книги из ГПНТБ / Гойхман Э.Ш. Основы теории передачи информации в автоматизированных системах управления

т. е. при заданной полосе и длительности сигнала длина вектора, отображающего сигнал в многомерном пространстве, пропорцио­ нальна его эффективному значению.

Совокупность сигналов, у которых средняя^ мощность, полоса и

длительность соответствуют условию П < 1/2/=ТУ""Р, лежит внутри многомерной сферы радиуса D.

мя определяющими ординатами, отсчитываемыми в моменты вре­ мени t{ и U (рис- 4.6,а, б). Построение очевидно из рис. 4.6,в.

X,

4.3.2. Расстояние между концами векторов, отображающих два сигнала

Воспользовавшись двухмерной моделью (рис. 4.7), найдем вы­ ражение для расстояния d между концами двух векторов /д и /в, отображающих два сигнала А(1) и B(t) в многомерном простран­ стве. Это выражение потребуется при анализе помехоустойчивости систем передачи двоичных сигналов.

120

Обозначим A (t)—B(t) через ®(t).

d2— a^ f ^ = 2 F ^ ( t ) d t .

Учитывая, что

т

i ^ 2( t ) d t = ~ [ m ^ B ( m

6

получим окончательно:

43.3.Геометрическая модель флюктуационной помехи

Ограниченная по спектру и по длительности флюктуационная помеха также может быть представлена в виде вектора в много­ мерном пространстве.

Функция, отображающая такую помеху, однозначно определяет­ ся с помощью 2FT дискрет (определяющих ординат), отстоящих

друг от друга на интервалы, равные ^р. При этом эти дискреты,

можно полагать статистически независимыми и имеющими нор­

121

мальное распределение со средним значением, равным нулю, и

дисперсией Зл=ЛЛ Величина N характеризует среднюю мощность, выделяемую помехой на единичном сопротивлении. Очевидно, что здесь, как и в случае сигнала (4.10), длина вектора и эффектив-

ное значение функции связаны коэффициентом V2FT. Посколь­ ку же напряжение флюктуационной помехи является случайной функцией времени, как величина ($), так и направление вектора, отображающего отдельную реализацию этой помехи, также слу­ чайны.

Среднеквадратичное значение длины вектора помехи равно

Длина проекции вектора на п-ю координатную ось ($„), харак­ теризующая мгновенное значение помехи в момент времени u&t, имеет нормальное распределение вероятностей с дисперсией a2==yV

4.3.4. Геометрическая модель системы связи

Происходящие в системе связи процессы взаимного преобразо­ вания сообщений и сигналов удобно рассматривать с помощью геометрической модели системы связи. Двухмерная модель такой системы приведена на рис. 4.8. При этом под сообщением будем

понимать электрический эквивалент исходного сообщения. Так, например, при передаче модулированных колебаний чистым тоном сообщением будем считать модулирующее напряжение u(t)=AcosHt. Совокупность всех возможных сообщений образует в общем случае многомерное пространство сообщений U. Каждое из возможных сообщений преобразуется в передатчике (в про-

122

цессе модуляции, манипуляции) в соответствующий ему линейный

сообщений в соответствующие им векторы ,fK в пространстве сиг­

ратора ф сообщение U преобразуется в сигнал /.

Например, в случае амплитудной модуляции, сообщение U(i) преобразуется в сигнал

f(t)=i)u(t)=*[\-\-MU(t)]A sinotf.

В случае чистого тона U(t)—A cos 2 1, тогда

f ( t ) —A sin M y cos(co —Q)t + M ^-cos(<»+2)^

Размерность пространства сигналов может не совпадать с размерностью пространства сообщений. Так, в рассмотренном случае амплитудной модуляции спектр сигналов (две боковые полосы) вдвое шире спектра сообщений, что при неизменной длительности сигнала Т приводит к увеличению вдвое числа изме­ рений пространства (поскольку п=27Т).

В приемном устройстве производится обратное преобразование сигналов в соответствующие им сообщения V. Эта операция может быть записана в виде

Здесь оператор_ф^_1^ обозначает операцию обратного преобразования сиг­ нала в сообщение. В рассмотренном случае амплитудной модуляции чистым тоном принятое сообщение на выходе приемника определится как

У=ф(- 1)/(*)=ф (~ 1)И 1 sin (о/+ Щ ± - c o s ( « - 2 ) * + c o s ( o > - f Q )< ] = ,4 1 cos Q t.

