9.2 Колебания

Колебаниями называются процессы, повторяющиеся в природе с некоторой периодичностью. В таких процессах некоторая физическая величина принимает через равные промежутки времени определенные положения (значения), проходя через свои максимальные и минимальные значения. Приливы и отливы на побережье морей и океанов, чередование суток, ритмика сердца, качания маятника, колебания волн, рябь на воде и т. д.

Несмотря на различие в природе этих процессов многие закономерности у них одинаковы и могут быть описаны схожим математическим аппаратом, это позволило создать общую теорию колебаний и волн.

Самые простые свободные колебания гармонического характера, происходящие по закону синуса или косинуса. Они возникают, если выведенная незначительно из состояния равновесия система будет предоставлена сама себе. Также колебания называют ещё собственными. Уравнение, описывающее движение при гармонических синусоидальных колебаний имеет вид:

где – амплитуда колебаний;круговая, собственная частота;начальная фаза колебаний.

Гармонические колебания возможны лишь при отсутствии диссипативных сил (сил трения). На рисунках 9.1, 9.2 приведены примеры гармонических маятников – пружинного и математического. В случае присутствия трения или других диссипативных сил колебания со временем прекращаются. Такие колебания называются затухающими. Например, детские качели. Если их не раскачивать вынуждено, то они со временем остановятся. Если на гармоническое колебание или покоящуюся систему наложить действие периодически изменяющейся внешней силы, то возникнут вынужденные колебания. Те же качели, но раскачиваемые человеком. Гармонические колебания могут быть описаны дифференциальным уравнением

Рис. 9.1. Пружинный маятник как пример гармонических свободных колебаний	Рис. 9.2 Математический маятник

где х – некоторая изменяющаяся по закону синуса величина, круговая, циклическая частота собственных колебаний. ЕслиТ – период колебаний, то с круговой частотой собственных колебаний он связан очевидным соотношением

.

Период Т измеряется в секундах [с]. Период равен времени совершения одного полного колебания.

Круговая частота величина обратная периоду

Ее размерность – . Это количество колебаний совершенных за одну секунду.

Второй закон Ньютона для математического маятника имеет вид:

Спроецируем на ось :

Тангенциальное ускорение

Тогда

При малых колебаниях

Отсюда частота колебаний математического маятника

Для затухающих колебаний второй закон Ньютона в виде дифференциального уравнения записывается следующим образом

где

,

коэффициент сопротивления; частота свободных колебаний,коэффициент затухания,масса,коэффициент квазиупругой силы.

В случае малого трения решение дифференциального уравнения будет функция

Рис. 9.3.

Амплитуда затухающих колебаний

где амплитуда и начальная фаза,циклическая частота. Амплитуда затухающих колебаний изменяется по закону_{(рис.9.3.). Кроме коэффициента} затухание характеризуется логарифмическим декрементом затухания

где Т – период затухающих колебаний.

Если на тело действует вынуждающая сила, изменяющаяся по закону то уравнение второго закона в этом случае запишется в виде

или, вводя ранее использованные выражения, перепишем в виде

где коэффициент затухания,собственная частота колебательной системы,частота вынуждающей силы.

При совпадении частоты вынуждающей силы с собственной частотой колебаний наблюдается явление резонанса – резкого увеличения амплитуды колебаний. Выражение для амплитуды при резонансе: