книги из ГПНТБ / Шевяков, Алексей Андреевич. Автоматика авиационных силовых установок учебник для авиационных вузов

198Глава III. Системы автоматического управления ГТД

Вобщем виде таких сочетаний может быть сколько угодно; прак­ тически важно решить задачу по выбору параметров регулятора

для таких сочетаний п, V, Н, где свойства двигателя наихудшие, т. е. при У=Ктт, Я = Я П1ЦСи n= n min. Если при этом окажется, что для некоторых других условий полета и режимов работы двига­ теля заданные переходные процессы не получаются, то целесооб­ разно ввести устройства, с помощью которых можно было бы пе­ ренастраивать параметры регулятора либо по режимам работы двигателя, либо по условиям полета. Однако почти всегда удается так подобрать параметры регулятора, что переходные процессы получаются приемлемыми для большей части области измене­ ния п, V, Я.

Случай, когда начальные условия Я(0) = 1; Х'(0) =Х"(0) =0

Этот случай соответствует условию, когда не учитываются нули передаточной функции, и поэтому в правой части уравнения имеет­ ся только функция единичного возмущения. Поставленную задачу можно решить несколькими способами. Однако для систем авто­

ствующие однохарактерным процессам. Выбирая соответствующие значения параметров Вышнеградского А я В, можно получить мо­ нотонные процессы. Однако нас будет интересовать монотонный процесс с минимальным временем регулирования, которому, как известно из теории регулирования, соответствует значение парамет­ ров Вышнеградского как точки минимума кривой, ограничиваю­ щей область монотонных процессов, т. е. точка а на фиг. 3. 54. На­ помним, минимальное время регулирования для этой точки диа­ граммы Вышнеградского получается потому, что она отвечает ми­ нимальной интегральной погрешности.

Параметры Вышнеградского А и В выражаются через коэффи­ циенты левой части уравнения (3. 16) и соответственно через пара­ метры системы регулирования следующим образом:

Я о 'Ч '3 ( ^ ? ') 2/3(*iK i/C c)1/3’

Наиболее существенными параметрами, с помощью которых це­ лесообразно производить настройку системы регулирования, сле­ дует считать коэффициент усиления сервомотора К0 и время изо­ дрома ТИ.

Из полученных выражений для А к В, считая рi —>0, можно по­ лучить необходимые выражения для Кс и Т„ через остальные не­ изменные параметры. Эти выражения будут такими:

Аналогичным образом можно определить и какие-либо другие два параметра вместо Кс и Т„, например, Тя и общий коэффициент усиления в системе.

Дальнейшее исследование системы регулирования при указан­ ных начальных условиях сводится к построению переходных про­ цессов для различных условий полета и режимов работы двигателя. Для этого необходимо любым методом интегрировать полученные выше дифференциальные уравнения движения, считая в правой части уравнения единичное возмущение.

Обычно удовлетворительный результат получается и в том слу­ чае, если расчет параметров системы вести из условия получения действительных, отрицательных и равных корней характеристиче­ ского уравнения. В этом случае весь процесс регулирования со­ ставляется из трех одинаковых экспонент и поэтому при указанных начальных условиях отсутствует перерегулирование.

Одинаковые, действительные и отрицательные корни характе­ ристического уравнения получаются при таком соотношении коэф­

Следовательно, выполняя указанные соотношения коэффициентов характеристического уравнения, налагаем условия монотонности переходного процесса.

Из приведенных двух соотношений (3. 18) после подстановки в них значений коэффициентов можно определить какие-либо два

параметра регулятора при неизменных остальных. В этом случае для параметров Кс и Та при pi->0 получим такие выражения:

у _ тт . у- _64»i/Ci

и86^1 ’ с 2ЦЧ

Напомним, выбор параметров регулятора указанным методом ■соответствует тому же результату, что и выбор их по диаграмме Вышнеградского для точки, где А = В = 2>, так как этой точке со­ ответствует равенство корней характеристического уравнения.

Теперь проведем оценку качества переходного процесса с по­ мощью интегрального критерия вида

Для уравнения третьего порядка с указанными начальными условиями при единичном возмущении выражение для Д будет

/ _ а2 J 1— аъ

Подставляя значения коэффициентов с учетом р ->0, получим

А = т я

в щ

Ь\К\ (АВ — 1 )

Если выбирать параметры системы по диаграмме Вышнеград­

■Л = 1,47- 7~р *1*1

Если же выбирать параметры в точке А — В — 3, то

Л = 3,38

biKi ’

т. е. в последнем случае процесс будет протекать несколько мед­ леннее.

Случай, когда учитываются нули передаточной функции

Для этого случая также будем рассчитывать систему на полу­ чение монотонных переходных процессов.

