книги из ГПНТБ / Солодовников В.В. Статистическая динамика линейных систем автоматического управления
.pdf3 0 0 |
СИНТЕЗ ПО МИНИМУМУ СРЕДНЕКВАДРАТИЧЕСКОЙ ОШИВКИ [ГЛ. VII |
Подставим (7.182) в (7.179). Тогда при 7 > 0 в соответствии с (7.184) получим:
Ф С/"') = ТГ77 |
(ij/1 |
+С-1 — с ) /со — c V 2 |
|||
(са + Y \ + с-0 ( с |
+ \f\ |
+ |
C 'l) ( l - j - Уj<*2— 0 )2 ) |
||
11 W |
|||||
|
|
( ] Л |
+ |
c* — c) ji.о — c y T |
|
|
|
|
|
. (7.185) |
|
(C2 + / 1 + |
C4)(C + y T + C<) [V 1+ d+C / 2 |/T + С4 УО) — C2(02] |
||||
Легко видеть, что при с -»■ О Ф (у’ш) стремится к уш, как это и должно быть.
16.Обобщение результатов на случай, когда управляющее
ивозмущающее воздействия приложены
кразличным точкам системы г)
Выше предполагалось, что возмущающее воздействие n{t) нало жено непосредственно на управляющее воздействие tn{t), т. е. что точки их приложения совпадают и этой точкой является вход чув ствительного элемента.
Рассмотрим теперь более общий случай, когда, помимо указан ных двух воздействий, имеется еще одно возмущающее воздействие/^).
№
точка приложения |
которого |
к |
системе |
не |
совпадает с |
точкой |
при |
ложения воздействий m(t) и ti{t) (рис. 7.7). |
|
|
|
||||
Предположим, |
что система |
состоит |
из |
двух частей: |
1) объекта |
||
или неизменяемой |
части с |
известной передаточной функцией |
U72(s) |
||||
и 2) корректирующего устройства с подлежащей определению пере
даточной |
функцией |
(s). |
Итак, |
задача может быть сформулирована следующим образом. |
|
!) |
Р е 1е g г i n М., Calcul statistique des systemes asservis, |
Paris, 1953. |
Имеется русский перевод: П е л э г р э н М., Статистический расчет |
следящих |
|
систем, |
ИЛ, 1957. |
|
16] |
ОБОБЩЕНИЕ РЕЗУЛЬТАТОВ |
301 |
Предполагая, что как управляющее, так и возмущающие воздей ствия представляют собой стационарные случайные функции с изве стными корреляционными функциями, найти передаточную функцию последовательного корректирующего устройства системы с обратной связью так, чтобы при заданной передаточной функции неизменяемой части системы среднеквадратическая ошибка между требуемым и действительным изменением величины на выходе имела минимум.
Согласно рис. 7.7, преобразование Лапласа X(s) для выходной величины х (t) имеет вид
Ar(s) = ® (s)0 (s) + K(s)/='(s)> |
(7.186) |
где через 0 (s) и F (s) обозначены преобразования Лапласа соответ-
|
|
Рис. 7.8. |
|
|
ственно для |
ср(0 и f(t) (если допустить, что |
эти преобр 1зования |
||
существуют) |
и |
^ ( s ) W.2(s) |
|
|
|
|
(7.187) |
||
|
Ф(«) = 1 + |
Wj (s) Щ (s) ’ |
||
|
K(s) = |
|
UMs) |
(7.188) |
|
1 + |
\V1(s) W2 (s) |
||
|
|
|
||
Поэтому уравнение (7.186) можно переписать в следующем виде;-
X(s) = Ф (s) 0 (s) W2 [1 — Ф (s)] F (s). |
(7.189) |
Это — линейное уравнение относительно Ф (s), которому можно привести в соответствие систему, изображенную на рис. 7.8.