Это преобразование осуществляется в процессе детектирования. Условие неискаженной передачи сообщений можно записать в виде

фф("1)=1.

В реальных системах связи следует учитывать воздействие по­ мех, которое проявляется преимущественно в пространстве сигна­ лов. Может оказаться (рис. 4.8), что под воздействием помехи £ сигнал fi преобразуется в сигнал f 1, конец вектора которого на­ ходится ближе к концу вектора сигнала /и, чем к концу / ь Это неминуемо приведет к ошибке, так как создать приемное устрой­ ство, которое по принятому сигналу f'\ выдавало бы решение о том, что фактически передавалось сообщение СЛ, принципиально невозможно.

123

4.3.5. Идеальный приемник Котельникова

В. А. Котельников показал, что всегда можно построить такой приемник, который правильно воспроизводит сообщение V\ = U\ в тех случаях, когда конец результирующего вектора сигнала и по­ мехи ближе к концу вектора сигнала /ь чем к концу вектора лю­ бого другого из возможных сигналов. Такой приемник называется идеальным приемником Котельникова.

Втаком приемнике все пространство сигналов разделяется на ряд областей, границы которых равноудалены от концов векторов различных сигналов. При этом ошибка в приеме сообщения воз­ никает лишь в том случае, когда конец результирующего вектора сигнала и помехи оказывается в области, относящейся к другому сигналу, как это, например, показано на рис. 4.8.

Вэтих условиях достигается наименьшая принципиально воз­ можная (при данных сигнале и помехе) вероятность ошибки, а

следовательно, и предельно достижимая помехоустойчивость, ко­ торая называется потенциальной помехоустойчивостью.

Именно в этом смысле рассмотренный приемник называется идеальным.

Чем больше расстояние d между концами векторов соседних сигналов, тем больше потенциальная помехоустойчивость-

. Величина d зависит:

а) от расстояния г между концами векторов соседних сообще­ ний (рис. 4.8); „ ‘

б) от способа преобразования сообщения в сигнал (т. е. опе­ ратора ty).

Так, например, при передаче двоичных сигналов методом ам­ плитудной манипуляции посылке «1» соответствует колебание Асоьш^, а посылке «О» — отсутствие сигнала. Разность между эти­ ми посылками характеризуется величиной А. В случае примене­ ния фазовой манипуляции посылке «1» соответствует колебание Acos Ы. а посылке «О» — колебание — Acos Ы. Разность между этими посылками оказывается вдвое большей. Поэтому при про­ чих равных условиях приема для возникновения ошибки во вто­ ром случае потребуется вдвое больший уровень помехи.

§ 4.4. Потенциальная помехоустойчивость при когерентном приеме двоичных сигналов

4.4.1. Вероятность ошибки при идеальном приеме

Пусть на входе идеального приемника при наличии флюктуационных помех воздействуют сигналы двух типов nC{(t) и ufo(7),

соответствующие двоичным посылкам «1» и «О».

Будем считать (это имеет принципиальное значение), что все параметры обоих сигналов (амплитуда, частота, фаза, длитель­ ность), а также вероятность появления каждого из них известны.

121

Закон распределения помехи также предполагается известным. Неизвестно лишь, какой из сигналов принимается во время данно­ го интервала наблюдения.

Не входя в рассмотрение каких-либо конкретных схем реализа­ ции идеального приемника, на основании самых общих соображе­ ний найдем общее выражение для вероятности возникновения ошибок в этих условиях.

Всистемах передачи данных обычно выполняется условие оп­ тимального кодирования: равновероятность поступления посылок «О» й «1». С целью упрощения ограничимся рассмотрением этого, представляющего наибольший практический интерес, случая, т. е-

положим р (0) = р(\) —0,5.

Вэтих условиях пространство сигналов, двухмерная модель которого приведена на рис. 4.9, должно быть разбито на две оди­

наковые области, граница между которыми равноудалена от кон­ цов векторов сигналов /о и ft.

Вероятность ошибки равна

щего вектора из одной области в другую. Поскольку имеются только две области, такой переход возможен лишь при опреде­ ленном знаке проекции £д вектора помехи £ на направление разностногр вектора А/.

