книги из ГПНТБ / Константинов П.А. Авиационная радиосвязь

ГЛАВА IV

ИДЕАЛЬНЫЕ ДИСКРЕТНЫЕ СИСТЕМЫ РАДИОСВЯЗИ

§1. ПОНЯТИЕ ИДЕАЛЬНОЙ СИСТЕМЫ СВЯЗИ

Впредыдущей главе при анализе помехоустойчивости раз­ личных систем связи приемные устройства в каждой системе предполагались заданными, а именно такими, какие используют­ ся на практике. Следовательно, в предыдущей главе речь шла

о системах связи с реальными приемными устройствами, т. е.

ореальных системах связи.

Вданной главе заданными считаются сигналы, и примени­ тельно к ним определяются схемы оптимальных приемных уст­ ройств. Анализ различных систем связи сводится к сравнению

их помехоустойчивости при найденных оптимальных приемных устройствах. Другими словами, в данном случае речь будет идти о помехоустойчивости идеальных систем связи.

Понятия оптимального приемного устройства и идеальной си­ стемы связи требуют уточнения. Прежде чем заняться этим уточ­ нением, приведем некоторые сведения из теории обнаружения, необходимые для дальнейшего.

Сигналы, передаваемые по каналам радиосвязи, являются функциями времени и в общем случае зависят от нескольких параметров. Так, сигнал

и (t) = Uтcos (wt — tfl)

зависит от трех параметров: Um, ®. Импульсные сигналы, кро­ ме того, зависят от длительности импульсов, от частоты их сле­ дования и т. д. Сигнал, зависящий от пг параметров X,, Х2, .. ., Хт, будем обозначать n(t, X,, Х2. . . , Хт ).

Вряде случаев интересующая нас информация содержится

водном параметре. Сигнал, зависящий от одного параметра, обозначается так: u(t. X).

Вреальных условиях на вход приемника поступает сумма сигнала и (t, X) и помехи п (t):

x{t) = и (t, X) + п (t).

В дальнейшем предполагается, что помеха представляет нор­ мальный белый шум, т. е. шум с постоянной спектральной плот­ ностью.

130

Параметр ^, вообще говоря, может принимать несколько

различных значений Х],Х2,.., и соответственно этому реализации сигнала будут: и (t, X,), alt, Х2) ..... и т. д.

Статистика сигнала в той или иной мере бывает известна наблюдателю. Например, наблюдателю заранее известно, что в системе с амплитудной манипуляцией параметр X, характери­ зующий значение амплитуды, может принимать два различных

Вероятности, характеризующие статистику сигнала до прове­ дения эксперимента, называются доопытными, априорными. Ве­

роятности, характеризующие статистику сигнала после проведе­ ния эксперимента, называются апостериорными. В соответствии с этим определением через Р(Х) обозначим априорную вероят­ ность того или иного значения параметра X, Р(к/х) — апостериор­

Значение коэффициента С определяется из условия нормировки

j Р (Х/х) d l = I,

| Р (Х )Р (х /Х )л '

Величина коэффициента С не зависит от параметра X. Условная вероятность Р(х/Х) зависит от параметра X. Она

может быть вычислена, если известны характер шума и способ комбинирования сигнала и шума, т. е. условия эксперимента. Рассматриваемая как функция параметра X условная вероят­ ность Р(х;Х) называется функцией правдоподобия и обозначает­

подобнее другого. Наиболее правдоподобному значению пара­ метра X соответствует максимум функции правдоподобия.

Принимая в,о внимание обозначение функции правдоподобия, выражение (4.2) можно переписать следующим образом:

причем

1_______

P(X)I(X)dX

Соотношения (4.2) и (4.3) известны как теорема Байеса. Эта теорема показывает, каким образом при данной реализации из априорного знания и результатов анализа принятой реализации строится апостериорное знание.

Значения, которые может принимать параметр X, определя­ ются системой связи. В дальнейшем будут рассматриваться си­ стемы связи с двумя дискретными значениями сигнала. Двум значениям сигнала соответствуют два значения параметра X. Такое ограничение является существенным, но в него укладыва­ ются основные системы с амплитудной, частотной и фазовой ма­

РQ^ilx ) — CP (X,) L (Xj),

р(Xa/jc) = CP (Х2) L (X,).

Так как Р (Xj/л-) + Р (к21х) = 1,

В рассматриваемых системах связи задача наблюдателя со­ стоит в том, чтобы по принятому колебанию оптимальным об­ разом решить, какое из двух значений U\(t), u2{t) имеет сигнал. При этом суммарная вероятность ошибки равна

приема. Применительно к радиосвязи оптимальным приемником обычно называется такой приемник, который обеспечивает ми­ нимум суммарной вероятности ошибки. Этот критерий называет­

1 3 2

ся критерием идеального наблюдателя. Соответствующий дан­ ному критерию приемник называется идеальным приемником. Идеальный приемник сравнивает апостериорные вероятности двух различных значений параметра X и на основе сравнения принимает решение. Он регистрирует то значение сигнала, для которого апостериорная вероятность'оказывается большей.

