Fa_book

Определение 2.2. Линейный оператор называется непрерывным, ес ли он непрерывен во всех точках.

Определение 2.3. Пусть X è Y банаховы пространства. Линей ный оператор A : X → Y, заданный на всем пространстве X, называется

ограниченным, если он ограничен на единичном шаре O1(0), т. е. если огра ничено множество {kA(x)k : kxk 6 1}.

Несложно показать, что ограниченный линейный оператор любое огра ниченное множество переводит в ограниченное. Кроме того, оказывается, что понятия ограниченности и непрерывности для линейных операторов равносильны ([10], с. 119).

Теорема 2.2. Пусть X è Y банаховы пространства и линейный оператор A : X → Y всюду задан. Для того чтобы A был непрерывным, необходимо и достаточно, чтобы он был ограниченным.

Упражнение 2.1. В линейном пространстве Rm m-мерных столбцов равенство y = Ax, ãäå A произвольная квадратная матрица порядка m, задает линейный оператор в Rm. Докажите, что этот оператор ограничен

в следующих случаях: a) D(A) = R(A) = cm; b) D(A) = lmp , R(A) = lmq , p > 1, p1 + 1q = 1; c) D(A) = R(A) = lmp , p > 1.

Пример 2.1. Пусть функция двух переменных K(x, t) непрерывна в

b

R

квадрате [a, b]×[a, b]. Выражение v(x) = K(x, t) u(t) dt (коротко v = Ku)

a

может определять различные интегральные операторы. Аналогично упражнению 2.1 можно доказать, что как в случае D(A) = R(A) = C [a, b], так и в случае D(A) = Lp [a, b], R(A) = Lq [a, b], p > 1, p1 + 1q = 1, линейный оператор K является ограниченным (непрерывным).

2.2.Пространства линейных операторов

Пусть A, B, C, . . . линейные непрерывные операторы, определенные всюду в нормированном пространстве X со значениями в нормированном пространстве Y. Если на множестве всех таких операторов определить опе

рации сложения операторов и умножения на число:

(A + B)x = Ax + Bx, (λA)x = λAx,

то несложно проверить как линейность и непрерывность введенных опера торов, так и выполнение всех аксиом линейного пространства. В образовав шемся пространстве обычно норму задают так:

kAk = sup kAxk.

kxk61

Упражнение 2.2. Проверьте аксиомы нормы для приведенного опре деления.

11

Упражнение 2.3. Докажите, что для любого ограниченного опера тора при всех x X выполняется неравенство

kAxk 6 kAk kxk.

Нормированное пространство линейных непрерывных операторов, дей ствующих из X â Y, будем обозначать L(X, Y).

Теорема 2.3. Åñëè Y банахово пространство, то и L(X, Y) áàíà õîâî.

Замечание 2.1. Если линейный оператор A : X → Y задан не всюду, но его область определения плотна в X, то на него естественным образом переносятся понятия нормы и ограниченности на D(A). Åñëè Y

банахово, то такой оператор может быть по непрерывности продолжен на все пространство X ([10], с. 130). Условие ограниченности здесь существен

но. Нельзя непрерывно продолжить оператор дифференцирования на про странство всех непрерывных функций.

2.3.Принцип равномерной ограниченности

Âпространстве операторов L(X, Y) наряду с обычной сходимостью по норме во многих приложениях используется еще один вид сходимости.

Определение 2.4. Говорят, что последовательность операторов {An} L(X, Y) сильно сходится к оператору A L(X, Y), åñëè äëÿ

любого x X

kAnx − Axk −−−→ 0.

n→∞

Ясно, что из сходимости An → A по норме следует сильная сходимость An → A. Обратное утверждение неверно ([10], с. 128). Доказательство при водимых далее теорем можно найти в книге [4], с. 269.

Замечание 2.2. Иногда вместо терминов ½сходимость по норме “ и ½сильная сходимость“ употребляют термины ½равномерная сходимость “ и ½поточечная сходимость“ соответственно.

Теорема 2.4. (Принцип равномерной ограниченности.) Пусть X áà

нахово пространство. Если последовательность {An} ограничена при каж дом фиксированном x X, òî {kAnk} ограничена.

