книги из ГПНТБ / Электрические подъемные установки учебное пособие для студентов горных вузов проф. В. Б. Уманский ; под редакцией Барамидзе К. М. 1960- 20 Мб
.pdf«6 Основные элементы динамического режима
Это положение понятно и чисто физически: площадь диа граммы ускорений, лежащая по левую сторону от ординаты, соответствующей данному моменту времени, должна быть равна скорости движения. Действительно, приращение скорости за не который бесконечно малый промежуток времени
Рис. 47. Диаграмма ускорений |
Рис. 48. Диаграмма скорости, |
|
(ускорение в первом периоде рав |
соответствующая |
диаграмме |
номерно убывает). |
ускорений на |
рис. 47. |
В момент времени t скорость составит
t |
(2) |
v = \jdt. |
о
I
Но С jdt есть не что иное, как площадь, ограниченная кривой
‘о
j = осью абсцисс и ординатой, соответствующей времени t. Так как в конце подъема скорость v — 0, то
т
$Jdt=O,
о
т. е. суммарная площадь диаграммы ускорений должна быть равна нулю, и следовательно, часть этой площади, лежащая над осью абсцисс, должна быть равна части, лежащей под осью абсцисс.
Пользуясь законом, выраженным формулой (2), мы можем по любой заданной диаграмме ускорений построить диаграмму скорости.
Пусть, например, задана диаграмма ускорений такая, как на рис. 47.
Скорость подъема в произвольный момент времени t опреде ляется заштрихованной площадкой на диаграмме ускорений. За
даваясь различными значениями этого времени, определяя соот ветствующие им площадки на диаграмме ускорений и отклады-
Кинематика подъемной системы |
87 |
вая их в виде ординат в координатной системе скорость — время (площадь диаграммы ускорений измеряется в единицах скоро
сти), мы можем, таким образом, построить диаграмму скорости,
•соответствующую заданной диаграмме ускорений (рис. 48).
Рис. 49. Диаграмма ускоре |
Рис. 50. Диаграмма скоро |
|
ний (ускорение в первом |
сти, соответствующая диаг |
|
периоде равномерно |
возра |
рамме ускорений на рис. 49 |
стает; замедление в |
треть |
|
ем периоде равномерно убывает)
Соответствие диаграмм, приведенных на рис. 47 и 48, легко
проверить.
В самом деле, проведя на рис. 48 касательные к кривой ско рости, мы убеждаемся, что угол, составленный этими касательными с осью абсцисс, в течение первого периода движения не прерывно уменьшается. Следова тельно и ускорение должно
Рис. 51. Элементар |
Рис. 52. Диаграмма пе |
ное перемещение |
ремещений |
уменьшаться. Это как раз мы и видим на рис. 47. Точно так же можно показать, что при ускорении, изменяющемся по закону,
представленному рис. 42, кривая скорости имеет вид, представ ленный на рис. 50, и т. д.
Диаграмма пе р ем ещ е н и й. Выделим на диаграмме скорости площадку, соответствующую бесконечно малому от
резку времени dt (рис. 51). Путь, пройденный подъемным сосу дом за этот отрезок времени, очевидно, равен заштрихованной площадке
dx = vdt.
88 Основные элементы динамического режима
Интегрируя это выражение в пределах от нуля (/ = 0) до любого момента времени, получим перемещение подъемного со суда с момента пуска машины до этого времени
t
х = J vdt. |
(3) |
|
о |
||
|
Таким образом площадь, ограниченная кривой скорости, осью
абсцисс и ординатой, соответствующей данному моменту вре мени, характеризует собой перемещение подъемного сосуда
Рис. |
53. Неправиль |
Рис. 54. Геометрическое |
|
ная |
диаграмма пере |
определение |
модуля |
|
мещения |
ускорений |
|
к этому моменту времени. Пользуясь этим положением, нетрудно построить диаграмму перемещений (рис. 52).
