книги / Сферическая астрономия

УЕК к системе 1ТК.Р2000 МСВЗ рекомендует использовать средний эллипсоид 1ЕК596.

3.Координаты телескопов из системы 1ТКЕ2000 преобразуют­ ся в геоцентрическую небесную систему координат (ССКЗ), движущуюся вместе с Землей. Это преобразование включает ряд поворотов систем координат, которые представляются в результате одной матрицей вращения (6.54).

4.Используя преобразования Лоренца, координаты телескопов преобразуются к системе отсчета ВСКЗ с началом в барицен­ тре Солнечной системы.

5.Задержка прихода сигнала на антенну с номером 2 вычисляет­ ся в шкале координатного времени в барицентрической систе­ ме координат. К полученной задержке добавляется гравитаци­ онная задержка сигнала.

6.С помощью обратного преобразования Лоренца задержка из барицентрической преобразуется в геоцентрическую небесную систему, движущуюся с Землей, и вычисляется геометриче­ ская геоцентрическая задержка.

7.Для вычисления расчетной задержки к геометрической за­ держке добавляются поправки, вызванные рассинхронизаци­ ей часов, задержкой сигнала в тропосфере и ионосфере Земли.

Чтобы получить частоту интерференции, необходимо продиф­ ференцировать по времени выражение для задержки.

7.2. Вычисление гравитационной задержки

Радиосигнал в Солнечной системе распространяется в гравита­ ционном поле, которое создается Солнцем и другими телами. С до­ статочной точностью гравитационное поле Солнца и планет мож­ но аппроксимировать полем тяготения точечной массы. В этом слу­ чае для вычисления гравитационной задержки можно использовать формулы, полученные в § 5.6. Как говорилось, в гравитационном поле не только искривляется траектория фотона, но и изменяется его координатная скорость. Если первая причина приводит к изме­ нению положения источника на небе, то вторая — к дополнитель­ ной задержке сигнала при прохождении им гравитационного поля.

Изменение скорости фотона пропорционально С М / гс2 (5.135). Лег­ ко показать, что изменение длины пути вследствие отклонения тра­ ектории фотона от прямолинейной является величиной второго по­ рядка малости по параметру С М /гс2. Поэтому этим эффектом, по сравнению с изменением скорости фотона, можно пренебречь.

Задержку сигнала в гравитационном поле в этом случае мож­ но рассчитать, взяв прямолинейную траекторию фотона (рис. 7.1). Пусть событие испускания фотона описывается координатами 18, а приема —1е>те{1е). Так как при прохождении сферичёскйсимметричного гравитационного поля траектория фотона лежит в плоскости, то для вычисления задержки введем систему координат (ж, у) с началом в центре гравитирующего тела, причем ось ж напра­

вим параллельно волновому вектору к.

Уа

X

Рис. 7.1. Гравитационная задержка сигнала в поле Солнца.

В этой системе координат для вычисления гравитационной за­ держки воспользуемся уравнением (5.135). Для этого перепишем уравнение (5.135) следующим образом:

Так как г = у / х 2 + Гд, то интегралы тоже легко вычисляются:

Ф е - * » ) = ( Х е - Жв)+

Первый член в формуле (7.6) представляет геометрическую задерж­ ку сигнала в ньютоновом приближении, второй и третий члены — релятивистскую задержку сигнала. Для численной оценки реляти­ вистской задержки важен лишь второй член в (7.6), так как третий член дает слишком малый вклад.

Таким образом, в присутствии гравитационного поля массивного те­ ла свету необходимо большее время для прохождения данного рас­ стояния, чем следует из ньютоновской теории тяготения.

Чтобы найти гравитационную задержку для радиоинтерферо­ метра, воспользуемся уравнениями (7.3) и (7.7):

Здесь мы учли, что в общем случае направление на источник из двух точек с барицентрическими радиусами-векторами гх(^х), г2(*2) может различаться и определяется единичными векторами 8х(*х)> 3 2 (^2 ).

При наблюдении галактических или внегалактических радиои­ сточников справедливы соотношения: г3 > гх, г8 » г2. Поэтому можно записать, что

\г8(г8) - Г*(Ъ)| « (гз(1з) - Т г ( и ) ) -3, га - г5 • 8г = Г8( 1 - 8 • 8*),

где 8 = г3/г 8,г = 1,2.

