41. Простейшие задачи квантовой механики (потенциальный барьер) (лекция 11).

Пусть частица движется слева на право, встречая на своем пути потенциальный барьер высотой U0 и шириной (b – a). Зададим потенциальную функцию:(рис 1)

По классике – частица, налетающий на барьер справа из области I не может попасть в область III, для неё барьер непроницаем.

По квантовым представлениям – происходит частичное «просачивание» частица в область II. При достаточно тонком потенциальном барьере частица имеет шанс попасть в область III, недоступное для «классических» частиц. Такое просачивание через потенциальный барьер носит название туннельного эффекта и играет существенную роль в ряде физических явлений. Математическое туннельного эффекта приводит к необходимости решать уравнения Шредингера для областей I, II, III.

Граничные условия:

Решения уравнений (2) имеют вид:

Коэффициент прозрачности барьера, ширина (b – a) = I:

D – вероятность прохождения, коэффициент прозрачности. R – вероятность отражения.

Оценим коэффициент прозрачности при:

ОБЩАЯ ФОРМУЛА:

При преодолении потенциального барьера частицы как бы проходит через «туннель»:

42. Квантовый гармонический осциллятор (лекция 12).

Уравнения Шредингера для гармоничного осциллятора:

В процессе решения требование ограниченности волновых функций на бесконечности автоматически приводит к квантованию энергии осциллятора.

Спектр энергий частицы эквидистантен и расстояние между уровнями пропорционально частоте колебаний классического осциллятора.

Правила отбора, накладываемые на изменение квантового числа при переходе системы из одного состояния в другое для ГО выражается сл. образом:

Выражения для собственных функций ГО:

Графики:

43. Атом водорода по Бору (лекция 12).

Бор постулировал, что:

- в атоме в свободном состоянии электрон не излучает;

- в атоме существуют стационарные, не меняющиеся со временем орбиты электрона;

- излучения и поглощение происходит при переходе атома из одного стационарного состояния в другое и частота света, излучаемого атомом, связана с разность энергий стационарных состояний соотношением , где Е1 и Е2 – энергии атома в конечном и начальном состояниях.

В атоме реализуются только такие орбиты, на которых момент импульса электрона кратен постоянной Планка, т.е., где m – масса электрона, r – радиус электрона, v – скорость электрона.

Для атома водорода в основном состоянии (Z = 1; n = 1):

Для водорода Z = 1, и для его набора энергетических стационарных состояний получим:

Система уровней энергии атома водорода:

44. Опыт Франка и Герца. Доказательство справедливости теории Бора.

При Uс = 4,9 В ток резко падал, затем начинал снова резко расти, а при Uс = 9,8 в снова появлялся скачок, но уже менее резкий. Атомы ртути, так же, как и атомы водорода обладают дискретными энергетическими уровнями, поэтому электроны с небольшой энергией их возбудить не могут. возбуждение атома, т.е. переход с нижнего на один из верхних уровней, происходит в том случае, когда атому передаётся энергия, равная разно чти энергий этих уровней. При достижении этой энергии электроны испытывают неупругие столкновения с атомами и передают им практически всю свою энергию число электронов, попадающих на анод, при этом резко уменьшится.

Ионизационный потенциал – это энергия, необходимая для отрыва электрона от атома, деленная на заряд электрона.

Ток начинается при Ui = 13,6 эВ и с увеличением U; быстро растёт. Ионизация атома водорода означает выбрасывание электрона с нижнего (основного) уровня атома (Е = -13,6 эВ) в область непрерывного спектра (Е>0) и может осуществляться, следовательно, при столкновениях атомов и электронов с энергиями не ниже 13,6 эВ. Это была линь 1 степень к созданию квантовой механики.