Мы можем написать:
|
СО |
|
х , ( 0 = |
J ср (t — т) k (т) di. |
(7.190) |
Точно так же (см. рис. 7.8) |
|
|
|
СО |
|
* £ ( 0 = |
j f ( t — i ) w 2(x)dx |
(7.191) |
—со
302 СИНТЕЗ ПО МИНИМУМУ СРЕДНЕКВАДРЛТИЧЕСКОЙ ОШИБКИ [ГЛ. VII
,v2( 0 = |
f |
x'3(t — x)kE(x)dx, |
(7.192) |
|||
где |
|
|
|
|
|
|
^.2(т) = Z.-1[V^2(s)]. |
(7.193) |
|||||
ft. W = |
[1 |
- |
® (s)] = 8(х) - k (х). |
|||
|
||||||
Подставляя (7.193) |
в (7.192), |
получим: |
|
|||
x 2(t) = |
x'2( t ) - |
f |
x'a(t — x)ft(x)dx. |
(7.194) |
||
— СО
Подставляя (7.191) в (7.194), найдем:
СО
х2 (t) — J f{t — х) w 2(т) dx —
—СО
СО |
0 0 |
|
— f |
ft(;x)da J f ( t — x — [x)xe/2(x)dx. |
(7.195) |
Итак, выражение для среднего значения квадрата ошибки е2 примет вид
со
е2 = |
lim |
|
А ( 0 - |
/ |
?(* |
х) k (х) dx — |
|
||
|
Т -> со |
|
|
|
— со |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ч |
|
|
|
|
|
|
|
оо |
|
||
- |
f |
n |
‘ — 'О w2(х) dx -)- |
j ' |
k (и.) d;x f |
x — ;x) w 2 (x) dx |
|||
|
— СО |
|
|
|
— СО |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(7.196) |
или (опуская для простоты пределы интегрирования) |
|||||||||
Г2 = |
£ = |
Я„(0) + |
f k(o)da f |
/?,(х — о)А(х) dx + |
|
||||
+ |
/ |
|
J |
ЯДхФ — |
jx ) т о 2 |
( dxх ) + |
|
|
|
-j- J |
k(x)dx j k (a) da J w2(a) da J* |
(x -(- a ,— a — v) 10 2 (v) dv — |
|||||||
— 2 / |
Я?л (°) k (a) do — 2 J |
/?/л (<x) та2 (a) da + |
|
||||||
- f 2 f |
k ( a ) d a j /?9 /(o—ix) ку2 (ix) d a + 2 J k (x) dx J /? /A(x-j-u)xe;2(:x)da— |
||||||||
— 2 j k ( a ) d a j k (x) dx J |
R,f / (a — x — [x) w 2(jx) d[x — |
||||||||
|
|
|
— 2 / |
«2(1*)d<xj k ( x ) d x j |
Rf {ix — x — a) w2(a)da. (7.197) |
||||
161 |
|
|
|
|
|
|
ОБОБЩЕНИЕ |
РЕЗУЛЬТАТОВ |
|
|
3 0 3 |
||||
|
Задача, |
как |
и прежде, |
состоит в определении функции к (t), |
обра |
||||||||||
щающей е2 |
в |
минимум иудовлетворяющей условию |
физической |
осу |
|||||||||||
ществимости |
|
|
*(*)== 0, |
|
t < 0 . |
|
(7.198) |
||||||||
|
Пусть т — параметр, не зависящий от t, |
и -/.(/) — |
вариация от к (£), |
||||||||||||
удовлетворяющая, так |
же как и k{t), условию |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
у. |
(0 = |
0, |
t < |
0. |
|
(7.199) |
||
|
Заменяя |
в (7.197) |
k{t) |
через |
й (0 + Тх (0. |
получим: |
|
||||||||
Е |
|
ЬЕ = Е |
2f J у. (о) do J |
R^(x — o)k (х) dx + |
|
|
|||||||||
-j- ^ f |
у (x) dx J A (o) do j° w 2(p) dp J R/ (x —)—ix — о — v) w 2(v) dv -f- |
||||||||||||||
+ |
Y J v- (°) do J A (x) dx J |
w 2(;j.) dp J |
Rf (x |
p — о — v) w2(v) dv — |
|||||||||||
— 2y f |
R4h CO |
|
СО |
+ 2y J у. (з) do J # 9/(о — p) w 2 (p) dp, -j- |
|
||||||||||
4 - 2 y J |
x(t)dx J |
/?/A(x + |
p.)xe>2(p,)dp,— |
|
|
|
|
||||||||
— 2y J у(з) do J /г (x) dx J # ? /(o — x — p) w2(p) dp — |
|
||||||||||||||
— 2y J |
у-CO dx J |
k (o) do J |
R?/(o — x — p) xe»2 (p) dp — |
|
|||||||||||
|
|
|
— 2y J |
у CO dx J T£/2(p) dp J |
Rf (p — x — o)w2{o)do. (7.200) |
||||||||||
|
Необходимое |
условие для экстремума: |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
[^■(E + |
SE)]I. t = |
0' |
|
(7.201) |
||||
при любых v.(t). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
Учитывая (7.200), |
условие (7.201) |
можно |
представить в следую |
|||||||||||
