книги / Сферическая астрономия
..pdfСолнце пройдет 360° по эклиптике. Поэтому другое название пре цессии — предварение равноденствий. Ясно, что звездный год, или время, требующееся Солнцу для совершения полного оборота по эк липтике, будет длиннее тропического года (времени между двумя последовательными прохождениями Солнца через точку весеннего равноденствия) на
50','3 1296000" 365,2422 0,01417 суток.
За 0,01417 суток Солнце проходит дугу в 50"3, которая называется прецессионным смещением точки весеннего равноденствия.
На прецессионное движение оси вращения Земли накладывает ся колебательное движение: полюс мира описывает за 18,6 года эл липс с осями 18"4 и 13"7 относительно среднего положения. Это дви жение было названо нутацией. В результате полюс мира описывает волнистую линию на небесной сфере (рис. 6.1 и рис. 1).
Причиной прецессии и нутации является несферичность Земли и несовпадение плоскостей экватора и эклиптики. В результате гра витационного притяжения Луной и Солнцем экваториального утол щения Земли возникает момент сил, стремящийся совместить плос кости экватора и эклиптики (рис. 6.2). Как будет показано ниже, лунно-солнечный момент сил, вызывающий прецессию, пропорци онален г-3, где г —расстояние от Земли до Солнца или Луны. Из-за
близости Луны к Земле главную роль в прецессионном и нутацион ном движении полюса мира играет не Солнце, а Луна: влияние Лу ны примерно в два раза больше.
Из рис. 6.2 видно, что так как ЗА < 8 0 < 8 В , то \Т?а \ > 1*01> |Гв| и из векторных равенств Г 1 = Г^ - Го, Г 2 = Гв - Го следует, что пара сил Г 1 и Г 2 стремится повернуть плоскость экватора АВ по часовой стрелке. Из-за вращения Земли такого поворота не про исходит, но ориентация оси вращения изменяется: она описывает в пространстве конус. Угол между осью вращения Земли и осью ОЩг равен углу наклона эклиптики к экватору: е « 23?5.
Направление движения оси определим из следующих соображе ний. Воспользуемся для этого теоремой Резаля, используемой при построении теории гироскопов2. Эта теорема, по существу, является интерпретацией теоремы об изменении углового момента тела (6.1). Так как производная сСН/сИ представляет собой «скорость» конца вектора Н, то можно сформулировать теорему Резаля следующим образом: скорость конца вектора углового момента тела равна мо менту внешних сил, приложенных к телу.
Пусть к оси вращения гироскопа приложена сила Г, как пока зано на рис. 6.3. Если тело не вращается, то под действием силы Г ось Ог тела будет перемещаться в сторону действия силы. Если тело вращается, то действие силы вызывает прецессию оси. Для просто ты будем считать, что ось Ох направлена вдоль оси главного момен та инерции гироскопа, и вектор вращения П также совпадает с этой осью. Момент силы Е относительно неподвижной точки О (центра гироскопа) будет направлен перпендикулярно плоскости, проходя щей через линию действия силы и точку О. Согласно теореме Ре заля, конец вектора Н начинает двигаться в направлении момен та силы Е со скоростью <Ш/<Й. Вектор угловой скорости прецессии шрг направлен по нормали к плоскости, содержащей вектор Е (или сШ/<Й), так как согласно формуле <й/<й = П х г для скорости точки твердого тела скорость конца вектора Н равна:
<Ж<й —(л)рг х Н .
2Гироскопом называется твердое симметричное тело, вращающееся вокруг оси симметрии с угловой скоростью, которая значительно превышает угловую скорость изменения положения самой оси симметрии в пространстве. Как мы увидим ниже, Земля, как вращающееся тело, в соответствии с этим определением может считаться гироскопом.
н
Рис. 6.3. Определение скорости прецессии.
Тогда, учитывая, что Н = (О, О, СП)Т (С —главный момент инер ции), получим
I» = и)рг х Н
или
(6.4)
где ф —угол между векторами Н и угловой скорости прецессии шрг.
