Fa_book

Теорема 3.6. Всякий компактный самосопряженный оператор имеет хотя бы одно собственное число.

Несложное доказательство этого утверждения основано на том, что свойство 4 самосопряженных операторов гарантирует наличие такой нор

мированной последовательности xn H, ÷òî (Axn, xn) → kAk. Далее из

условия компактности следует существование у этой последовательности сходящейся подпоследовательности. Ее предел и окажется собственным

вектором для собственного числа λ = kAk. На основе теоремы о суще

ствовании собственного числа строится доказательство главной теоремы о спектральном представлении компактного самосопряженного оператора.

Теорема 3.7.

1)Множество собственных значений компактного самосопряженного опе ратора A не более чем счетно.

n=1

оператора и проекторы на соответствующие собственные подпространства.

Идея доказательства теоремы так же проста, как и в теореме о раз ложении многочлена на множители. Если есть одно собственное число, то

½отделим“ его и к оставшемуся оператору вновь применим теорему о су

ществовании собственного числа. По многим причинам реализация этой идеи оказывается непростой технической задачей. Приведем план доказа тельства теоремы. Вначале строится разложение исходного гильбертова

пространства в прямую сумму собственных подпространств оператора A. Первое из них H1 состоит из всех собственных векторов собственного числа λ1, взятого из теоремы о существовании собственного числа. Затем пере

ходим к ортогональному дополнению пространства H1, проводим там ту же процедуру и выделяем следующее подпространство собственных векто

ðîâ H2 и т. д. Можно показать, что через n шагов получится ½приближе

n

P

íèå“ оператора в виде суммы λkPλk . Если на очередном ортогональном

k=1

дополнении оператор окажется нулевым, то теорема доказана. Если же процесс построения собственных подпространств окажется бесконечным,

то из условия компактности оператора следует, что последовательность λn

стремится к нулю. Чтобы завершить доказательство теоремы, достаточно

∞

Легко проверить, что у данной разности не может быть собственных чи сел и, следовательно, по теореме о существовании собственного числа этот оператор должен быть нулевым.

21

Примеры компактных операторов: 1) диагональные операторы в l2 (мультипликаторы), 2) блочно-диагональные операторы в l2 (локальное пе

ремешивание), 3) интегральные операторы в L2 [a, b] с суммируемым ядром

([4], ñ. 419).

Теорема о разложении показывает полную аналогию между конечно мерными операторами и компактными самосопряженными операторами. В этом случае все конструкции выдерживают предельный переход по раз мерности пространства. При переходе к более широким классам операторов прямые аналогии исчезают.

3.4.Интегральное представление самосопряженных операторов

Расплатой за отказ от условия компактности оператора является по явление в спектральном разложении интеграла вместо суммы. Не только создание такого представления, но и его использование требуют серьезных технических усилий и разработки новой концепции интеграла хотя бы по тому, что значениями этого интеграла оказываются не числа и даже не функции, а операторы в гильбертовом пространстве. Опишем только схе му построения операторного интеграла, необходимые новые понятия и воз никающие при этом трудности. Подробное изложение предлагаемой схемы можно найти в монографии [4], с. 341.

Пусть A линейный непрерывный самосопряженный оператор в гиль бертовом пространстве H. Начальный этап построения остается прежним. Пытаясь решить уравнение Ax = b, мы надеемся приблизить обратный оператор операторными многочленами, т. е. операторами вида ϕ(A), ãäå

ϕ(t) = a0 + a1 + · · · + antn многочлен. Простые алгебраические соображе ния показывают, что для приближения обратного оператора надо прибли зить многочленами функцию ψ(t) = 1/t. Такое приближение невозможно

на всей вещественной оси, но этого и не требуется. Как и в предыдущих, более простых случаях, надо получить приближение в окрестности точек спектра. Разумеется, если ноль попадает в спектр оператора, то он необра

тим и правильная постановка задачи о решении уравнения Ax = b требует анализа вектора b и либо констатации того, что задача не имеет решения, либо работы в подпространстве пространства H, на котором соответству ющая ½часть“ оператора A обратима (альтернативы Фредгольма). Труд

ности возникают в связи с определением спектра, поскольку собственных чисел у линейного непрерывного самосопряженного оператора может не быть вовсе.

22

должно было бы выполняться равенство 1 = λeit, что невозможно.

