей совпадает с ТВЪ, определяемым в настоящей резолюции.

Постоянный член ТПВо выбран для согласования нового време­ ни ТПВ с широко используемым разложением ТПВ - ТТ Файрхеда и Бретаньона. Однако наличие этого члена означает, что время ТБ В не синхронизовано с ТТ, ТСС и ТСВ на эпоху 1977, январь 1,0 ТА1 в геоцентре.

4.Произведение матрицы А размера ш х п н а матрицу В размера

пх к есть матрица С размера га х к:

п

С = АВ\ Сц =

1=1

Матрица АТУтранспонированная по отношению к матрице А раз­ мера га х га, есть матрица Ат = [а^] размера пхтп. Справедливы сле­ дующие соотношения:

то для любой матрицы В размера п х п справедливы равенства

1В = В1 = В .

Квадратная матрица А называется симметричной, если Ат = А, т. е. если

Квадратная матрица А называется невырожденной, если она име­ ет единственную обратную матрицу А~1Уопределяемую условием:

А - 1А = АА~г = I .

Квадратная матрица А называется ортогональной, если АтА = ААТ = /, т. е. если Ат = Л-1.

Если квадратные матрицы А и В одного порядка невырождены, скаляр а ф 0, то

(.А В У 1 = В ' 1 А ' 1; (а А )'1 = а~1А~1\ (Д "1)’ 1 = А.

Квадратная матрица не вырождена тогда и только тогда, когда ее строки (столбцы) линейно независимы.

С.2. Линейная алгебра

Система линейных уравнений

Если матрица А квадратная и невырожденная, то матричное уравне­ ние имеет единственное решение:

х = А~1В.

Если матрица А является ортогональной и ее детерминант равен единице (с1е! А = 1), то линейное преобразование у = Ах называет­ ся вращением.

Система т уравнений

п

противном случае эти т уравнений линейно зависимы, т. е. по край­ ней мере одно из уравнений может быть представлено в виде линей­ ной комбинации остальных.

Векторы ах, аг, аз линейно независимы, если из уравнения

Ахах + Лга2 Азаз = 0

следует, что Лх = А2 = А3 = 0. В противном случае векторы ах, аг, аз линейно зависимы и по крайней мере один из них, например, ах мо­ жет быть выражен в виде линейной комбинации ах = + Сз^з остальных векторов.

Единичные векторы 1Г, 1 0 , 1л в декартовых координатах имеют вид:

— 81П О

1Л =

Г 81П 0 д \

Преобразование между компонентами вектора в декартовом и сферическом базисе имеет вид:

Обратное преобразование имеет вид:

^иг\ ( их^

=М Т

СЛ . Элементы дифференциального и интегрального

исчисления

Дифференциал функции у = /(х ) в точке х , если он существует, равен:

йу = ~^.^х ~ /'(х)с1х,

/ '( х ) = сХу/йх —производная функции.

Дифференциал функции у = /(а?1 , #2 , ... , хп), если он существу­ ет, равен:

Если / ( х) — действительная функция, имеющая в интервале а < х < Ь п-ю производную /( п), то

где Яп(х) называется остаточным членом.

Градиентом скалярной функции Р(г) = Р (х, у , г) называется векторная функция, определяемая формулой:

Дифференциал Лг радиуса-вектора г вдоль кривой С, описывае­ мой уравнением

{ х =

2/ = 2/(0

2 = 2(<),

определяется в каждой точке кривой г = (х{1), у(<), г(1)^ формулой:

= <1х\ + йу$ + <1гк = { ^ 1 + ^

Вектор йг направлен по касательной к кривой С в точке с радиусомвектором г.

Квадрат элемента длины:

Преобразование дифференциалов из сферической в декартову систему координат имеет вид:

С.5. Криволинейные координаты

Если в области V трехмерного евклидова пространства заданы соотношения, ставящие в соответствие каждой точке (х, у , г) тройку чисел х \ г = 1,2,3, причем

X1 = Л (ж, 2/, г), х2 = / 2(х, у, г), х 3 = / 3(х, у, г),

то функции х г,х 2,х 3 называются криволинейными координатами точки.

Условие хг = /г(х,у,г) = сопз!, г = 1,2,3 определяет коорди­ натную поверхность. Две координатных поверхности, соответству­ ющие различным координатам х г, х*, {ъ ф з) пересекаются по коор­ динатной линии, соответствующей третьей координате х к.

Единичные векторы \\(х1 ,х 2,х 3)у \2(х1,х 2ух3)у \ъ(х1 ,х 2,х 3)ука­ сательные к координатным линиям а?1, х2уж3, являются локальными базисными векторами.

В качестве локальных базисных векторов можно выбрать тройку направленных по координатным линиям векторов (не обязательно единичных), которые определяются уравнениями:

е \ { х 1 , х 2 , х 3 ) = у / д п \ 1 , е 2 ( х 1 , х 2 у х 3 ) = у 'р м Ь ,

егС®1,®2,®3) = у^зз^з,

где ргг — компоненты метрического тензора:

Локальные базисные векторы ех, ег, ез могут быть выражены че­ рез орты 1^, к декартовой системы координат по формулам:

Интеграл по объему от функции

/(х,у,г) =/[х(х1,х2,х3),у(х1,х2,х3),г(х1,х2,х3)]

=Д /[х(хг,| * х2, х3),у(хг, х2, х3),г(хг,х2, х3)\^/дЛх1Лх2Лх3.

Интеграл по объему не зависит от выбора системы координат и может быть выражен непосредственно через тройные интегралы по х, у, 2 или х1, ж2, ж3.

В сферических координатах ^ = г2 з т 0.

С.6. Сферические функции

Гравитационный потенциал V во всех точках, находящихся на поверхности и вне Земли, удовлетворяет уравнению Лапласа:

Р/т (/х) называются присоединенными функциями Лежандра степе­