Применительно к рис. 6.2 вектор Ъ момента пары сил Г 1 и Г 2 на правлен перпендикулярно плоскости листа в сторону от читателя. В ту же точку направлен и вектор скорости сСН/сИ. Следовательно, вектор и)рг направлен в точку южного полюса эклиптики П5. Угол ф равен 180° —е, т. е. з т ф = з т е. Это означает, что прецессионное дви жение оси ОРн происходит по часовой стрелке, если смотреть с се верного полюса эклиптики. Рис. 6.2 отражает расположение Земли и Солнца вблизи момента зимнего солнцестояния: в северном полу шарии — зима, в южном —лето. Нетрудно проверить, что для летне го солнцестояния (Солнце будет располагаться на рис. 6.2 слева от Земли) момент сил будет направлен в ту же сторону: перпендику лярно плоскости листа от читателя. В моменты солнцестояний мо мент сил, действующий на экваториальное утолщение Земли, мак симален; следовательно, угловая скорость прецессии максимальна.
Во время равноденствий момент сил равен нулю; значит, скорость прецессии равна нулю.
В действительности, мгновенная угловая скорость прецессии складывается из двух частей: первая обусловлена моментом сил притяжения Солнца, вторая —Луны. В результате этого суммарно го эффекта северный полюс мира описывает на небесной сфере кри вую, близкую к окружности, с угловым радиусом е « 23?5. Период оборота равняется 1296000"/50','3 « 25765 лет.
Изменение расстояния между Землей и Солнцем, Землей и Лу ной, наклон орбиты Луны к эклиптике приводят к изменению сил, действующих на экваториальное утолщение Земли. В результате ве личина угла между осями ОРп и ОЩг меняется: появляются вариа ции е с периодами, равными 18,6 лет, 9,3 года, 1 и 0,5 года, 13,7 суток и т. д. Это —нутационное движение оси вращения Земли.
Притяжение планетами экваториального утолщения Земли так же должно вызывать прецессионно-нутационное движение оси ми ра. Однако из-за большого расстояния и малой по сравнению с Солнцем массы влияние планет мало. Максимальные по амплитуде нутационные гармоники не превышают 0,25 мс дуги. В теории нута ции МАС 1980 г. этот эффект не учитывался. В новых, более точных теориях, планетная нутация обязательно учитывается.
Гораздо большее влияние планеты оказывают на положение плос кости эклиптики в пространстве. По определению, плоскость эклип тики — это плоскость, которая перпендикулярна к вектору орби тального углового момента системы Земля-Луна, причем скорость барицентра этой системы вычисляется относительно инерциальной системы отсчета. Влияние планет проявляется в возмущении орби ты Земли, т. е. в изменении положения вектора орбитального уг лового момента системы Земля-Луна в пространстве. В результа те полюс эклиптики смещается примерно на 0','5 в год (рис. 6.1). Смещение полюса эклиптики (прецессия от планет) приводит к до полнительному движению точки весеннего равноденствия навстре чу Солнцу на 12" в столетие и уменьшению наклона эклиптики к эк ватору, в настоящее время — на 47" в столетие.
Таким образом, лунно-солнечная прецессия приводит к поворо ту плоскости экватора Земли и, следовательно, небесного экватора относительно эклиптики. Прецессия от планет приводит к измене нию положения эклиптики в пространстве. На рис. 6.4 изображе-
Рис. 6.4. Лунно-солнечная прецессия и прецессия от планет. Положения плоскостей экватора на эпохи То и Т обозначены как А о и А , плоскостей эклиптики — как Е о и Е . Дуга эклиптики Т оТ ( ф х ) называется лунно
солнечной прецессией за промежуток времени * = Т —То. Дуга Т Т 1 (х) среднего мгновенного экватора А называется прецессией от планет.
ны положения плоскостей эклиптики Ео, Ей экватора Ло, Л на две эпохи То и Т. Одну из точек пересечения плоскости эклиптики Ео и плоскости экватора Ло, заданных на начальную эпоху То —точку весеннего равноденствия —обозначим как То. В результате прецес сии от планет эклиптика изменяет положение (на рисунке это поло жение обозначено буквой Е) и пересекает мгновенный экватор Л на эпоху Т в точке Т \. Определим еще точку Т как точку пересечения эклиптики начальной эпохи Ео и мгновенного экватора Л.
