Fa_book

Министерство образования РФ

Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет ½ЛЭТИ“

ОСНОВЫ ФУНКЦИОНАЛЬНОГО АНАЛИЗА

Методические указания по курсу ½Математический анализ“

Санкт-Петербург Издательство СПб ГЭТУ ½ЛЭТИ“

2003

УДК 517.5 Основы функционального анализа: Методические указания по курсу

½Математический анализ“ / Сост.: И. Г. Зельвенский, А. М. Коточигов, Н. А. Широков. СПб.: Изд-во СПбГЭТУ ½ЛЭТИ“, 2003. 32 ñ.

Содержат краткий обзор базовых понятий функционального анализа и двух его разделов спектральной теории операторов и принципа непо движной точки.

Предназначены студентам специальности ½Прикладная математика “

технических вузов, а также бакалаврам специальности 510200 и инженерам специальности 073000.

Утверждено редакционно-издательским советом университета

в качестве методических указаний

c СПбГЭТУ ½ЛЭТИ“, 2003

Огромный по объему и приложениям аппарат, объединяемый общим названием ½функциональный анализ“, невозможно даже бегло изложить

в семестровом курсе лекций и тем более в небольшом тексте. Лектор, чи тающий такой курс, всегда стоит перед выбором, что из обязательного, необходимого, нужного включить в курс. Не менее трудные задачи стоят и

перед студентами. Как бы ни старался лектор сказать все ½обязательное “,

времени и терпения аудитории не хватит, а калейдоскоп новых терминов и понятий затрудняет восприятие курса.

Первая часть издания (гл. 1 и 2) содержит сжато изложенную азбуку функционального анализа основные определения и факты, составляю щие базу развития любого направления теории. Вторая часть (гл. 3 и 4) включает в себя обсуждение двух ветвей функционального анализа: спек тральной теории операторов и принципа неподвижной точки (мощного ме тода решения нелинейных уравнений). В этих главах излагаются основные теоретические идеи и приводятся комментарии, поясняющие взаимосвязь и происхождение приведенных результатов. Подчеркнем, что данные мето дические указания являются лишь ориентиром, помогающим изучать курс по лекциям и книгам. Приведенный в конце список литературы отража ет наиболее доступную по тиражам и содержанию литературу, вне этих ограничений он мог бы быть значительно расширен. В списке литературы приведены также два задачника [5, 11], на которые нет прямых ссылок. Они рекомендуются для самостоятельной работы только решая задачи, можно почувствовать, насколько правильно и глубоко усвоен теоретиче ский материал.

1.Банаховы и гильбертовы пространства

1.1.Введение

Все линейные пространства, рассматриваемые далее, являются или ве щественными, или комплексными. В тех случаях, когда важно, является

основное поле полем R или полем C, будем это явно указывать. Важным примером линейного пространства является пространство Ck[a, b], состоя

щее из k раз непрерывно дифференцируемых функций, определенных на отрезке [a, b]. Через C [a, b] = C0[a, b] обозначим пространство непрерыв

ных функций на [a, b]. Следует отметить, что значения принадлежащих этим пространствам функций x(t) могут быть как вещественными, так и комплексными. Напомним, что линейное пространство E называется беско нечномерным (dim E = ∞), если в нем для любого натурального числа n найдется n линейно независимых элементов.

Пример 1.1. Так как функции 1, t, t2, . . . , tn линейно независимы для любого n, òî dim C [a, b] = dim Ck[a, b] = ∞.

3

Определение 1.1. Подмножество L E линейного пространства E называется линейным многообразием, если для любых x, y L и для лю бых чисел λ, µ линейная комбинация λx + µy L.

Пример 1.2. Пространство C [a, b] линейное многообразие в про странстве E [a, b] всех вещественных функций на [a, b].

Пример 1.3. Пространство Ck[a, b] линейное многообразие в про странстве Cl[a, b] äëÿ âñåõ k > l > 0.

Определение 1.2. Пусть L линейное многообразие в линейном про странстве E è x0 ErL. Множество x0 + L = {x0 +y : y L} называется L конечномерно, то размерностью аффинного многообразия x0 + L называется размер

ность L.