Необходимое расширение понятия спектра очень естественно и связано с учетом возможных предельных переходов в бесконечномерном простран

стве. Всюду далее спектром оператора A будем называть множество σ(A), состоящее из таких чисел λ, что найдется последовательность нормирован

Пример 3.3. λ = 0 принадлежит спектру любого компактного опе

ратора. Это следует из того, что его собственные числа λn стремятся к нулю. Подберем для каждого собственного числа нормированный собствен ный вектор xn и заметим, что Axn − 0 · xn = Axn = λnxn, lim kλnxnk 6

6 lim |λn| = 0. При этом ноль может не являться собственным числом.

Достаточно рассмотреть диагональный оператор, действующий в простран стве l2, по правилу A({xn}) = {2−nxn}. Оператор A компактный, но Ab = 0

тогда и только тогда, когда b = 0.

Пример 3.4. Вернемся к рассмотрению операторного умножения на независимую переменную в пространстве квадратично -суммируемых функ ций на окружности. Нетрудно показать, что его спектр совпадает с единич ной окружностью.

Главное свойство спектра отражает следующая теорема.

Теорема 3.8. Спектр любого оператора не пуст.

Эта теорема естественный аналог основной теоремы алгебры име ет громоздкое доказательство. Обсуждать его необязательно, так как в рассматриваемом случае спектральное представление можно доказать, не используя этот фундаментальный факт. Как уже отмечалось, отправной точкой конструкции является возможность вычислять операторные много члены. Заметим, что возникающее при этом отображение множества мно

гочленов {ϕ(t)} в множество операторов {ϕ(A)} является гомоморфизмом

алгебры многочленов (сопряженный многочлен переходит в сопряженный оператор, линейная комбинация обычных многочленов переходит в линей ную комбинацию операторных многочленов, то же относится к произведе ниям многочленов, все операторные многочлены перестановочны). Послед нее свойство наглядно показывает, что операторы -многочлены далеко не исчерпывают всех операторов, но их оказывается достаточно для описа

ния спектрального представления оператора A. Чтобы в этом убедиться,

необходимо проводить предельные переходы и, следовательно, нужны эф фективные оценки норм для операторных многочленов. Это оказывается возможным благодаря следующему результату.

23

Лемма 3.1. Пусть m = inf{(Ax, x) : kxk = 1}, M = sup{(Ax, x) : kxk = 1}. Тогда для любого многочлена ϕ kϕ(A)k = max {|ϕ(t)| : t [m, M]}.

Эта простая оценка позволяет определить операторные функции для любых непрерывных функций на отрезке [m, M]. Основание этого перехода

составляет теорема Вейерштрасса.

Теорема 3.9. Любая функция, непрерывная на замкнутом интерва ле, допускает равномерное приближение многочленами.

Приведем замечательное по конструктивности доказательство этого факта, найденное Бернштейном [14]. Пусть |f(t)| 6 A, t [0, 1], далее по

фиксированному ε подберем δ такое, что |f(t1) −f(t2)| < ε ïðè |t1 −t2| < δ

следует из неравенства Чебышева для среднего значения числа успехов

ïðè n испытаниях (вероятность успеха в единичном испытании равна t). Следствие 3.1. Для любой функции ϕ, непрерывной на промежутке

[m, M], определена операторная функция ϕ(A).

Чтобы доказать это утверждение, достаточно построить последова тельность многочленов ϕn, равномерно сходящуюся к ϕ. Ясно, что такая

последовательность является фундаментальной и на основании оценки лем мы 3.1 можно получить:

kϕn+k(A) − ϕn(A)k 6 max |ϕn+k(t) − ϕn(t)| → 0.

Таким образом, последовательность {ϕn(A)} имеет предел, не зависящий

от выбора последовательности многочленов ϕn.

Легко проверить, что операторные функции сохраняют все отмечен ные ранее свойства операторных многочленов.

Мощным инструментом для исследования операторов (не обязательно самосопряженных) является параметрическое семейство операторов R(µ),

которое называют резольвентой оператора A:

R(µ) = (A − µI)−1.

Теорема 3.10. Точка µ не принадлежит спектру оператора A тогда и только тогда, когда существует линейный непрерывный оператор R(µ).

Дальнейшее развитие этого подхода требует серьезной алгебраической подготовки глубокого изучения свойств банаховых пространств, элемен ты которых можно перемножать (банаховых алгебр). Подробно эта теория изложена в книге [9], с. 295.

Спектральную теорему для самосопряженного оператора можно дока зать на основе описанной процедуры построения операторных функций.

24

Начнем с рассмотрения семейства вспомогательных функций: ϕλ(t) = t − λ ïðè t > λ, ϕλ(t) = 0 ïðè t 6 λ.