По определению, системы координат, задающие плоскости эк липтики и небесного экватора, являются средними системами коор динат, а точки весеннего равноденствия Т, То, Тх называются сред ними. Термин «средняя система координат», используемый в астро метрии, подразумевает, что изменение положения осей систем коор динат относительно инерциальной системы при преобразовании от одной эпохи к другой происходит только из-за прецессии. Если учи тывается нутация, то система координат называется истинной.
Положение экваториальной системы относительно эклиптиче ской может быть задано тремя углами Эйлера: Угол фх ра
вен дуге эклиптики ТоТ и называется лунно-солнечной прецессией за промежуток времени 1 = Т —Го. В результате лунно-солнечной пре цессии средняя мгновенная точка весеннего равноденствия Т сме щается навстречу движению Солнца по эклиптике из-за прецессион ного движения экватора. Это, как показано выше, соответствует пре цессионному движению северного полюса мира относительно север ного полюса эклиптики по часовой стрелке.
Угол х равен дуге ТТх среднего мгновенного экватора А и называ ется прецессией от планет. В результате прецессии от планет сред няя мгновенная точка весеннего равноденствия Тх смещается вдоль среднего мгновенного экватора. Наклон мгновенной эклиптики Е к экватору А равен е, а эклиптики Ео на начальную эпоху к экватору А равен е'. Если, согласно Ньюкомбу, обозначить через То промежуток времени в юлианских столетиях от эпохи 1900.0, то прецессионные параметры ф\, х, е' определяются следующими разложениями:
фг = (5037','084 + 0"493Т0)* - 1"072*2,
X = (12"473 - 17887Т0)* - 27381*2,
е' = е + (070606 - 070092Т0)*2 - 0700773*3.
При I — 0 , т. е. для любой начальной эпохи, ф\ = 0 , х = 0, г1= е. В начальную эпоху, согласно исследованиям Ньюкомба, средний (по астрометрической, а не математической терминологии) наклон эк липтики к экватору равен
е = 23°27'08'/26 - 46"845Г0 - 0''0059Г02 + 0"00181Го3.
Так как последняя формула не содержит Т, то она определяет на клон эклиптики любой начальной эпохи То к экватору этой эпохи.
В соответствии с решением МАС (1976 г.), принявшим новые значения астрономических постоянных, коэффициенты разложе ний прецессионных параметров Ньюкомба были перевычислены. Если начальная эпоха То совпадает с фундаментальной ^000.0, то разложения имеют следующий вид:
фх = |
503877784* - Г/07259*2 - 07001147*3, |
(6.5) |
|
X = |
1075526* - 2738064*2 - 07001125*3, |
( 6.6) |
|
г = е0 - 4678150* - |
070059*2 + 07001813*3, |
(6.7) |
|
е' = е0 + 0705127*2 - |
07007726*3, |
(6.8) |
Из-за малости прецессионных постоянныхр\, (71 получим из тре угольника ТТоЛГ, который можно считать плоским, соотношения между р ь <71 ига, п:
га = р1 созс'—^1 , |
(6 .1 2 ) |
п = р18те'. |
(6.13) |
Величины га, п называются прецессией по прямому восхождению и склонению, соответственно. Значения прецессии по прямому вос хождению и склонению для эпохи32000.0:гао = 4612','4362/столетие, по = 2004','3109/ столетие.
Если исключить из постоянной лунно-солнечной прецессии вклад планетной прецессии, то получим годичную величину прецессии по долготе р\
р = Р1— <71соз г '. |
(6.14) |
Принятое значение постоянной прецессии по долготе для эпохи }2000.0 равно 50','290965/год = 5029','0965/столетие.
6.2. Определение матрицы прецессии
Явление лунно-солнечной прецессии заключается в повороте плоскости экватора относительно плоскости эклиптики. Если с плос костью экватора связана система координат, то это означает, что прецессия приводит к ее вращению относительно инерциальной си стемы координат. Чтобы учесть влияние прецессии на координаты звезд, используем матричный метод.
