книги из ГПНТБ / Гойхман Э.Ш. Основы теории передачи информации в автоматизированных системах управления

сти, может быть аппроксимирована конечной суммой гармониче­

ских составляющих. Чем уже спектр сигнала, тем меньшим.числом гармоник он может быть представлен и тем более плавно меняет­ ся во времени функция, отображающая сигнал.

Функции с ограниченным частотным спектром однозначно опре­ деляются конечным числом дискретных значений, взятых па протя­ жении конечного интервала времени, т. е. передача непрерывной функции с ограниченным спектром может быть сведена к передаче ряда ее дискретных значений. Это важное положение составляет содержание теоремы Котельникова.

2.3.3. Теорема Котельникова (теорема отсчетов)

Эта теорема гласит: Если спектр функции }(t) не содержит частот, превышающих Fm гц, то эта функция полностью опреде­ ляется совокупностью ординат, отстоящих друг от друга на рас­

стоянии —rL— секунд. тп

График непрерывной функции и ее определяющих ординат при­ веден па рис. 2.9,а. Ниже приводим доказательство теоремы.

Функция /(/) может быть представлена интегралом Фурье

где

с о

SH- j M e ~ latdt

-00

—спектральная плотность функции f(t). Поскольку по условию функция не содержит составляющих с частотами, превышающими шт—2кр,п, можно

(2.1) записать в виде

20

времени —пМ (где н=0, 1, 2, 3...), т. е. через интервалы, кратные полупериоду ианвысшей частоты спектра (рис 2.9, а):

21

1—nAt, т. е. f(nAt), однозначно определяют значения соответствующих коэффи­ циентов Фурье;

— совокупность значений f(nAt) при всех положительных и отрицательных значениях п определяет все коэффициенты Сп ряда Фурье для 5(ш), а следо­ вательно, и саму спектральную функцию S(u>). Последняя же в свою очередь однозначно определяет функцию времени f(t). Это означает, что каждая задан­ ная совокупность дискретных значений f(nAt), называемых обычно опреде­ ляющими ординатами, однозначно определяет только какую-то одну непрерыв­ ную функцию с ограниченным спектром. Тем самым теорему можно считать доказанной. '

Остается найти аналитическое выражение для непрерывной функции через се дискретные значения в точках отсчета с временными интервалами

п = —СО

Суммирование в (2.7) производится по всем как положительным, так и отри­ цательным значениям п. Это позволяет изменить знак при п на обратный, что эквивалентно изменению порядка суммирования и нс влияет на его результат. Изменив знак п, получим

Л—- 00

Подставив (2.8) в выражение для /(<), имеем:

т

тл = - э о

оо

g/w(/—/|Д1)dm.

^I,

Это и есть аналитическое выражение для функции g ограниченным спектром через ее определяющие ординаты.

Определяющие ординаты /(«ДО не зависимы друг от друга. Но если заданы определяющие ординаты и известна наивысшая частота спектра Fm, тем самым однозначно определяются все мгно­ венные значения заключенного между этими ординатами участка кривой, отображающей непрерывную функцию.

Разложение Котельникова может быть распространено и на непрерывные случайные функции. Большое практическое значение

22

/

имеет дискретное представление нормального белого шума с ограниченным спектром. Нормальным белым шумом с ог­ раниченным спектром называется стационарная случайная функ­ ция времени, имеющая нормальный закон распределения и равно­ мерный (в пределах оговоренной полосы) частотный спектр. Если спектр такой функции ограничен полосой 0—Fm, то она также может быть представлена совокупностью определяющих ординат,

приведен на рис. 2.9,б, называется функцией отсчетов и часто

3. Она обладает свойством ортогональности, т. е.

Такой фильтр физически неосуществим, поскольку его амплитудная характери­ стика не удовлетворяет критерию физической осуществимости линейного четы­ рехполюсника Пэйли-Винера. Этот критерий заключается в сходимости инте­ грала

23

Ilog'AH' du)<oo.

1-J-u)2

Таким образом, спектр колебаний, получаемых на выходе лю­ дей реальной физической системы, имеет всегда некоторые состав­ ляющие за пределами любой конечной полосы, условно принятой за полосу системы. При этом становится неясным, па каком уров­ не следует производить отсчет полосы, т. е. какую величину при­ нять за граничную частоту Fт. В нервом приближении, как пока­ зал А. А. Харкевич [8], можно считать, что выражение (2.9) дает относительную погрешность, средний квадрат которой имеет поря­

док -у-' где Е — полная энергия спектра сигнала, а ДА — энер­

гия участка спектра, лежащего вне полосы, ограниченной Fm.