Для этого достаточно, для любых моментов времени, опреде лять часть площади диаграммы скорости, лежащую влево от ор динаты, соответствующей данному времени, и откладывать полу чаемые величины по оси ординат. Диаграмма ускорений может рассматриваться как дифференциальная по отношению к диа грамме скорости. Наоборот, диаграмма перемещений является интегральной кривой. Тангенс угла касательной к кривой пере
мещения с осью абсцисс эквивалентен величине скорости
/dx \ „
р= Так как скорость в начале и в конце подъема равна
нулю, то, следовательно, кривая перемещения в начале движе
ния (t = 0) должна быть касательна к оси |
абсцисс, а в конце |
(t = Т) к прямой, параллельной оси абсцисс. |
Кривая перемеще |
ний должна быть обязательно плавной. В самом деле, допустим, что эта кривая имеет вид, показанный на рис. 53. В точке а
можно провести две касательные. Это значит, что в этот момент
времени скорость получает мгновенное, конечное приращение,
что невозможно.
Кинематика подъемной системы |
89 |
Общая площадь диаграммы, скорости, очевидно эквивалентна
полной высоте подъема Н (расстояние между уровнем руднич ного двора и верхней приемной площадкой)
т
vclt.
6
Зависимость между элементами прямоли
нейной диаграммы скорости. При проектировании подъемной установки должны быть известны высота подъема Н,
часовая производительность подъема Qh, одновременно подни маемый полезный. груз Q.
Зная эти величины, можно определить число подъемов в час
__ |
(4). |
Q '
Период подъема
__ 3600 |
(5). |
|
г |
||
|
Далее, зная систему подъемных сосудов, способ разгрузки и за грузки, можно определить необходимую продолжительность паузы 0.
Тогда время чистого подъема |
|
|
Т=Т' — 0. |
(6> |
|
Средняя скорость подъема |
|
|
Н |
• |
(7)' |
ucp— 7 |
||
Для построения диаграммы скорости необходимо определить соотношения между ее элементами. Сделаем это для прямоли
нейной диаграммы скорости.
Перемещение подъемного сосуда за период ускоренного дви
жения (на основании выражения 3)
V ®тахЛ |
• |
/о\ |
Л1——2~ |
(о)‘ |
То же, за период равномерного хода
|
|
(9> |
То же, за период замедления |
|
|
Y __ ^тах^з |
00)' |
|
л3-- |
о---• |
|
50 Основные элементы динамического режима
Общая высота подъема
Н Xj -ф- х2 |
+ х3 |
|
|
1 ^тах^з |
(11) |
||
|
+ г»тах^2 Н1 |
2 • |
|||||
Так как |
T—tx +^2 + ^з, |
|
|
(12) |
|||
|
|
|
|||||
|
^2 = Т |
(tx |
-|- ^3). |
|
|
(13) |
|
Подставляя выражение (13) в (11), |
|
|
|
||||
Я='Пшах7’-(^ + ^). |
|
(14) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Из формул (1) и (1а) имеем |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
(15) |
|
|
4 = ^- |
|
|
(16) |
||
Откуда |
|
|
2 |
|
|
|
|
тт_ ,г> |
|
|
- 1 |
\ |
|
|
|
^шах / 1 |
|
|
|||||
®S,I,-2®».iT^n- + 2W-TJ-r = 0. |
(17) |
||||||
|
/ |
+ .• |
|
т- + у |
|
|
|
|
Jl |
J3 |
|
Ji |
J3 |
|
|
Назовем модулем ускорений величину |
|
|
|
||||
|
а=~Х2-т- |
|
|
<18) |
|||
|
|
J1 |
+ JS |
|
|
|
|
Пользуясь этим обозначением, |
перепишем |
выражение (17) |
|||||
^шах — 2а<отах + 2аг»Ср = 0. (19) |
|
||||||
Полученное выражение и дает соотношение между основными элементами кинематики.
Решая уравнение (19) относительной максимальной скорости, 'получим
®тах — ® ± /2^Z*U cp. |
(20) |
Чтобы решить вопрос о том, какой из знаков следует сохранить ■перед корнем, обратимся к геометрическому смыслу величины а.