Заметим, что сравнение апостериорных вероятностей с целью принятия окончательного решения не увеличивает информации о сигнале. Можно вообще ограничиться выделением апостериор­ ных вероятностей на выходе приемного устройства. Соответст­ вующий этому критерий оптимального приема, а также другие

приемник должен регистрировать то значение сигнала, которому соответствует наибольшая апостериорная вероятность. Это зна­ чит, что идеальный приемник должен регистрировать сигнал щ, если

Критерий идеального наблюдателя, выраженный условиями (4.5), (4.6), здесь-введен без доказательства. Но можно доказать строго [3], [4], что приемник, регистрирующий сигнал и{ при вы­ полнении условий (4.5), (4.6) и сигнал «о в противном случае, обеспечивает минимум суммарной вероятности ошибки, т. е. действительно является идеальным.

В теории обнаружения доказывается [6], что при белом шуме

133

где Nq — физически измеряемая спектральная плотность шума, т. е. средняя мощность шума на единицу полосы частот;

к— неопределенный коэффициент;

Т— время наблюдения.

Как и ранее, будем считать, что в системах связи ашриорные вероятности обоих значений сигнала одинаковы, т. е.

Р (и2) = Р («,) = 0,5.

Тогда условие (4.6) можно переписать так:

Введенные здесь понятия ниже используются для анализа поме­ хоустойчивости систем радиосвязи.

§ 2 . АМПЛИТУДНАЯ МАНИПУЛЯЦИЯ

Полностью известный сигнал

В такой системе связи сигнал и (t) является полностью де­ терминированной функцией с известными амплитудой, частотой и фазой. Два различных значения сигнала определяются соот­

134

Но

и~ (t) dt = E0

есть энергия сигнала за время наблюдения Т, поэтому условие (4.9) для отношения правдоподобия может быть переписано так:

т

Неравенство (4.10) эквивалентно следующему условию:

Если оно выполнено, приемник регистрирует посылку (первое значение сигнала), если нет — паузу.

Соотношение (4.11) дает возможность построить блок-схему идеального приемника, предназначенного для приема амплитуд- но-манипулировавных сигналов с известной фазой. Из формулы (4.11) видно, что основной операцией, которую должен выпол­ нять идеальный приемник, является получение взаимной корре­ ляционной функции между принятой реализацией х (t) и сигна­ лом и (t). Это означает, что схема идеального приемника со­ стоит (рис. 4.1) из когерентного (синхронного и синфазного) гетеродина, воспроизводящего в приемнике сигнал и (t), пере­ множающего устройства, интегратора, осуществляющего инте­ грирование принятой реализации с весом и (t) в интервале вре­ мени наблюдения (0, Т), и порогового устройства, которое осу­ ществляет сравнение проинтегрированного эффекта с порогом

— Ео_

1 3 5

Легко показать, что идеальный приемник, работающий по правилу (4.11), эквивалентен приемнику с согласованным фильтром. Как известно, согласованным фильтром называется оптимальный фильтр, обеспечивающий наибольшее значение от­ ношения сигнала к помехе в момент времени to при условии, что помехой является белый шум. Частотная характеристика согла­ сованного фильтра определяется следующим выражением

[6], [7]:

есть функция, комплексно сопряженная с комплексным спект­ ром сигнала

Сигнал и (t) и его комплексный спектр связаны преобразова­ ниями Фурье

оо

Учитывая это, получаем, что импульсный отклик согласованного фильтра

т. е. имеет форму сигнала, распространяющегося в обратную сторону от момента времени t0.

При поступлении на вход согласованного фильтра смеси сиг­

J36

В конце интервала наблюдения (t' = t0 — T) напряжение на выходе равно

т

«вых(П = J x(t)u(t) dt.

6

Таким образом, действительно напряжение на выходе согласо­ ванного фильтра совпадает с. напряжением на выходе интегра­ тора идеального приемника.

Определим вероятность ошибки при идеальном приеме. Обо­

■Функция х (t) представляет собой либо белый шум с нормаль­ ным распределением, либо сумму сигнала и шума. В обоих случаях величина v, являющаяся результатом линейного преоб­ разования нормально распределенного случайного процесса х (t), также будет иметь нормальное распределение. Обозначим плотность вероятности этой величины Wo (о), когда х (t) = п (t),

и W|(о), когда х (0 = и ({) -\-n(t).

Как уже говорилось, в такой системе связи возможно два рода ошибок. Ошибки первого рода возникают, когда имеет место пауза, а величина v будет больше порога h0 и приемник зарегистрирует посылку. Ошибки второго рода возникает, когда имеет место посылка., а величина v будет меньше порога

Для нахождения суммарной вероятности ошибки найдем ха­ рактеристики нормально распределенной случайной величины v.

Предположим, что излучается второе значение сигнала и2 (t). Тогда х (t) = п ({). Среднее значение величины v равно*

137

( 4 . 2 0 )

При выполнении преобразований для нахождения дисперсии учтено, что

< n ( t l) n ( t 2) > = k ( i l - t a)=*^SLi(fl - t i)

есть корреляционная функция белого шума, и приняты во вни­ мание свойства дельта-функции:

Аналогично могут быть найдены характеристики случайной величины v Для случая, когда излучается первое значение сиг­ нала (посылка). При этом х (/) = « (t) п (t), а среднее зна­ чение

138

Найдем первое слагаемое в правой части последнего равенства:

Подставляя (4.21) и (4.23) в выражение для дисперсии (4.22), получим

Имея xapaicrepiHCTHKiH величины и, можно написать выражения для плотностей вероятностей

13&