щем |
виде: |
|
|
г |
|
|
г |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
2 J у(о) do J (х — о) & (х) dx -f- |
|
|
|||||||
|
f |
у (о) do |
/г (х) dx J* тг>2 (p) dp J* |
(о -f- p — x — v) xy2 (v) dv -|- |
|
||||||||||
+ |
/ |
%(o) do J к (x) dx J ку2 (p) dp J Д Д х-f- p — о — v) w2(v) dv — |
|
||||||||||||
—2 J ЯтЛ (о) у (о) da -|—2 J у(о) da J R^f {o — p) ■®2(u)dp+-
+2 J у(о) do J Я/л (о - f p) ад2 (p) dp —
— 2 f |
x(o)do J |
k (x) dx J /?97(o— * [O w2(Iх) dp — |
— 2 f |
x(o) do J |
k (x) dx J* /??7(х — a — p) xe», (a) dp — |
— 2 J -a (o) do J « i 2 ( p ) d a J / ? y ( p — a — x ) w 2 (x) d x — 0. ( 7 . 2 0 2 )
304 СИНТЕЗ ПО МИНИМУМУ СРЕДНЕ КВАДРАТИЧЕСКОЙ ОШИБКИ [ГЛ. VII
Это уравнение можно привести к виду
ОО |
|
J С (о) X(о) da = о, |
(7.203) |
и так как оно должно выполняться для всех х(а), удовлетворяющих
условию (7.193), то мы должны |
иметь при а > 0: |
|
|
|
||
J k(z)dz р2/?9(т — °) + / |
dp f |
{R/(a~hP— t — v) |
|
|
||
+ |
Я/(" + p. — a — v)} w2 (y) dv — 2 f |
w2(p) dp {/??/(o — - — p.) -)- |
||||
+ |
Я/? (а — У+р)}] — 2/??л(а)-)-2 J [^//,(o+H-)+T?9/(a —p)] Щ (p)dp — |
|||||
|
— 2 Jiei2((j.)diA J |
Rf ( p — a — t) w2(t) dt = |
0. |
(7.204) |
||
|
Уравнение (7.204) можно привести к виду |
|
|
|
||
|
ОО |
|
|
|
|
|
|
<7(а) = 2 J Л (з — -) k (т) dt — 2D (з) = 0 , |
а > |
0 . |
(7.205) |
||
|
о |
|
|
|
|
|
Итак, для того чтобы при чение квадрата ошибки имело удовлетворять интегральному
рассмотренных условиях среднее зна минимум, импульсная функция должна уравнению (7.205), где
2Л (з — т) = 2/^(3 — т) + J w 2(y)dv j {ЯДз + р. — т — v)-j-
+ ^ (3 — т — р.-1-v)} m,(u.) dp —
— 2J" {7?ср/(з — т — р) 4 “ fypC3 — х + Н-)) Щ ( р ) d p ,
У-D(з) = 2Ryh(a) — 2 J {R/h(<3 + р)-\- |
— p.)j та2([х) dp + |
-)-2 J W z i r i d p f |
Rf{p — з — x) w 2(t ) dx. (7.206) |
Легко видеть, что уравнение (7.205) совершенно аналогично по виду уравнению (7.14). Следовательно, его решение может быть получено точно так же, как это было изложено в § 5 настоящей главы.
Поэтому мы не будем здесь на нем останавливаться, а приведем решение для Ф (у'ш) в комплексной области.
Найдем преобразование Лапласа Q(s) для функции q(t):
СО
Q(s) = f q{t) e~st dt.
О
161 |
|
|
ОБОБЩЕНИЕ РЕЗУЛЬТАТОВ |
305 |
||||
Согласно |
(7.205) |
имеем: |
|
|
|
|
||
|
|
j |
Q (s) = Ф (s) A (s) — D (s), |
(7.207) |
||||
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
Л (s) = 5 , ( S ) + |
|
(5) К (S) Sf (s) - |
W2 (s) s 9f (s) - |
w l (s) S/9 (s) |
||||
И |
|
|
|
|
|
|
|
|
D (s) = S9h(s)—W2(5) S^f ( s ) - W l (s) S/h (s) |
(s) w l (s) S, (s). (7.208) |
|||||||
Следует подчеркнуть, что полюсы функции Q(s) должны быть |
||||||||
расположены |
в правой полуплоскости, так как согласно (7.205) функ |
|||||||
ция q{t) — 0 |
при t > |
0. |
|
|
|
|
|
|
Когда взаимная |
корреляция |
между ср(/) |
и f(t), |
а стало быть, и |
||||
между n{t) и |
f(t) |
отсутствует, |
выражения |
для Л(д) и D(s) упро |
||||
щаются, и принимают вид |
|
|
|
|
|
|||
|
A (s) = |
S9(s) + |
W2 (s) W2(s) Sf (s), |
(7.209) |
||||
|
D (s) = |
S 9h(s) + |
W2 (s) Wl (s) Sf (s) . |
(7.210) |
||||
Рассмотрим теперь, каким образом |
можно воспользоваться фор |
|||||||
мулой (7.207) для вычисления оптимальной передаточной функции.