Пример 1.4. Все прямые и плоскости в R3, не проходящие через 0, являются аффинными многообразиями.

Пример 1.5. Множество решений линейного неоднородного диффе ренциального уравнения порядка n с непрерывными коэффициентами и

правой частью аффинное многообразие размерности n в пространстве

C [a, b].

Определение 1.3. Подмножество W пространства E называется âû x1, x2 W множество W

x1, x2

Определение 1.4. Любое отображение линейного пространства в множество вещественных чисел называется функционалом. Вещественный

функционал p(x) в пространстве E называется выпуклым, если для любых x1, x2 E и для любого t [0, 1] выполняется неравенство

p((1 − t)x1 + tx2) 6 (1 − t) p(x1) + t p(x2).

Упражнение 1.1. Докажите, что если

в пространстве E, x0 E, à c R, то множества Q = {x E : p(x− −x0) < c} è Q = {x E : p(x − x0) 6 c} выпуклы.

4

1.2.Нормированные пространства

Определение 1.5. Линейное пространство E называется нормиро ванным пространством, если каждому элементу x E поставлено в соот ветствие вещественное число kxk (норма x) так, чтобы:

1) kxk > 0, kxk = 0 x = 0; 2) kλxk = |λ| · kxk;

3) kx + yk 6 kxk + kyk.

Пусть E нормированное пространство. Множество Or(x0) = {x E : kx − x0k < r}, ãäå x0 E, à r > 0, называют открытым шаром радиуса r с центром в x0. Соответственно, замкнутый шар ýòî Or(x0) = {x E : kx − x0k 6 r}.

Упражнение 1.2. Докажите, что kxk является выпуклым функцио

го неравенства Коши Буняковского ([4], с. 132). Получившееся евклидово пространство обозначим через Em.

чившееся пространство обозначим через cm.

Прежде чем перейти к описанию более сложных примеров нормиро ванных пространств, введем естественное понятие предела последователь

ности. Говорят, что последовательность элементов xn нормированного про странства стремится ê x0, åñëè kxn − x0k → 0.

Легко проверяется, что в пространстве cm сходимость покоординатная, а так как всегда kykê 6 kykñ, то это же относится и к пространству Em.

Продолжим приводить примеры нормированных пространств.

пространство обозначим через lmp . Аксиома треугольника для этой нормы неравенство Минковского ([4], с. 132).

1

Em = lm2 , à òàê êàê kxkê 6 kxkp 6 mp kxkê, то сходи мость в lmp , êàê è â cm, покоординатная. Эти определения легко переносятся на бесконечномерную ситуацию.

5

Упражнение 1.3. С помощью неравенства Минковского докажи те, что введенная выше норма удовлетворяет неравенству треугольника. Обратите внимание на то, что именно полученное неравенство влечет за

собой замкнутость множества lp относительно сложения. Проверьте, что для любой последовательности x числа kxkp не возрастают с ростом p è

kxk∞ = lim kxkp, если хотя бы одно из чисел kxkp конечно.

p→∞

Упражнение 1.4. Введите в пространстве l2 скалярное произведение (x, y) так, чтобы оно было линейно, симметрично и положительно.

Пример 1.10. Пространство C [a, b] становится нормированным по

сле введения нормы: kxk = max |x(t)|.

[a,b]

Сходимость по норме в C [a, b] называют равномерной сходимостью. Пример 1.11. Еще раз рассмотрим линейное пространство непрерыв

÷åì ïî-прежнему p [1, +∞). Неравенством треугольника в этом случае является неравенство Минковского для интегралов ([4], с. 132). Соответ ствующее нормированное пространство обозначим через Lep [a, b].

Сходимость в пространстве Lep [a, b] называется сходимостью в сред

íåì.

1.3.Подпространства нормированных пространств

Определение 1.6. Замкнутое линейное многообразие L в нормиро ванном пространстве E называется подпространством â E.