Замечание 2.3. Теорема 2.4 эквивалентна так называемому ½принци пу фиксации особенности“: åñëè sup kAnk = ∞, то найдется такой элемент

n

x0 X, ÷òî sup kAnx0k = ∞.

n

12

Пример 2.2. Рассмотрим пространство C [−π, π]. Частичную сумму ряда Фурье функции f C [a, b] можно выразить через интеграл Дирихле:

R

непрерывная функция f, для которой lim f(u)Dn(u) du не существует, т.

n→∞−π

е. ее ряд Фурье расходится в точке x = 0. Отметим, что непосредственное построение такой функции очень сложно ([3], с. 470).

Теорема 2.5. (Теорема Банаха Штейнгауза.) Пусть X банахово

пространство, {An} L(X, Y). Для того, чтобы последовательность {An} сильно сходилась к A L(X, Y), необходимо и достаточно, чтобы

1){kAnk} была ограничена;

2){An} сильно сходилась к A на некотором линейном многообразии X0 ,

плотном в X.

2.4.Обратные операторы

Системы линейных алгебраических уравнений, многие интегральные уравнения, а также различные задачи для обыкновенных дифференциаль ных уравнений и уравнений с частными производными могут быть записа

ны в виде линейного уравнения Ax = y. Если существует обратный опера тор A−1, то решение задачи записывается в явном виде x = A−1y и важное

значение приобретает выявление условий, при выполнении которых обрат ный оператор существует и обладает теми или иными свойствами.

Пусть X и Y линейные пространства и пусть A : X → Y линейный оператор. Ядро (нуль-пространство) N(A) = {x D(A) : Ax = 0} всегда не пусто, так как содержит 0.

Упражнение 2.4. Докажите, что N(A) линейное многообразие в пространстве X.

Теорема 2.6. Обратный линейный оператор, взаимно -однозначно отображающий R(A) на D(A), существует тогда и только тогда, когда

N(A) = {0}.

13

Для случая, когда X è Y нормированные пространства, а оператор A L(X, Y), приведем следующую теорему Банаха об обратном операто ре.

Теорема 2.7. Åñëè A ограниченный линейный оператор, взаим

íî-однозначно отображающий банахово пространство X на банахово про странство Y , то обратный оператор A−1 ограничен.

Определение 2.5. Говорят, что линейный оператор A : X → Y

непрерывно обратим, åñëè R(A) = Y, оператор A обратим и при этом обратный оператор A−1 ограничен.

Åñëè Y банахово пространство, то непрерывность обратного оператора

вытекает из теоремы 2.7.

Условия обратимости оператора составляют основу решения оператор ных уравнений Ax = y. В общем случае это очень трудная задача. В

следующей главе будет рассмотрена спектральная теория, позволяющая строить обратные операторы для широкого класса операторов. Поскольку необходимые для этого конструкции очень трудоемки, интересно выделять ситуации, в которых построение обратного оператора достаточно просто. Приведем пример достаточных условий обратимости оператора, имеющий многочисленные приложения и обобщения.

Теорема 2.8. Пусть X банахово пространство, линейный оператор A : X → X имеет норму меньше единицы и I единичный оператор, т. е. Ix = x äëÿ âñåõ x X. Тогда оператор I − A обратим, причем

(I − A)−1 = I + A + A2 + · · · + An + · · · .

Доказательство теоремы является простым упражнением на технику работы с геометрической прогрессией и фактически реализует метод ите

раций для решения уравнения Ax = x. Решение такого уравнения принято

называть неподвижной точкой оператора.

Кроме гарантий разрешимости наличие обратного оператора обеспечи вает устойчивость решения задачи по отношению к изменению исходных

данных. Рассмотрим уравнение Ax = y, полагая, что оператор A непре рывно обратим. Во-первых, данное уравнение имеет единственное решение

Пример 2.3. В линейном пространстве Rm линейный оператор, за даваемый матрицей A, имеет обратный в том и только том случае, если det A 6= 0 (теорема Крамера). Обратному оператору соответствует обрат ная матрица A−1.

14

Пример 2.4. В пространстве C [a, b] рассмотрим интегральное урав

нение

b

Оператор A−1 ограничен (пример 2.1), поэтому A непрерывно обратим.