Пусть |
|
|
|
|
|
|
|
Л(«) = А (« )Л 2(а). |
(7.211) |
||
где /4,(s) |
и A,(s) имеют |
все |
полюсы и нули соответственно |
в левой |
|
и в правой полуплоскостях. |
|
|
|
||
Тогда |
из (7.207) |
|
|
|
|
|
Q (s) |
= |
Ф О) Л, (s) |
D(s) |
(7.212) |
|
2А2 (s) |
|
|
A 2 (s) |
|
Все полюсы выражения Q (s )I2 A 2(s) расположены в правой, а вы ражения Ф (s) ^ j(s) — в левой полуплоскости. Выражение же
<7-21з>
может иметь полюсы везде. Пусть
C + J СО
г (0 — |
/ |
R(s)e*‘ ds. |
|
|
c —joo |
|
|
Мы можем также написать: |
|
|
|
СО |
|
|
|
R{s) = f r(l)e~1!ld t = R 1(s)-\-R2(s), |
(7.214) |
||
—оо |
|
|
|
20 З'чк. 1083. В. В. Солодовников
3 0 6 СИНТЕЗ ПО МИНИМУМУ СРЕДНЕЕВЛДРЛТИЧЕСКОЙ ОШИБКИ [гл . VII
где
СО
Ri(s) = |
f |
г 1 (t) e~st dt, |
|
||
|
|
0 |
|
|
( 7 . 2 1 5 ) |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Ro(s)= |
f |
r2(t)e~sl dt, |
|
||
|
|
— oo |
|
|
|
причем все полюсы R t(s) |
расположены |
в левой, а все полюсы R2(s) — |
|||
в правой полуплоскости. |
|
|
|
|
|
Итак, |
|
|
|
|
|
= |
Ф ( S ) |
Д, (s) - |
R, (s) — R2(s). |
(7.216) |
|
Выделяя из правой части равенства (7.216) ту его часть, для
которой все полюсы расположены |
в левой |
полуплоскости, |
получим: |
|
Ф(5)И,(5) — я,(у) = |
0, |
(7.217) |
||
откуда |
|
|
|
|
ф (s) — |
R,x |
. |
|
(7.218) |
|
Лг (s) |
|
|
|
Учитывая (7.213) и (7.215), можно также написать приведенное выше выражение (7.218) для оптимальной передаточной функции в следующем виде, представляющем собой обобщение формулы (7.60) на рассматриваемый случай:
0 0 СО
ф (усо) = 0 |
.1 . . / |
dt f |
. D. |
eJml dm. |
( 7 . 2 1 9 ) |
w |
0 |
J |
A2(jo>) |
|
|
|
- со |
|
|
|
|
Заметим, что если |
функции. A (s) и D(s) имеют полюсы порядка v |
||||
в начале координат, т. е. если |
|
|
|
|
|
Q(s) = ^ |
[Ф (s) A0( s ) - D 0(s)J. |
(7.220) |
|||
to (7.207) можно заменить уравнением |
|
|
|
||
Y |
s’'Q ( s ) = |
Ф ( s ) Aq( s ) — D0( s ), |
|
(7.221) |
|
в котором правая часть опять содержит все полюсы в правой полу плоскости. Далее необходимо поступать изложенным выше способом.
Пр и м е р . Определение оптимальной передаточной функции для случая различных точек приложения полезного сигнала и помех,
3 0 8 |
СИНТЕЗ ПО МИНИМУМУ СРЕДНЕЙ ВЛДРЛТИЧЕСКОЙ ОШИБКИ [ГЛ. VII |
17. Графоаналитический метод вычисления оптимальной передаточной функции или соответствующих ей частотных характеристик
Изложенный выше метод определения оптимальной передаточной функции системы по заданным спектральным плотностям управляю щего и возмущающего воздействий, или, другими словами, полез ного сигнала и помех, имеет тот недостаток, что он требует задания спектральных плотностей в виде дробно-рациональных функций, причем нули и полюсы этих функций должны быть известны. Однако следует ожидать, что спектральные плотности обычно будут зада ваться в виде кривых, полученных в результате соответствующей обработки экспериментальных данных, и что их аналитическое выра жение неизвестно. Поэтому часто, особенно в тех случаях, когда следует ожидать, что спектральную плотность с надлежащей степенью точности можно представить лишь дробно-рациональной функцией высокого порядка, более удобным может оказаться изложенный ниже графоаналитический метод определения вида оптимальных частотных характеристик. Для применения метода достаточно задания спек тральных плотностей в виде кривых, причем аналитические выражения для этих кривых могут быть неизвестны.