Образуем семейство операторов Aλ, вычисляя операторные функции Aλ = = ϕλ(A). Обозначим через Hλ ядро оператора Aλ и через Pλ проектор

Hλ. Приводимая ниже теорема (свойства проекторов) позволяет назвать это семейство проекторов

ратора A.

Теорема 3.11. 1) Åñëè λ < m, òî Pλ = 0; åñëè λ > M, òî Pλ = I. 2) Åñëè λ 6 µ, òî Pλ 6 Pµ.

3) Спектральная функция непрерывна справа: Pλ = lim Pµ.

µ→λ+0

4)Проекторы Pλ коммутируют с оператором A.

5)Точка λ не принадлежит спектру A тогда и только тогда, когда спек

тральная функция постоянна в некоторой окрестности точки λ.

6) Точка λ является собственным числом оператора A тогда и только то

гда, когда спектральная функция разрывна в этой точке. 7) Если ϕ(t) > 0 ïðè λ 6 t 6 µ, òî [Pµ − Pλ]ϕ(A) > 0.

Спектральная функция позволяет получить интегральное представле ние оператора. Для любой непрерывной функции ϕ(t) и разбиения λ0 6

−∞

Это представление мощный инструмент исследования ограниченных самосопряженных операторов. Формальные конструкции позволяют рас ширить класс операторов, допускающих такое спектральное представле

ние. Будем говорить, что оператор A является нормальным, если он ком мутирует со своим сопряженным: AA = A A. Для любого ограниченного

нормального оператора можно построить семейство проекторов, парамет ризуемых точками комплексной плоскости, которые позволяют получить спектральное представление для оператора. Дальнейшее развитие теории представлений относится к неограниченным операторам. Интерес к ним вполне оправдан, так как к этому классу относятся все дифференциаль ные операторы, а они составляют основу математического моделирования. Простейший пример такого оператора оператор дифференцирования в

пространстве квадратично-интегрируемых функций H = L2 [a, b]. Новые

25

проблемы возникают потому, что область определения оператора не сов

падает со всем пространством. Эта трудность не исчезает, если исправить область определения, положив, например, H = {f : f0 L2 [a, b]}, òàê êàê

в этом случае образ оператора ½вылезет“ за пространство H. Полное изло

жение спектральной теории для неограниченных операторов можно найти в [1], с. 349, или [8], с. 333.

4.Нелинейный анализ. Принцип неподвижной точки

4.1.Сжимающие отображения

Наметим вкратце пути, позволяющие решать или хотя бы гарантиро вать решения для нелинейных функциональных уравнений. В этом случае невозможно получить такие же исчерпывающие ответы, как для уравне ний, определяемых линейными операторами. Большим и практически по лезным достижением является описание классов нелинейных задач, разре шимых тем или иным способом. Подробное изложение рассматриваемых здесь вопросов можно найти в книге [4]. Начнем с рассмотрения простей шего семейства таких задач, решение в которых можно наверняка найти методом итераций. Для линейных операторов этот результат установлен в теореме 2.8. Заметим, что ее доказательство не использует свойства ли нейности отображения, поэтому утверждения теоремы можно перенести на значительно более общую ситуацию.

Определение 4.1. Множество X называется метрическим пространством, если каждым x, y X поставлено в соответствие вещественное число ρ(x, y) (расстояние, èëè метрика), удовлетворяющее условиям:

1)ρ(x, y) > 0, ρ(x, y) = 0 x = y;

2)ρ(x, y) = ρ(y, x);

3)ρ(x, y) 6 ρ(x, z) + ρ(z, y).

Говорят, что последовательность точек xn X сходится к точке x X,

åñëè lim ρ(xn, x ) = 0. Понятия фундаментальной последовательности è

n→∞

полного метрического пространства вводятся так же, как и в нормиро

ванных пространствах.

Метрические пространства не обязаны быть линейными пространства ми, что бывает существенно при рассмотрении нелинейных операторов. Например, точки квадрата с рациональными координатами образуют мет рическое пространство с метрикой, наследуемой из плоскости. Множество всех точек квадрата образует полное метрическое пространство.

Рассмотрим операторные уравнения вида Ax = x, ãäå A произволь ный оператор, отображающий метрическое пространство X â ñåáÿ. Êàê è

26

в случае линейного оператора, решение такого уравнения называется непо движной точкой оператора ([6], с. 74). Заметим, что любое уравнение с

нелинейным оператором можно записать в виде Ax = x. Легко привести

примеры операторов (нелинейных), не имеющих неподвижных точек. Что бы получить аналог теоремы 2.8, потребуется еще одно определение.