2.5.Теорема Хана Банаха

Пусть X вещественное нормированное пространство и E = R веще ственная ось. Напомним, что оператор f : X → E называется функциона лом. Если функционал линеен, то его значение на элементе x X обычно обозначают hx, fi. Одним из фундаментальных результатов функциональ

ного анализа является тот факт, что любой линейный ограниченный, т. е. такой, для которого конечна норма

x D(f), kxk61

функционал с линейного многообразия D(f) может быть продолжен на все пространство с сохранением нормы.

Теорема 2.9. (Теорема Хана Банаха.) Пусть в вещественном норми рованном пространстве X задан линейный ограниченный функционал f

ñ D(f) X. Тогда существует всюду определенный линейный ограничен

Доказательство теоремы опирается на интуитивно понятную аксиому, но, как правило, не допускающую никакой конструктивной реализации. Это утверждение, называемое леммой Цорна, состоит в том, что на элемен тах любого множества можно ввести такой порядок элементов, что в лю бом подмножестве найдется наибольший элемент. Принимая эту аксиому, достаточно упорядочить множество всех возможных расширений исходно го функционала и показать, что наибольший элемент в этом упорядочении и есть искомое продолжение (см., например, [2, 4]).

Замечание 2.4. Справедлив и комплексный вариант теоремы 2.9, но в этом случае D(f) обязана быть комплексно-линейным многообразием.

15

Следствие 2.1. Пусть X нормированное пространство, x X, x 6= 0. Тогда существует всюду определенный в X линейный ограниченный функционал f, такой, что kfk = 1, hx, fi = kxk.

Следствие 2.2. Пусть L линейное многообразие в нормированном пространстве X и пусть элемент x0 XrL находится на расстоянии h > 0

îò L, ò. å. inf kx0 −xk = h. Тогда существует всюду заданный в X линейный

x L

функционал f, такой, что

1)hx, fi = 0 äëÿ âñåõ x L;

2)hx0, fi = 1;

3)kfk = h1 .

Ñпомощью следствия 2.2 можно доказать следующий результат.

Следствие 2.3. Пусть {xi}n1 линейно независимая система элемен тов нормированного пространства X. Тогда существует система линейных, ограниченных, определенных всюду на X функционалов {fj}n1 , такая, что hxi, fji = δij ïðè âñåõ i, j = 1, 2, . . . , n.

Определение 2.6. Система элементов {xi}n1 нормированного про странства и система функционалов {fj}n1 , удовлетворяющие равенствам из следствия 2.3, называются биортогональными.

Упражнение 2.5. Докажите по индукции, что из существования линейно независимой системы линейных, ограниченных, всюду определен ных функционалов следует существование биортогональной с ней системы элементов.

3.Спектральная теория операторов

3.1.Постановка задачи

Математическое решение любой задачи распадается на две части: пер вая построение модели, описывающей задачу (составление уравнения), вторая решение возникшего уравнения. Функциональные пространства и операторы, действующие в этих пространствах, создают мощную базу для построения различных моделей. Правильный подбор функциональных пространств часто позволяет реализовывать модель при помощи линейных операторов, что значительно упрощает вторую часть решения, которую можно интерпретировать как построение обратного оператора или дока зательство того, что обратного оператора не существует. Оказывается, обе задачи естественно трактовать расширительно. Вопрос о существовании об ратного оператора удобно изучать для параметрического семейства опера

торов A −λI, ãäå λ произвольное комплексное число, I тождественный оператор. Обратные операторы для такого семейства образуют семейство

16

операторов, аналитически зависящих от параметра λ, на множестве тех значений λ, для которых обратный оператор существует. Такие точки на

зывают регулярными точками оператора. Точки комплексной плоскости, не являющиеся регулярными, образуют спектр оператора. В частности, во прос об обратимости оператора эквивалентен вопросу о принадлежности

точки λ = 0 спектру оператора. Фундаментальное для этого круга вопро

сов понятие спектра дало название большому разделу функционального анализа, обзор которого и помещен в этой главе.

Расширительное отношение ко второй части задачи проявляется еще сильнее. На самом деле при исследовании спектра становится ясно, что можно вычислить любую функцию от оператора, аналитическую на мно жестве его регулярных точек. Например, любой оператор можно возвести в

квадрат или вычислить от него многочлен, т. е. вычислить оператор f(A), где функция f(x) = x2 èëè f(x) = anxn + an−1xn−1 + · · · + a1x + a0. Таким образом, для любого оператора, спектр которого не содержит точку λ = 0,

можно определить оператор f(A), ãäå f(x) = x1 . Легко проверить, что этот оператор является обратным для исходного оператора.