Итак, сформулируем |
задачу, |
к |
решению |
которой мы собираемся |
|||
перейти. |
|
|
|
|
|
|
|
В § 5 гл. VII было |
показано, |
что |
выражение |
для оптимальной |
|||
передаточной функции Ф (у'ш) |
имеет |
вид |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
(7.229) |
|
|
|
со |
|
|
|
|
В (у'ш) = |
|
|
|
|
(7.230) |
||
|
|
|
0 |
|
|
|
|
1 |
1 |
Г s h4 н |
|
|
(7.231) |
||
2т. |
J |
W * (у'ш) |
е |
’ |
|||
|
|
—00 |
|
|
|
|
|
и что, таким образом, задача определения |
Ф (у'ш) |
состоит из трех |
|||||
основных этапов: 1) разложения заданной функции спектральной плот |
|||||||
ности S0(u>) на |
комплексно-сопряженные множители Ч; (у'ш), ЧД(у'ш); |
||||
2) |
вычисления |
функции §(t) |
для |
< > 0 |
при помощи формулы (7.231) |
и |
3) вычисления функции |
Б (у'ш) по |
найденной функции (З(^) при |
||
помощи формулы (7.230). |
|
|
|
||
|
Выше мы видели., каким образом могут быть выполнены все три |
||||
перечисленные |
выше операции, |
если |
обе функции, Б? (ш) и 5 л?(ш), |
||
заданы в виде дробно-рациональных функций от ш. Ниже дается
17] ГРАФОАНАЛИТИЧЕСКОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОПТИМАЛЬНОЙ ПЕРЕД. ФУНКЦИИ 309
графоаналитический способ выполнения тех же операций, требующий задания функций S? (co), 5/;?(со) в виде кривых, аналитические выра
жения для которых могут быть неизвестны.
П е р в ы й шаг . Определение |
амплитудных и фазовых частотных |
характеристик, соответствующих |
вспомогательным функциям W(ju>), |
'V ( » •
В§ 5 гл. VII было показано, что функция W(jw) представляет
собой аналитическую и ограниченную функцию в нижней полупло скости, не имеющую в ней не только полюсов, но и нулей. Как известно (см. § 14 гл. I), эти условия являются необходимыми и достаточными для наличия однозначной связи между амплитудной А (со) и фазовой 9 (ш) частотными характеристиками, соответствующими функции W (усо), т. е.
'Г(Усо) = Лф( с о ) Л (ш).
Амплитудная характеристика Лф(со) функции 'Г(у'со) известна и, как мы видели, определяется формулой
а1( со) = S9(со).
Следовательно, задача определения функции Ц; (усо) по заданной кривой 5 9 ( со) сводится к задаче определения фазовой частотной
характеристики 9^(со) по соответствующей ей амплитудной частотной характеристике.
Способ решения этой задачи был изложен в § 18 гл. I. Зная Аф(ш) и 9ф(ш), можно найти не только *Г(УШ). но и \Г*(усо), так как
|
'Р*(усо) = Лф(со)в"Л,+ ("). |
|
|
|||
В т о р о й |
шаг. Определение вида функции (3 ((“) при t > |
0 |
методом |
|||
трапецеидальных частотных |
характеристик. |
|
|
|||
Рассмотрим теперь графоаналитический способ вычисления инте |
||||||
грала |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
7 SA„ (ш) . , |
|
|
|
№ |
= |
|
. / |
|
Р - 232> |
|
|
|
|
— СО |
|
|
при положительных значениях |
t [отрицательные значения |
t,. |
как это |
|||
ясно из формулы (7.230), нас не интересуют]. |
|
|
||||
Положим, |
что |
|
|
|
|
|
|
- |
^ L |
= U ( m ) + j V ( со). |
|
(7.233) |
|
Вид функции U (ш), V (ш) можно определить по заданным гра |
||||||
фикам функций 5 ft9(со), |
Лф (со), |
9Ф(со). |
|
|
||