Определение 4.2. Оператор A, отображающий метрическое про странство X в себя, назовем оператором сжатия, если существует та кое число α < 1, что для любых x1, x2 X справедливо неравенство

ρ(Ax1, Ax2) < αρ(x1, x2).

Теорема 4.1. Åñëè X полное метрическое пространство и A опе ратор сжатия, то уравнение имеет единственное решение x . Ïðè этом для любого x0 последовательность итераций xn = Axn−1

элементу x .

Простое доказательство этой теоремы основано на том, что оператор сжатия всегда порождает фундаментальную последовательность xn.

Пример 4.1. (Непрерывность неявной функции.) Рассмотрим урав нение F (x, y) = 0, пусть точка (x0, y0) удовлетворяет уравнению. Возни

кает естественный вопрос: можно ли выразить y через x в окрестности

точки x0? Теорема 4.1 гарантирует положительный ответ на этот вопрос, если функция удовлетворяет некоторым условиям гладкости. Пусть функ ция F непрерывна и имеет непрерывные частные производные в полосе

a 6 x 6 b, −∞ < y < ∞, причем 0 < m 6 6 M, тогда существует функция g, непрерывная на отрезке [a, b], такая, что F (x, g(x)) ≡ 0 ïðè x [a, b]. Функцию g естественно назвать неявной функцией. Чтобы дока зать это утверждение, рассмотрим оператор A (нелинейный!), заданный на

функция g, которая, очевидно, удовлетворяет соотношению F (x, g(x)) ≡ 0.

Упражнение 4.1. Покажите, что теорема перестает быть справед

ливой, если ослабить условие сжатия, потребовав выполнения неравенства ρ(Ax1, Ax2) < ρ(x1, x2). Рассмотрите X = R, Ax = π2 + x − arctg x.

Нетрудно проверить, что ослабленный вариант условия сжатия гаран тирует наличие неподвижной точки, если предположить, что метрическое

пространство X компактно (всякая последовательность точек содержит сходящуюся подпоследовательность).

27

4.2.Симплициальные приближения. Неподвижные точки

Условия, гарантирующие существование неподвижной точки, можно значительно ослабить. Однако расплатой за это становится полная некон структивность доказательства. Идея новой формулировки и ее доказатель ства основаны на следующем варианте теоремы о существовании корня:

если функция f непрерывно отображает отрезок [0, 1] в себя, то найдется неподвижная точка x . Справедливость последнего утверждения следует из того, что график функции соединяет точки (0, f(0)) è (1, f(1)), лежащие на сторонах квадрата, разделенных диагональю y = x, и, следовательно,

график и диагональ пересекаются, что и доказывает утверждение. Прове дение такой схемы доказательства в более высоких размерностях требует большой технической подготовки. Эта схема часто употребляется в реше нии нелинейных задач, поэтому кратко ее опишем. Первый шаг доказатель ства имеет дело с симплексами простейшими геометрическими объектами в пространстве Rn. Пусть x0, x1, . . . , xn такие точки в Rn, что векторы

x1 − x0, x2 − x0, . . . , xn − x0 линейно независимы, тогда симплекс

S(x0, . . . , xn) = {a0x0 + · · · + anxn : a0 + · · · + an = 1, ak > 0}

выпуклая оболочка точек x0 , x1, . . . , xn. Симплекс на прямой это отре

зок, симплекс на плоскости треугольник. Числа a0, a1, . . . , an однозначно

определяют точку симплекса и называются барицентрическими координа тами. В терминах этих координат естественно определяются вершины,

ребра, грани и центр симплекса. Например, центр это точка, у кото рой все координаты равны 1

n. Используя центральную точку, легко разбить

симплекс на более мелкие симплексы. Симплекс S(xn0, . . . , xnk ) образует грань исходного симплекса. Очевидное правило деления пополам одномер

ного симплекса распространяется по индукции на симплекс размерности n.

Таким образом, получаем для симплекса полный аналог половинного деле ния. Для анализа разбиений симплекса потребуются два вспомогательных утверждения.

Пусть S1, . . . , Sm некоторое разбиение симплекса. Рассмотрим про извольную функцию θ, отображающую вершины каждого из симплексов S1, . . . , Sm в множество {0, 1, . . . , n}. Назовем симплекс Sk нормальным (относительно функции θ), если все его вершины занумерованы разными числами.

Лемма 4.1. Пусть функция θ удовлетворяет следующему условию: если z вершина некоторого симплекса из рассматриваемого разбиения,

принадлежащая k-мерной грани исходного симплекса S(xn0, . . . , xnk ), то значение θ(z) должно равняться одному из чисел n0, . . . , nk. Тогда среди

симплексов разбиения имеется хотя бы один нормальный. Доказательство леммы, как и ее формулировка, носят технический

28

характер и позволяют вывести следующее вспомогательное утверждение.