Кинематика подъемной системы |
91 |
Продолжим стороны трапецеидальной диаграммы скорости до их пересечения (рис. 54) и обозначим высоту полученного
треугольника через у.
• Мы можем выразить ускорение и замедление так:
.__ / |
. |
У |
(21) |
|
|
|
Подставляя выражение (21) в (18), получим
Рис. 55. Влияние выбора |
Рис. 56. Диаграмма ускорений |
|
ускорения на максималь |
с равномерно |
убывающим |
ную скорость |
ускорением в первом периоде |
|
Непосредственно из рис. 54 легко убедиться, что 'Птах<« и, следовательно, в выражении (20) перед корнем всегда следует брать знак минус
■«max — a—-/a2 — 2avcp. |
(20а) |
Изменяя в ту или иную сторону величину принятых ускорений, можно менять форму диаграммы скорости при одном и том же задании.
Из рис. 55 ясно, что при заданных высоте подъема Н (пло
щадь диаграммы скорости) и времени движения Т (основание этой диаграммы) большим ускорениям (большему углу между касательной к кривой скорости и осью абсцисс) соответствует
меньшее значение максимальной скорости и наоборот.
В зависимости от выбора величин ускорения и замедления максимальная скорость может изменяться в пределах от значе ния, равного двойной средней скорости (трапецеидальная диа
грамма превращается в треугольную, двухпериодную), до значе ния, равного средней скорости.
Отношение максимальной скорости к средней называют мно жителем скорости и обозначают через а
„__ wmax
а =----- .
^ср
Основные элементы динамического режима
Очевидно, что крайними пределами а являются
2 > а > 1.
При возрастающем ускорении, в некоторых случаях, величина а может быть больше двух. Практически обычно множитель ско рости лежит в пределах
а=1,1-1,4.
Криволинейная диаграмма скорости. Мы де лали наш вывод применительно к прямолинейной трапецеидаль ной диаграмме скорости. При криволинейной диаграмме скоро
сти формулы (19)—(20а) продолжают выражать соотношения между основными элементами кинематики. Но модуль ускорений
примет несколько иной вид:
где |
и |
г3 — некоторые коэффициенты, зависящие от выбора |
||
|
|
закона изменения ускорений. |
В частном |
случае |
|
|
при прямолинейной диаграмме |
скорости |
(ускоре |
|
|
ние постоянное) е1 = е3 = 1. |
|
|
|
Определим значение коэффициентов ei и 83 для скоростного |
|||
режима, |
характеризующегося диаграммами, |
приведенными на |
||
рис. 47 и 48.
Обозначим начальное ускорение через /о.
Из подобия треугольников ОАВ и тпВ (рис. 56) имеем
7 _4i - *
Jo Л ’
откуда получим выражение для мгновенного значения ускоре ния в функции от времени
(22)
ч
Подставляем выражение (22) в (2) t
‘V=§jdt=j0t—^~t2. (i23)
о
При 'f = 'omax. Следовательно,
__тЛ |
(24) |
umax — 2 |
* |
4 2t/max |
(25) |
1 — /о ‘
|
|
Кинематика подъемной |
системы |
|
|
93 |
||
Путь, |
пройденный с |
начала |
подъема [на |
основании фор |
||||
мул (3) и |
(23) [, |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
X==J^==J^._ |
|
|
|
(26) |
||
|
|
О |
|
|
|
|
|
|
При t=tx х — хг. Следовательно, |
|
|
|
|||||
|
|
|
^1=^-(27) |
|
|
|
||
Из формул (27) и (25) |
|
|
|
|
|
|||
В третьем периоде замедление /3 постоянно, |
и |
следова |
||||||
тельно, остаются в силе выражения (10) и (16). |
|
|
||||||
Общая высота |
подъема |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
V2 |
|
V2 |
|
(29) |
|
Я=х1 + х2 + %3 = 4^- + г)таЛ+^?. |
|||||||
|
|
|
° |
JO |
|
J3 |
|
|
Подставляя вместо t2 |
его значение из формулы (13) и имея |
|||||||
в виду выражения (25) и |
(16), получим |
|
|
|
||||
|
|
|
2 |
|
+ |
|
|
(30) |
|
|
|
|
|
|
|
||
Уравнение (30) |
мы легко можем привести к выражению (19), |
|||||||
причем значение модуля ускорений теперь будет |
|
|
|
|||||
|
|
о = Т-Ц-. |
|
|
|
(31) |
||
|
|
|
З/о |
”1” 7з |
|
|
|
|
Таким образом, для рассмотренного случая |
|
|
|
|||||
|
|
Si = -g-; |
е3 = 1. |
|
|
(32) |
||
Построение |
диаграммы |
скорости. |
Пример 4. |
|||||
Построить прямолинейную диаграмму скорости для скиповой подъемной установки производительностью 270 mJчас.