Теперь сформулируем основную цель спектральной теории описание классов пространств и классов операторов, для которых можно получить описание спектра и построить функциональное исчисление. Данный вопрос настолько сложен и чувствителен к изменениям характеристик рассматри ваемых объектов, что получить на него исчерпывающий ответ невозможно. Далее мы в этом убедимся, рассмотрев, как меняется и усложняется теория при естественном движении от простых объектов к более сложным.

3.2.Конечномерная спектральная теория

Спектральная теория в конечномерном нормированном пространстве это раздел теории матриц. Матрицы универсальный, естественный и удоб ный способ описания и работы с такими операторами. Спектр оператора

здесь это набор его собственных чисел σ(A) = {λk}, k = 1, 2, . . . , n. Полное описание оператора требует еще определения собственных элемен òîâ en, Aen = λnen, и в некоторых случаях корневых подпространств.

Аккуратное и подробное изложение ½алгебраической “ спектральной теории

можно найти в [7]. Основной, с точки зрения обсуждаемого вопроса, явля ется следующая теорема.

Теорема 3.1. Пусть A (n × n)-матрица, λk (1 6 k 6 s) ñîá ственные числа матрицы, mk кратности этих собственных чисел. То гда существуют такие матрицы Zkj (1 6 k 6 s, 1 6 j 6 mk), ÷òî äëÿ любой функции f, заданной вместе с надлежащим количеством производ

17

ных на спектре матрицы A, значение f(A) можно вычислить по формуле

öû Zk1 оказываются проекторами на собственные подпространства опера тора.

Эта теорема исчерпывает спектральную теорию конечномерных опе раторов. Ее доказательство и многочисленные приложения см. в [7], с. 155.

3.3.Предельный переход по размерности

Хотелось бы надеяться, что, совершая предельный переход по раз мерности, мы и в общем случае получим удовлетворительное описание функций от операторов. Однако эти надежды оказываются беспочвенны ми. Среди множества причин, препятствующих этому, укажем лишь на две, легче всего поддающиеся объяснению. Во -первых, предел операторов с конечным спектром порождает весьма узкий класс компактных опера торов, т. е. операторов, переводящих любое ограниченное замкнутое мно жество в компакт. Заметим, что в любом бесконечномерном пространстве тождественный оператор не является компактным. Во -вторых, возникает проблема собственных чисел. Если в конечномерной ситуации основная теорема алгебры гарантирует существование собственного числа, то в бес конечномерном случае легко привести примеры операторов, не имеющих

собственных чисел вообще. Рассмотрим для примера оператор сдвига S на пространстве последовательностей l1: Sx = y, y1 = 0, yn = xn−1, n > 1. Заметим, что ноль не является собственным числом оператора, так как из равенства Sx = 0 следует x = 0. Тогда для собственного числа λ и собственного вектора x (Sx = λx) выполнены соотношения 0 = λx1,

x1 = λx2, . . . , xn = λxn+1, . . . . Отсюда немедленно следует, что все xn = 0,

что невозможно для собственного вектора. Именно это обстоятельство дела ет спектральное описание операторов в бесконечномерных пространствах очень сложной задачей. Здесь нет, а в каком -то смысле, и быть не может полного аналога спектральной теоремы 3.1 для конечномерных операторов.

Естественный переход от конечномерной ситуации к бесконечномер ной возникает тогда, когда оператор имеет достаточно много собственных подпространств, т. е. подпространств, переходящих под действием операто ра в себя. При этом важно, чтобы в пространстве существовали привычные геометрические структуры: ортогональность и т. п. Таким образом, необ ходимо ограничиться гильбертовыми пространствами, при этом свойства собственных подпространств оператора удобнее описывать в терминах про

18

екторов на эти подпространства. В свою очередь, для работы с проектора ми удобно сначала обсудить, следуя книге [4], некоторые общие свойства кольца операторов над гильбертовым пространством.

Пусть B(H, H) кольцо линейных непрерывных операторов, отобра

жающих гильбертово пространство H в себя. Структура кольца определя

ется естественной операцией сложения линейных операторов и умножением операторов, понимаемым, как их суперпозиция. В кольце операторов дей

ствует операция сопряжения, сопоставляющая оператору U сопряженный оператор U , такой, что (Ux, y) = (x, U y), для любой пары элементов

kUk = kU k.

Пусть далее последовательность Un элементов кольца B(H, H) сильно сходится к оператору U; легко проверить, что оператор U окажется при

этом элементом кольца.

Наличие скалярного произведения позволяет естественным образом определить понятие положительного оператора в кольце B(H, H). Ïîëà

гаем, что оператор U > 0, если для любого x H (Ux, x) > 0. Нетруд

но проверить, что всякий положительный оператор является самосопря женным. Понятие положительного оператора дает возможность ввести в

кольце B(H, H) частичную упорядоченность. Полагаем, что U1 > U2, åñëè оператор U1 − U2 положительный.

Вопросы сходимости последовательностей операторов намного слож нее аналогичных вопросов для функций. Введенная частичная упорядо ченность операторов позволяет сформулировать достаточное условие схо димости последовательности операторов, совершенно аналогичное условию для функций.

Теорема 3.2. Пусть Un возрастающая последовательность само сопряженных операторов, ограниченных в совокупности ( sup kUnk < ∞). Тогда существует предел последовательности Un.

Основу доказательства составляет обобщение неравенства Коши Буняковского на скалярное произведение, порождаемое положительным опе

ратором A: |(Ax, y)| 6 (Ax, x)(Ay, y). Неравенство легко доказывается по

той же схеме, что и классическая оценка Коши Буняковского.

Перейдем к рассмотрению свойств операторов ортогонального проек тирования, которые составляют базу спектрального разложения операто ра. Оператор проектирования естественно связан с некоторым замкнутым подпространством рассматриваемого пространства.

Определение 3.1. Оператор P : H → H называется ортогональным проектором, если существует такое замкнутое подпространство H1, ÷òî

19

1) P x1 = x1 для любого x1 H1 è 2) P x2 = 0 для любого x2 H2; здесь

H2 ортогональное дополнение подпространства H1 ( H = H1 H2). Проекторы допускают другое (алгебраическое) описание.

Теорема 3.3. Оператор P является проектором тогда и только то гда, когда 1) P самосопряженный (P = P ) è 2) P идемпотентный (P 2 = P ).

Проекторы наследуют от подпространств понятие ортогональности. Проекторы P1 è P2 ортогональны, если ортогональны отвечающие им под пространства. Легко видеть, что эквивалентным описанием ортогонально сти проекторов является условие P1P2 = 0.

Теорема 3.4. Пусть P1, P2, . . . , Pn проекторы.

1)Для того чтобы их сумма была проектором, необходимо и достаточно, чтобы проекторы были попарно ортогональны.

2)Для того чтобы разность P1 − P2 была проектором, необходимо и до статочно, чтобы P1 > P2.

3)Для того чтобы произведение P1P2 было проектором, необходимо и достаточно, чтобы проекторы коммутировали.

Теорема 3.5. Пусть P1, P2, . . . , Pn, . . . монотонная последователь ность проекторов. Тогда существует предел этой последовательности.

Перейдем к рассмотрению теоремы о спектральном представлении ком пактных операторов. Она является прямым аналогом спектральной теоре мы для конечномерных операторов. При этом необходимо ввести еще одно

ограничение будем рассматривать только самосопряженные операторы. Определение 3.2. Оператор A B(H, H) называется самосопря

женным, если для любой пары векторов x, y H, (Ax, y) = (x, Ay). Перечислим некоторые свойства самосопряженных операторов:

1)для любого x H число (Ax, x) вещественное;

2)собственные числа самосопряженного оператора вещественны;

3)собственные подпространства Hλ = {x H : Ax = λx} è Hµ ортого нальны для любой пары различных собственных чисел;

4)kAk = sup{|(Ax, x)| : kxk = 1}.

Все утверждения, кроме последнего, доказываются так же, как в конеч номерном случае для матриц. Оценка нормы может быть получена как

4(Ax, y) = [(A(x + y), (x + y)) − (A(x − y), (x − y))]+ +i[A(x + iy), (x + iy)) − (A(x − iy), (x − iy))].

Базой спектрального разложения является следующая теорема.

20