можно расположить таким образом, чтобы вектор А/ оказался параллельным одной из них (например, обозначенной индексом п).

125

При этом вектор Х\—\п можно рассматривать как проекцию вектора помехи на одну из координатных осей, т. е. просто как дискретное значение помехи в момент времени ti\t. При отсут­ ствии избыточности соседние сигналы отличаются между собой лишь значением одной дискреты. Поэтому ошибка в отсчете од­ ной дискреты равноценна ошибке в приеме сигнала в целом.

Как указывалось ранее, величина Хп имеет нормальное рас­ пределение с дисперсией a2= N —c2.

В соответствии с этим вероятность ошибки будет равна

d_

> 2

2

Вероятность ошибки равна площади заштрихованного участка кривой распределения вероятностей рис. 4.10.

Учитывая, что площадь, ограниченная кривой распределения, равна единице, выражение для Рош может быть преобразовано к виду

где

d .

а ~ 2а ’

о

* Следует иметь в виду, что в литературе аналогично обозначается и функ­ ция Лапласа

а

126

d= V 2F t У У | \uc{t)~ n Ca(t)\4t

П

И

a^=N—N (lF,

получим

Выражения (4.16) и (4.17), определяющие вероятность ошибки при идеальном приеме в наиболее общем виде, характеризуют по­ тенциальную помехоустойчивость систем передачи телекодовой информации при сделанных допущениях (равновероятность посы­ лок «О» и «1»). С их помощью будут получены выражения, харак­ теризующие потенциальную помехоустойчивость при передаче двоичных сигналов методами амплитудной (КИМ—AM), частот­ ной (КИМ—ЧМ) и фазовой (КИМ—ФМ) манипуляции.

Следует отметить, что амплитудная манипуляция является си­ стемой связи с пассивной паузой, характеризующаяся тем, что один из передаваемых двоичных сигналов равен нулю. Частотная и фазовая манипуляция — разновидности систем с активной пау­ зой.

В этих системах все сигналы имеют одинаковую амплитуду и длительность.

4.4.2. Потенциальная помехоустойчивость прй амплитудной, частотной и фазовой манипуляции

А м п л и т у д н а я м а н и п у л я ц и я

Сообщениям «1» и «О» соответствуют сигналы равной длитель­

ности:

UCl{t) = UmCOS<!>t;

uCo(t)=0. (4.18)

127

Подставив (4.18) в выражение (4.17), для а получим

Q—энергия сигнала, а^Рс—его мощность.

Соответственно вероятность ошибки, характеризующая потен­ циальную помехоустойчивость при амплитудной манипуляции равна

Оба сигнала имеют одинаковые амплитуды и длительность и поэтому обладают одинаковой энергией: Q1= Q0 = Q.

Так как сигналы uCl(t) и uCi{t) взаимно ортогональны, средний интеграл в (4.17) оказывается равным нулю.

В соответствии с этим

,Ф а з о в а я м а н и п у л я ц и я

Из выражения (4Л7) видно, что максимальной потенциальной помехоустойчивостью обладает сиетема передачи двоичных сигна­ лов, у которой выполняется условие

при котором коэффициент а имеет наибольшее возможное значе-' ние. *

В такой системе радиус-векторы сигналов равны по длине и направлены в противоположные стороны, что соответствует наи­ большему расстоянию ( d ) между их концами, а следовательно, и наибольшей помехоустойчивости.

1 2 8

ОС

Тогда в соответствии с (4.17) получим

Как видно из (4.19, 4.21,а, 4.23,а) потенциальная помехоустой­ чивость полностью определяется величиной у, представляющей собой отношение энергии сигнала Q к удельной мощности помех N0 и называемой иногда в литературе превышением энергии. Это указывает на возможные пути повышения помехоустойчивости.

Сравнительная количественная оценка потенциальной помехо­ устойчивости при рассмотренных видах манипуляции может быть произведена по построенным в соответствии с (4.19, 4.21,а, 4.23,о)

кривым зависимости Р0шотУк(рис. 4.11). Наибольшей потенциаль­ ной помехоустойчивостью обладает фазовая манипуляция, наи­ меньшей — амплитудная.