Пусть положение экваториальной системы координат с началом в точке О в эпоху То определяется полюсом мира 2о и плоскостью экватора, которая задается осями О Хо, ОУо* Эпоха То часто совпада ет с одной из фундаментальных эпох (например, 32000.0). Ось О Х о направлена в точку весеннего равноденствия То. В результате пре цессии экватор поворачивается и в эпоху Т займет другое положе ние, определяемое полюсом 2 и точкой весеннего равноденствия Т, в которую направлена ось О Х (рис. 6 .6 ). Положение системы О Х У 2 относительно ОХоУоХо определяется с помощью трех углов Эйлера, которые в обозначениях Ньюкомба имеют вид: (а ^ а ^ а - Согласно определению Ньюкомба: дуга АУ равна ха, АУо = Сл; угол ва равен двугранному углу между плоскостями экваторов. Очевид но, что дуга То Л равна прямому восхождению восходящего узла А
Рис. 6.6. Определение прецессионных параметров Ньюкомба Са , х а ^Оа -
экватора эпохи Т на экваторе эпохи То: ТоЛ = 90° —Сл- Соответ ственно дуга Т А равна прямому восхождению точки А, отсчитывае мому от точки Т по экватору эпохи Т: Т А = 90° 4- гд.
Как уже говорилось, по соглашению, системы координат, изме няющие свое положение только из-за прецессии, называются сред ними. Следовательно, системы координат ОХоУо^о>О Х У 2 являют ся средними на эпохи То и Т. Матричное уравнение
г0 = Р г |
(6.15) |
определяет преобразование координат единичного вектора г из сред ней системы в эпоху Т к координатам единичного вектора го в эпо ху То. Матрица Р называется матрицей прецессии и определяет по ворот средней системы за счет прецессии за промежуток времени Т —То. Матрица Р является ортогональной. Поэтому обратное пре образование от средней системы в эпоху То к средней системе в эпо ху Т легко найти, заменив Р на транспонированную матрицу Р Т:
г = Р т г0. |
(6.16) |
Явное выражение матрицы прецессии легко найти, воспользо вавшись матрицами вращений (2.15). Три правых поворота: пер вый — относительно оси 0 2 на угол второй — относительно
линии узлов, с которой совмещается ось ОУ, на угол — 6а , и тре тий —относительно оси О2о на угол Сл переводят систему О ХУ 2 в ОХоУо2о. Таким образом матрица преобразования Р координат век тора, заданных на эпоху Т, к координатам на эпоху То равна
Р = Кз « а )Р2(-0а )Кз Ы ). |
(6.17) |
Обратное преобразование координат от эпохи То на эпоху Т |
|
определяется матрицей Рт: |
|
Р т = К 3 ( - г А ) К 2 (вА ) К 3 (- СА )- |
(6.18) |
Следовательно, при переходе от эпохи То к эпохе Г экваториаль ные координаты преобразуются по матричному уравнению:
(созс^созаЛ |
(соз й) соз ао |
|
|
СОЗ 6 81П а |
= Р Т |
соз й) з т ао |
(6.19) |
^ 81П 6 ) |
\ |
81ПЙ0, |
|
где координаты звезды ао, #о относятся к экватору эпохи То, а а, 6 — к экватору эпохи Т.
Численные выражения прецессионных величин ха,®А, С,А были найдены Ньюкомбом частично на основе теории прецессии, частич но из наблюдений, в виде разложений по двум параметрам: I и 2', причем I' = То —32000.0 и Ь = Т —То равны числу юлианских столе тий от начальной эпохи до фундаментальной эпохи 3 2 0 0 0 . 0 и произ вольной эпохи Т от То. Если начальная эпоха То совпадает с эпохой 3 2 0 0 0 . 0 (при этом I' = 0), разложения принимают более простой вид
С4 = о,5ш0*+ 0','30188*2+ 07017998*3,
= 0, 5ш0* + 1709468*2 + 0','018203г3, |
(6.20) |
вл = п0г - 0742665*2 - 07041833*3,
где то , по —прецессии по прямому восхождению и склонению для эпохи 32000.0. Э т и выражения были получены Лиске и др. на основе разложений Ньюкомба в системе астрономических констант МАС 1976 г.