Лемма 4.2. Пусть S(xn0, . . . , xnk ) симплекс в n-мерном банаховом пространстве и пусть существует система замкнутых множеств F0, . . . , Fn,

такая, что любая грань симплекса S(xn0, . . . , xnk ) содержится в объедине нии множеств Fn0, . . . , Fnk . Тогда пересечение всех множеств Fk непусто.

Условия леммы позволяют для любого разбиения симплекса постро ить функцию θ, удовлетворяющую условиям леммы 4.1, и, следователь

но, в разбиении найдется нормальный симплекс. При этом функцию мож но определить так, что если для вершины z выполняется θ(z) = k, òî

z Fk. Рассмотрим бесконечное семейство разбиений растущей кратно сти. В каждом из разбиений семейства выделим нормальный симплекс. У такого симплекса любое множество Fk

вершин. Следовательно, в каждом из множеств Fk найдется бесконечная последовательность точек zm(k), m = 1, 2, . . . , причем при всех m точки zm(0), . . . , zm(n) образуют вершины нормального симплекса разбиения крат

ности m. Остается напомнить, что с ростом кратности каждый симплекс

Fk,

чтобы получить общую предельную точку для некоторой подпоследова тельности построенных нормальных симплексов. Эта точка принадлежит

пересечению всех множеств Fk.

Теперь мы можем доказать существование неподвижной точки у непре рывного отображения симплекса в себя.

Лемма 4.3. Непрерывное отображение A, отображающее n-мерный симплекс банахова пространства в себя, имеет неподвижную точку.

Перейдем к барицентрическим координатам и опишем отображение A

в этих координатах:

bk = fk(a0, . . . , an), k = 0, . . . , n.

Функции fk непрерывны, поэтому множества Fk = {x S : ak > bk} удовлетворяют условиям леммы 4.2. Следовательно, найдется точка пе ресечения всех этих множеств. А так как по определению ak, bk > 0 è

PP

ak = bk = 1, òî ak = bk, k = 0, . . . , n, т. е. имеем неподвижную

точку.

Нетрудно показать, что любое выпуклое замкнутое множество, име ющее внутренние точки, можно непрерывно и взаимно -однозначно отобра зить на симплекс. Следовательно, в формулировке леммы 4.3 можно вместо симплекса рассматривать любое выпуклое замкнутое множество, имеющее внутренние точки. Окончательная формулировка принципа неподвижной точки содержится в следующем утверждении.

29

Теорема 4.2. (Принцип Шаудера.) В любом банаховом пространстве непрерывное отображение выпуклого компактного множества в себя имеет неподвижную точку.

Доказательство теоремы основано на существовании конечной ε-ñåòè ó

компактного множества, аппроксимации множества системой симплексов и кропотливых предельных переходах, позволяющих трансформировать лем му 4.3 в теорему Шаудера.

Принцип Шаудера значительно мощнее стандартного принципа непо движной точки, но при его применении возникает необходимость ипользо вать критерии компактности в соответствующих банаховых пространствах. В первом приближении условие компактности означает, что единичный шар бесконечномерного линейного пространства переводится рассматрива емым отображением в эллипсоид с бесконечным числом осей, длины кото рых образуют стремящуюся к нулю последовательность.

Рассмотрим, например, задачу Коши для обыкновенных дифференци альных уравнений. Известно, что любая такая задача Коши эквивалентна интегральному уравнению:

t

R

x(t) = b + ϕ(u, x(u)) du.

a

Рассуждения, аналогичные тем, что были использованы в примере 4.1, позволяют показать, что если функция ϕ удовлетворяет условию Липши

a

окрестности точки

него существует неподвижная точка решение задачи Коши.

Теорема 4.2 позволяет существенно расширить класс функций, для которых доказывается существование решения задачи Коши. Можно, на

пример, ослабить ограничения на функцию ϕ, заменив условие Липшица

более слабым условием равномерной непрерывности. Тогда для примене ния принципа Шаудера необходимо построить подходящий критерий ком пактности в пространстве непрерывных функций. В данном случае удобно использовать теорему Арцела Асколи ([4], с. 48), утверждающую, что в пространстве непрерывных функций компактными множествами являют ся замкнутые ограниченные множества, элементы которых удовлетворяют условию равностепенной непрерывности. Не углубляясь в детали, подчерк нем, что подобные критерии компактности известны далеко не во всех слу чаях, а их использование почти всегда требует привлечения сложного и громоздкого математического аппарата.

30