До сих пор не накладывалось ограничений на длительность су­ ществования функции f(l). Если же сигналы отображаются функ­ циями, ограниченными как по спектру, так п по времени, то раз­

вале времени Т.

С первого взгляда кажется, что переход от точных выражений (2.9, 2.11) к приближенным (2.9,а, 2.11,а) не должен вызывать в данном случае погрешности, поскольку при оперировании с функ­ циями, строго ограниченными по времени, отбрасываются части функции, находящиеся вне интервала существования функции (Т). Однако это совсем не так. Дело в том, что лежащие в основе вы­ ражений (2.9,а) и (2.11,а) предположения о том, что имеется сиг­ нал, строго ограниченный и по спектру, и по времени, являются взаимно противоречивыми. Любой сигнал строго конечной дли­ тельности занимает теоретически бесконечный спектр и наоборот.

24

Поэтому выражения (2.9,а) и (2.11,а) в принципе являются при­ ближенными; они применимы лишь при выполнении условия

rc=2FmT »1.

Физическая нерсализуемость сигналов с конечной полосой и длительностью приводит к ряду принципиальных затруднений в применении теоремы Котельни­ кова. Это относится и к представляющей значительный интерес аппроксимации с помощью выражения (2.9) случайных функций времени (такой функцией мо­ жет быть представлен любой сигнал).'

Как показал М. Г. Крейн [3], допущение об ограниченности спектра случай­ ной функции противоречит недетерминированности последней; по отрезку такой функции могут быть «предсказаны» се значения в любые последующие моменты времени.

Любая ограниченная но времени случайная функция должна в принципе иметь бесконечно широкий спектр. Ввиду этого, Н. А. Железнов [4] предложил при аппроксимации случайных функций времени разложением Котельникова

(как для случайной .функции времени, имеющей нормальное распределение), означает также отсутствие статистической связи Между дискретами.

При рассмотрении модели флюктуациопиого шума со спектром, ограниченным наивысшей частотой Fm, интервал автокорреляции

смысл теоремы Котельникова: определяющие ординаты представ­ ляют собой ближайшие некоррелированные значения функции с ограниченным спектром. Последнее справедливо и к аппроксима­ ции нормального белого шума с ограниченным спектром выраже­ ниями (2.9) и (2.6,с). Его соседние дискреты оказываются стати­ стически независимыми.

Предложенный Н. А. Железновым метод разложения случайных функций времени полного развития и достаточно широкого применения ефе не получил. В то же время, несмотря на рассмотренные ограничения, разработанный Котель­ никовым метод разложения, основанный па допущениях об ограниченном спект­ ре функции, широко и успешно применяется.

Теорема Котельникова является одним из важнейших положений теории передачи сообщений, позволяющим' осуществить единую методику анализа дискретных и непрерывных сигналов. Она ле­ жит в основе теории импульсных систем связи. Так, например, на

25

мации непрерывной функции рядом (2.9) должен определяться требуемой точностью аппроксимации.

В соответствии с вышеизложенным дальнейший анализ непре­ рывных сигналов производится с использованием разложений Ко­ тельникова.

2,3.3. Способ передачи непрерывной функции с

ограниченным спектром

Функцией отсчетов описывается, в. частности (в первом приб­ лижений), отклик идеального фильтра нижних частот на весьма короткий импульс с единичной площадью. Поэтому каждое сла­ гаемое выражения (2.9) по своему физическому смыслу может быть представлено как отклик идеального фильтра нижних час­ тот с граничной полосой F m на воздействующий на него в мо­ мент времени t= nM короткий импульс, имеющий площадь, рав­ ную значению определяющей ординаты f(nM ) в тот же момент.

В соответствии с этим передача непрерывной функции с огра­ ниченным спектром и ее восстановление на приемной стороне мо­ гут быть осуществлены следующим образом:

1. С помощью коммутатора (рис. 2.10, а) через равные интер­

1

валы берутся отсчеты мгновенных значений функции

2Fm

f(t). В канал связи посылаются короткие импульсы равной дли­ тельности, амплитуды которых пропорциональны этим отсчетам

(рис. 2.10, а).

частота * дискретизации

2 Fm

Рис. 2,10,а

2. Принятые импульсы воздействуют на фильтр нижних частот.

26

Отклики фильтра па отдельные импульсы (рис. 2.10,6), суммиру­ ясь, образуют исходную функцию f(t).

g/„,_ SltlCJmi f(OI~ Umt

2.3.4. Дискретное представление непрерывных функций, спектр которых не начинается с нулевой частоты

Функциями, спектр которых не начинается с нулевой частоты, отображаются многие применяемые в системах передачи инфор­ мации сигналы, в частности сигналы, образуемые в результате мо­ дуляции (амплитудной, фазовой и др.) передаваемым сообщением гармонических колебаний переносчика (несущей или поднесущей частоты). Спектр таких колебаний ограничен лежащими вокруг не­ сущей (поднесущей) боковыми полосами (одной или двумя).

Функция f(t), имеющая относительно узкополосный спектр,, ограниченный частотами / х и / 2, может быть представлена как модулированное по амплитуде и частоте колебание:

/ ( t)—r(t) cos [2Kf0t-£ 0 (/)],

где

г(/)—значение амплитуды (огибающей); /„ —средняя частота (несущая);

0 (f)—мгновенная фаза несущей.

При этом разложение для f(t) имеет вид [5]

п- 1

27

где

rn—r(t—n \t) л в,== (-)(/—nAl) —значения огибающей и фазы несущей, взятые в точках отсчета, расположенных друг от дру-

определяется k—2kx—2FT значениями.

Так, например, амилитудно-модулированпый однополосный сигнал, занимающий спектр в пределах от ]\ до и имеющий дли­ тельность Т, однозначно отображается с помощью 2 (/2—f x)T отсче­ тов. В данном примере ширина полосы спектра сигнала равна наи­ высшей частоте спектра модулирующей функции (FnxJ.

В дальнейшем в целях общности, пользуясь при разложении Котельникова выражением K — 2FT, будем подразумевать под F ширину полосы спектра сигналов; при этом сигналам, спектр ко­ торых начинается с нулевой частоты, соответствует f i = 0 и f2 = Fm.

Полосу пропускания канала будем обозначать через AF либо FK.

§2.4. Квантование сигналов. Кодовая импульсная модуляция

2.4.1.Квантование сигналов

Квантованием сигналов называется представление непрерывных электрических сигналов в виде последовательности их дискретных значений.

Различают квантование по времени, квантование по уровню и комбинированное квантование.

Замена непрерывной функции времени совокупностью ее опре­ деляющих ординат (дискрет), взятых в тактовых точках, равно-

1

отстоящих друг от друга на интервалах At = ль-,' представляет

собой квантование по времени.

"• Метод квантования по времени непосредственно вытекает из теоремы Котельникова и лежит в основе работы систем импульс­ ной модуляции (АИМ, ШИМ, ФИМ и др.). Он позволяет заменить непрерывную функцию конечным числом ее дискрет. Но даже у

28

отдельной дискреты уровень модулируемого параметра является в общем случае величиной непрерывной, могущей принимать бес­ счетное число значений. Для их точной передачи потребуется бес­ конечно бддьшой набор сообщений, каждое пз которых соответ­ ствует определенной дискрете.

Однако в реальных системах передачи информации из-за нали­ чия помех и погрешностей при преобразовании сообщений и сигна­ лов возможна передача значений уровня лишь с определенной точ­ ностью, «.тем меньшей, чем выше уровень помех.

Поэтому без ущерба для точности можно ограничиться пере­ дачей не бессчетного, а вполне определенного числа различимых друг от друга уровней.

Замена непрерывной шкалы уровней дискретной называется квантованием по уровню. Квантование по уровню часто сочетается с квантованием по времени (комбинированное квантование).

При комбинированном квантовании сигнал квантуется по вре­ мени и, кроме того, его значения в тактовых точках квантуются по уровню.

Принцип комбинированного квантования рассмотрим па приме­ ре формирования сигналов при квантованной АИМ (рис. 2.11). Не­ прерывные значения уровня u(t) заменяются дискретными значе­ ниями u K(t), отстоящими друг от друга па величину h, называе­

ш ь

мую шагом квантования (рис. 2.11,а). Шаг квантования может быть постоянным, как это имеет место на рис. 2.11,а, либо пере-

29

\