Высота подъема Н = 500 м.
Скип с разгрузкой через дно емкостью 6 т.
тт |
в |
Qh. |
270 |
.с |
Число подъемов |
час г ==—т.-= |
|
=45. |
94 |
Основные элементы динамического режима |
||||
п |
|
3600 |
3600 |
оп |
сек. |
Период |
подъема Т ——-—= |
45 |
= 80 |
||
Продолжительность |
паузы 6 = 10 |
сек. |
|
||
Чистое время движения Т = Т' — 6 = 80— 10 = 70 сек. |
|||||
г |
|
Н |
500 |
- |
, |
Средняя |
скорость оср = -у = |
—70 ■ ■ |
= 7,15 м/сек. |
||
Примем ускорение в начале движения /1 = 0,6 м/сек2-, замед |
|||||
ление в конце движения /3 = 0,7 м/сек2. |
|
|
|||
Модуль ускорений |
|
|
|
|
|
|
а = --^х |
= - 70 |
|
22,5 м/сек. |
|
|
А+А |
6J + 0J |
|
|
|
Максимальная скорость
^тах — О? 2й'Цср —— 22,5
— Y22,52 — 2 • 22,5 • 7,15 = 9 м/сек.
Множитель скорости
а = ЕШах= 9 =1>25
Vcp 7,15
Продолжительность периода ускорения
'■=-тг=тяг=15<:ек-
Продолжительность периода замедления
^ = ^ = ^=12,9 сек.
Продолжительность периода равномерного хода
h=T— (£1 + £3) = 70 — (15+ 12,9) =42,1 сек.
Путь, проходимый скипом: за первый период
Л1=Ут^1 = 9 15 = б7)5
за второй период
Х2 = 'итах^2=9 • 42,1=378,5 м,
Кинематика подъемной системы |
95 |
за третий период
„ |
__ wmax^3 __ |
9 ’ 12,9 __ |
Х3 |
— g— — |
— — ОО М |
Проверка. Полный путь
Н=Xj -f- х2 + х3 — 504 м,
что в пределах точности подсчета совпадает с высотой подъема^ (ошибка порядка 1 % всегда вероятна, так как это точность под
счета на логарифмической линейке)'.
Рис. 57. К примеру построения пря |
Рис. 58. К примеру построения кри |
молинейной диаграммы скорости |
волинейной диаграммы скорости |
На рис. 57 вычерчена диаграмма скорости, соответствующая'
выбранным элементам кинематики.
Пример 5. Построить в условиях предыдущего примера кри волинейную диаграмму скорости с равномерно убывающим уско рением в первом периоде движения.
Начальное значение ускорения примем
/0 = 0,6 м/сек2.
Замедление в конце движения постоянно и по-прежнему
j:, = Q,7 м/сек2.
Модуль ускорений
т |
70 |
, |
а — ----- j- = —-------— =19,2 |
м/сек. |
|
1/о+Т З7о^ + б7
Максимальная скорость
■Птах = а — Vа? — 2tzucp = 19,2 —
— Vх 19,22 — 2 • 19,2 • 7,15 = 9,5 м/сек.