Пример 1.12. Многочлены степени не выше n образуют подпространство в C [a, b]; множество же всех многочленов подпространством не

P

является (рассмотрите lim

n xk

n→ ∞ k=0 k! ).

Определение 1.7. Расстоянием ρ (x, L) от точки x до подпростран

ñòâà L называется inf kx − uk.

u L

В отличие от пространств со скалярным произведением, в произволь ных нормированных пространствах нет понятия ортогональности (перпен дикулярности), но в них все же справедлива следующая более слабая ½тео

рема о почти перпендикуляре“, принадлежащая Риссу ([4], с. 129; [10], с. 36).

6

Теорема 1.1. Пусть L подпространство нормированного пространства

E, причем L 6= E. Для любого ε (0, 1) существует элемент zε / L, kzεk = 1, такой, что ρ (zε, L) > 1 − ε.

Определение 1.8. Подмножество M нормированного пространства E называется плотным в E, если для любого x E и любого ε > 0 найдется такой элемент u M, ÷òî kx − uk < ε.

Содержательный пример линейного многообразия, плотного в норми рованном пространстве, доставляет известная теорема Вейерштрасса (см.,

например, [13], с. 580), согласно которой множество всех тригонометри

n

P

ческих многочленов a0 + ak cos kx + bk sin kx плотно в пространстве

k=1

непрерывных на [−π, π] функций, удовлетворяющих граничному условию

x(−π) = x(π), с нормой kxk = max |x(t)|.

[−π,π]

1.4.Банаховы пространства

Определение 1.9. Пусть X нормированное пространство. После довательность {xn} X называется фундаментальной, если для любого ε > 0 существует номер N = N(ε), такой, что для любых номеров n > N и любых натуральных p выполняется неравенство kxn+p − xnk < ε.

Легко показать, что любая сходящаяся последовательность является фундаментальной.

Определение 1.10. Нормированное пространство называется íûì, если в нем любая фундаментальная последовательность сходится. Полное нормированное пространство называется банаховым.

Пространства Em è C [a, b] ([12], с. 425) банаховы, пространство Lep [a, b]

неполное.

В банаховых пространствах справедлив следующий принцип вложен ных шаров ([10], с. 55).

Теорема 1.2. Пусть в банаховом пространсòâе дана послеäîватель

Все конечномерные пространства сепарабельны. Нормированные про

странства C [a, b] è Lep [a, b] также сепарабельны. Приведем пример несепа рабельного пространства.

7

Пример 1.13. Несепарабельно пространство последовательностей l∞ (см. пример 1.9). Представим числа из отрезка [0, 1] в виде двоичных дро

бей и каждой такой дроби естественным образом сопоставим последова тельность (элемент пространства l∞). Все эти элементы различны и их множество несчетно.

Упражнение 1.5. Докажите, что при p < ∞ все пространства lp сепарабельны.

Определение 1.12. Пусть X бесконечномерное банахово простран

ство. Последовательность {ek}∞1 X называется базисом â X, если любой элемент x X может быть однозначно представлен в виде сходящегося

Замечание 1.1. Определения ряда, его сходимости и т. п. в норми рованных пространствах полностью соответствуют классическим. В част ности, в банаховых пространствах верна теорема Вейерштрасса о том, что

абсолютно сходящийся ряд (т. е. такой, у которого сходится числовой ряд

∞

P

kxkk ) является сходящимся.

k=1

Теорема 1.3. Банахово пространство со счетным базисом сепарабель

íî.

1.5.Гильбертовы пространства

Напомним, что скалярным произведением называется функция (x, y),

заданная на множестве всех пар элементов пространства и такая, что она линейна по первому аргументу, положительна, а при перестановке аргумен тов соответствующий коэффициент заменяется на сопряженное число. Лю

бое евклидово пространство со скалярным произведением ( , ) можно пре

p

вратить в нормированное, определив в нем норму формулой kxk = (x, x).

Определение 1.13. Пространство со скалярным произведением на зывается гильбертовым, если оно полно в норме, порожденной скалярным произведением.

