книги / Сферическая астрономия

Исключим из (5.53) виртуальную температуру Т у . Для этого вычис­ лим логарифмическую производную от (5.46):

которое и подставим в (5.53). В результате получим уравнение со­ стояния для влажной атмосферы, находящейся в гидростатическом равновесии:

7 +Нлча^МйН(т+^)(7 -мы*)

Теперь нужно выразить показатель преломления влажного воз­ духа п через плотность р. Из формулы (5.39) следует, что показатель преломления п в общем виде может быть представлен как:

где К \ , К 2, К 3, К 4 — постоянные, рс — парциальное давление СО2 . Обычно последним членом пренебрегают, так как его вклад состав­ ляет ~ 0,03%, тогда как точность коэффициентов равна 0,5%. Сами коэффициенты определяются из лабораторных измерений диэлек­ трической проницаемости воздуха в оптическом и радиодиапазоне.

Перепишем последнюю формулу в виде:

Для радиоволн значения коэффициентов (по данным Тэйера):

Кх = 77,60 ± 0,014 К/мбар,

К2 = 64,80 ± 0,08 К/мбар,

К3 = (3,776 ± 0,004) х 105 К2/мбар.

По данным других авторов Кч — 71 ~ 72, Къ = (3,75 ± 0,03) х 105. Тогда

О

В сферически симметричной атмосфере: Аз = вес я АН, где я —зенит­ ное расстояние. Тогда

Первый и третий интегралы есть не что иное, как фазовый набег сиг­ нала в зените; обозначим эти интегралы как 2 а и 2 Ш9а второй и чет­ вертый —как Ьа и Ьы. Тогда полный набег <Ш может быть записан в виде:

где Р а (%) и ^ ( я ) — так называемые картирующие функции. В на­ шем случае они равны:

В настоящее время при обработке РСДБ и СР5 наблюдений ис­ пользуются различные картирующие функции. Они зависят от мно­

жества параметров: давления, плотности, влажности воздуха, широ­ ты и высоты антенны и т. д. и обычно представляются в виде:

компонент воздуха. Очевидно, что при г = 0° Р ^ю(0) = 1. Как показывают наблюдения РСДБ и СР5, ни одна из используемых функций не дает необходимой точности для вычисления задержки (~ 1 пкс). Поэтому часто «влажная» задержка является одним из неизвестных параметров и оценивается из наблюдений.

Для достижения высокой точности наблюдений используются СВЧ-радиометры, измеряющие содержание водяного пара вдоль пу­ ти распространения радиоволны по яркостной температуре неба на частоте 22,235 ГГц3. Несмотря на то, что СВЧ-радиометры достаточ­ но дорогие приборы, сейчас они устанавливаются не только рядом с радиотелескопами, но и рядом с СРЗ антеннами4. В качестве при­ мера на рис. 5.10 показано изменение «сухого» и «влажного» набега в зените за 21 и 22 октября 2004 г. в Брюсселе. Задержка радиосиг­ нала в сухой атмосфере может достигать ~ 7,7 нс (в линейной мере 2,3 -г 2,4 м); наличие водяного пара в атмосфере приводит к задерж­ ке равной 0,5 -г 0,8 нс (или фазовому набегу 0,15 ч- 0,25 м).

Вычислим, сначала фазовый набег в зените. Имеем:

По определению, молекулярная масса газа, состоящего из нес­ кольких компонентов, равна сумме произведений молекулярных масс Мг на объемное содержание г» всех компонент. В частности, для сухого воздуха (по данным из таблицы 5.2) находим, что

3Частота 22,235 ГГц (длина волны примерно 1,35 см) соответствует частоте излу­ чения в одной из спектральных линий молекулы воды Н 2 О.

4См., например, сайт Королевской обсерватории Бельгии (Брюссель): Ьир://брза1т.ота.Ье/Тгоро8рЬепс-Ргос1ис1;з/

уровне моря и на границе тропопаузы (при ут = 11 км) равны, соот­ ветственно: Т8 = 288,15К и Тт — 216,65К

Используя простую двухслойную модель атмосферы, выраже­ ние (5.61) перепишем следующим образом:

где |К т| — расстояние до границы тропопаузы от центра Земли. Вы­ ше, как мы считаем, водяного пара нет, т. е. р^ = 0.

Переходя от геометрических высот <Мгк динамическим Лу соглас­ но выражению (5.49), а затем к давлению по формуле (5.52), полу­ чим, используя соотношение дк = —(5/5о)2ф / (дор):

где до — ускорение силы тяжести, которое может .быть найдено по формуле (3.26), ро —полное давление воздуха в точке О, 8о — гео­ центрическое расстояние точки О, от которой отсчитываются дина­ мические высоты у. Так как мы считаем, что источник В находится вне атмосферы, то верхний предел в интеграле равен нулю (рв = 0).

Интегрируя по частям (5.63), получим:

Для вычисления 1\ требуется знать закон изменения давления с высотой. При использовании модели двухслойной атмосферы в шкале высот, отсчитываемой от точки О, имеем:

где а = (до/9*)<*б-

Высота границы тропопаузы у'т = (у т - у 8о )Я з /д о , УзО —дина­ мическая высота точки О над эллипсоидом. Решением уравнения

ф9оМ

КТ Ф

будут функции:

где рт —давление на границе тропопаузы,

В результате для модели двухслойной атмосферы получим:

Интегралы легко вычислить, используя систему аналитических вычислений МАРЬЕ. Первый интеграл может быть представлен в виде ряда:

0,0017246 - 0,1568 х 10"6/1 + 49,7790-^.

То

Здесь мы предположили, что у'т « ут - Л, $о = 6378140 м. При вы­ числении М использовалась формула (5.59), в которой мы положи­ ли ра = 1000 мбар, рю = 13 мбар, и, значит, М = 28,8213. Второй интеграл при этих предположениях равен 0,0002266.