Легко выразить векторы 8х, 82 через 8. Если обозначить через г*в радиус-вектор источника относительно телескопа г, то

Гг3 = Г 3 - Гг, 8г = Г*в/г*„

Разлагая квадратный корень по малому параметру, получим:

Значит

и в окончательном виде гравитационная задержка

Полная гравитационная задержка при распространении сигнала в Солнечной системе равна сумме задержек, вызванных гравитаци­ онным полем всех планет, включая Луну, кроме Земли. В форму­ ле (7.8) векторы гх,Г2 являются радиусами-векторами телескопов относительно гравитирующего тела с массой М. Вклад Юпитера и Сатурна в гравитационную задержку может достигать нескольких сотен, а Луны —нескольких пикосекунд. Величина гравитационной задержки, вызываемой полем Солнца, существенно зависит от поло­ жения Солнца относительно радиоисточника: при угловом расстоя­ нии 1° задержка ~ 40 нс, при расстоянии 180° —400 пкс.

Для Земли гравитационная задержка выражается той же форму­ лой (векторы 1*1 , Г2 являются радиусами-векторами телескопов в си­ стеме ССК5) и составляет ~ 20 пкс.

7.3. Вычисление геометрической задержки

Для вычисления геометрической задержки будем считать, что радиоисточник находится на бесконечно большом расстоянии от на­ блюдателя, т. е. фронт приходящей волны —плоский. Найдем сна­ чала выражение для задержки в барицентрической системе отсчета (см. §7.1, пункт 5), используя уравнение (7.3).

Так как вычисления задержки должны выполняться для момен­ та времени прихода фронта волны на телескоп №1, т. е. то разло­ жим вектор Г2 (*2 ) в ряд:

Для телескопов, расположенных на Земле, скорость |г2 1~ 30 км/с, ускорение |г2 1~ 10-2 м/с2. Для максимальной базы, реализуемой на Земле (~ 10000 км), задержка — 0,03 с. Значит, вклад второго члена в длину вектора Г2 равен ~ 0,9 км, третьего —менее 0,01 мм. Отсюда делаем вывод, что по сравнению с точностью вычислений (0,3 мм) вкладом ускорения можно пренебречь.

В момент прихода фронта плоской волны на телескоп № 1 радиусвектор этого телескопа относительно барицентра В Солнечной си­ стемы равен 1*1 (^1 ), где время ТСВ. В момент времени радиусвектор телескопа №2 в этой же системе равен Г2 (^), а в момент при­ хода фронта волны —Г2 (^2 ) (рис. 7.2).

Пусть скорость второй антенны равна У 2 = г2. Тогда, используя уравнения (7.3) и (7.9), найдем

ны. Если з — единичный барицентрический вектор источника, то к = -8. Из (7.10) получим:

пункта может быть представлена с необходимой точностью в виде суммы двух векторов: барицентрической скорости геоцентра Уф и линейной скорости )У2 = П х г2, определяемой вращением Земли, т. е. У 2 = Уф 4- ^ 2.

На этапе редукции (см. §7.1, пункт 6) задержку (7.11) необходи­ мо пересчитать в геоцентрическую небесную систему. Для этого ис­ пользуем преобразования Лоренца, записанные в виде (5.98-5.99), и исправим их для учета гравитационного поля Солнечной системы в центре Земли.

Воспользуемся выражением (4.46) для интервала, которое запи­ шем в следующем виде:

где ф = V/ с2, II — гравитационный потенциал всех тел Солнечной системы в точке расположения часов. В уравнении (7.12) использо­ вано правило суммирования Эйнштейна. Если ввести новую систе­ му координат (2*, г*) такую, что

<И* = у/1 - 2ф(И « (1 - ф)(И,

йх*к = \/1 4- 2ф йхк « (1 4 - ф)йхк,

то интервал записывается в виде:

с2йт2 = с2(<И*)2 —{(1х*эйх*э).

Иными словами, в координатах (2*, г*) метрика является метрикой Минковского, и законы физики могут быть записаны в рамках спе­ циальной теории относительности. Координаты, помеченные звез­ дочкой, определены в барицентрической системе отсчета. Чтобы

найти соответствующие координаты и промежутки времени в систе­ ме, связанной с движущейся Землей, которые по-прежнему будем отмечать штрихами, необходимо выполнить преобразования Лорен­ ца (5.98-5.99). Запишем их в дифференциальной форме:

(1х*кУ к йх'3 = ах*3 + ( 7 - 1) у 2 V3 -

Если ограничиться членами порядка с 2, то

~V2 ~ 1 + 2 ^ ’

Исключая координаты со звездочкой с помощью уравнений (7.13), получим

Обратное преобразование легко найти с помощью матричного ме­ тода. Для этого необходимо записать уравнения (7.14-7.15) в мат­ ричном виде, т. е. определить матрицу К *, аналогичную матрице К (5.95), и вычислить обратную матрицу (К*)~г =

где: 7 —1 = 7', 1 + ф = ф\ /3 = У/с, У = Уф —барицентрическая ско­ рость центра масс Земли. Из (7.16) следует, что дифференциальное преобразование координат и промежутков времени из движущейся