В гильбертовых пространствах можно полностью решить задачу наи лучшего приближения, которой мы касались в теореме 1.1.

Теорема 1.4. Пусть M замкнутое выпуклое множество в гильбер товом пространстве H и точка x / M. Тогда существует единственный элемент y M, такой, что ρ (x, M) = kx − yk.

8

Следствие 1.1. Пусть L подпространство в гильбертовом простран стве H. Тогда существует единственный элемент y L, реализующий рас стояние от точки x HrL до подпространства L, ò. å. ρ (x, M) = kx −yk. При этом элемент x−y ортогонален подпространству L (короче: x−y L).

Следствие 1.2. Пусть L подпространство в гильбертовом простран стве H. Тогда для любого x H справедливо разложение x = y + z, ãäå y L è z L, причем это разложение единственное.

Определение 1.14. Элемент y из следствия 1.2 называется ортого нальной проекцией x на подпространство L.

Определение 1.15. Пусть L линейное многообразие в H. Ìíî

жество {h H : h L} называется ортогональным дополнением ê L è

обозначается L .

Теорема 1.5. L подпространство в H.

Теорема 1.6. Линейное многообразие L плотно в H тогда и только тогда, когда L = {0}.

1.6.Пополнение нормированного пространства

Теорема 1.7. Любое нормированное пространство E можно рассмат ривать как линейное многообразие, плотное в некотором банаховом про странстве Eb.

Идея построения пополнения пространства Eb òà æå, ÷òî è ïðè

переходе от рациональных чисел к вещественным. Рассмотрим множество всех фундаментальных последовательностей {xn} пространства E. Введем

на этом множестве отношение эквивалентности: последовательности {xn}

ный представитель класса xb) пространство Eb нормированное. Отожде ствим E с линейным многообразием стационарных последовательностей (т. е. последовательностей вида x, x, x, . . . ). Далее проверяется, что E плотно в Eb è ÷òî Eb полно, т. е. банахово.

Замечание 1.2. Åñëè E обладает скалярíûì произведением, то по

p

полняя его как пространство с нормой kxk = (x, x), получим гильбертово пространство.

9

Пример 1.14. Банахово пространство Lp [a, b] это пополнение про

тельность непрерывных на [a, b] функций, образующая соответствующую

R

определяется равенством (u, v) = (L) u(t)v(t) dt.

a

Отметим малозаметную, но важную деталь: в ходе пополнения при шлось перейти от функций к классам функций, объединяя в один класс все функции, норма разности которых равна нулю. Таковыми окажутся функции, отличающиеся значениями в одной или нескольких точках, и многие-многие другие. Никаких сложностей в работе с интегралами от та ких классов функций не возникает, но вопрос о значении функций такого класса в точке не имеет смысла (см. [4], с. 144).

Упражнение 1.6. Докажите, что при p < ∞ пространства Lp [a, b] сепарабельны.

2.Линейные операторы

2.1.Непрерывность и ограниченность линейных операторов

Определение 2.1. Пусть X и Y линейные пространства, оба ве щественные или оба комплексные. Оператор (отображение) A : X → Y с областью определения D(A) называется линейным, если D(A) линейное многообразие и A(λ1x1 + λ2x2) = λ1Ax1 + λ2Ax2 для любых x1, x2 D(A) и любых чисел λ1, λ2.

Ясно, что область значений R(A) любого линейного оператора A âñå

гда является линейным многообразием.

Естественным образом, аналогично пределу последовательности, опре деляются понятия предела оператора (в общем случае не обязательно ли нейного) в нормированных пространствах и непрерывности оператора в точке. Оказывается, судить о непрерывности линейного оператора в раз личных точках можно по его непрерывности в нуле пространства. Говорят,

что линейный оператор непрерывен в точке x0, если для любой последова

тельности {xn}, сходящейся к x0, lim Axn = Ax0.

n

Теорема 2.1. Пусть линейный оператор A всюду задан в нормирован ном пространстве X (т. е. D(A) = X). Если A непрерывен в точке 0 X, то он непрерывен в любой точке x0 X.

10