Для определения начальных условий напомним некоторые по­ ложения из теории автоматического регулирования. Начальные условия, при которых протекают переходные процессы, определя­ ются различными внешними возмущениями, которые могут быть приложены к различным звеньям системы регулирования. В дан­ ном случае будем рассматривать лишь два вида возмущений — на­ стройкой регулятора Х° и изменением нагрузки /°, которые прикла­

дываются соответственно к первому звену регулятора и к объекту регулирования.

При интегрировании уравнения (3. 16) с помощью обратного преобразования Лапласа автоматически учитываются начальные условия; однако в этом случае до некоторой степени остается скры­ тым влияние начальных условий на процессе регулирования. Меж­ ду тем тот же результат можно получить, если рассматривать урав­ нение без правой части, но с учетом определенных начальных усло­ вий. Для построения переходных процессов различие между этими двумя возможными способами решения заключается в том, что для статических систем [например, уравнение (3. 16) при возмущении Х°] начало координатных осей переносится на величину начальногоотклонения. Иначе говоря, при решении уравнений первым спосо­ бом (с правой частью) переходный процесс начинается из начала координат и при t-+oо регулируемая величина достигает какого-то-

значения Х°; при решении же уравнений вторым способом (без пра­ вой части, но с определенными начальными условиями) переходный процесс начинается не из начала координат, а с ординаты, равной.

Х°, и при t-+oо регулируемая величина достигает оси абсцисс.

Различают два понятия начальных условий: во-первых, такие начальные условия, которые характеризуют состояние системы в любой момент времени до нанесения возмущения. Для системы регулирования, движение которой описывается дифференциальным уравнением порядка п, таких начальных условий должно быть п. Во-вторых, такие начальные условия, которые характеризуют пе­ реходный процесс непосредственно после нанесения скачкообраз­ ного возмущения в момент времени £=(0+).

Начальные условия в первом смысле будем принимать нуле­ выми. Это означает, что в момент нанесения возмущений систени находилась в состоянии равновесия (установившееся движение) и поэтому все п начальных условий будут нулевыми.

Рассмотрение же начальных условий при t —(0+) объясняется тем, что практически скачкообразного возмущения не может быть, а может быть возмущение, наносимое за очень малый промежуток времени е, в течение которого состояние системы может измениться в величинах координат, скоростей, ускорений и других величин.

Таким образом, необходимо определить начальные условия, со­ ответствующие £=(0+). Для этого необходимо воспользоваться из­ вестным преобразованием Лапласа с учетом правой и левой ча­ стей уравнения (3. 16).

Начальное отклонение при условии, что переходной процесс на­ чинается в начале координат и что возмущение единичное, опре­ деляется по такому выражению:

Начальное ускорение определим по такому выражению:

Для астатической системы [например, уравнение (3. 16) при возму­ щении /°] перенесение начала координат не имеет смысла, так как процесс начинается из начала координат и при /-»■ оо сходит к оси абсцисс.

Аналогично для (3. 14) будем иметь такие начальные условия:

Отметим интересную особенность полученных начальных усло­ вий. Если в (3. 22) заменить выражения коэффициентов через ко­ эффициенты уравнений движения звеньев системы, то получим

т. е. при возмущении, приложенном к объекту регулирования, на­ чальные условия зависят лишь от коэффициентов объекта регули­ рования.

Если же в (3.19), (3.20) и (3.21) произвести ту же зам.ену, то получим

Л '( 0 ) = - 1 ; X ' (0) = 0; X" (0 ) = Ь'К<К' .

Здесь начальные условия зависят уже от коэффициентов как объ­ екта регулирования, так и регулятора. При возмущении, обуслов­ ленном перестройкой регулятора, значения имеют только условия, которые характеризуют статическую погрешность, и одна отлич­ ная от нуля производная п—1 порядка.

Выясним условия монотонности процесса при возмущении, обусловленном перестройкой регулятора. Для этого вспомним не­ которые положения из теории автоматического регулирования. На

204 Глава III. Системы автоматического управления ГТД

фиг. 3. 55, а приведен характер изменения во времени регулируе­ мой величины X(t), ее скорости X'(t) и ускорения X " (t) для ста­ тической системы, при следующих начальных условиях:

X (0) > 0; X ’(0) = 0; A " (0 )g 0 .

Из графиков видно, что монотонному процессу соответствует следующее условие: при Х '(0)=0, Л^"(0)<0. В этом случае пере­ регулирование A,Y=0. Следовательно, необходимым условием мо­

нотонности является разнозначность между начальным отклоне­ нием -Y(O) и первой не обращающейся в нуль производной, в дан­ ном случае ^"(0), т. ©. при .Y(0)>0 необходимо, чтобы было

.Y"(0)<0 и, наоборот, при .Y(0)<0 необходимо, чтобы было •Y"(0)>0. Однако это условие не является достаточным, так как при достаточно большом абсолютном значении первой не обращающейся в нуль производной, даже при -Y"(0)<[0 и до­ статочно малом значении .Y(0)>0, переходный процесс все же

гулируемой координаты), причем для этого нужно, чтобы с мо­ мента времени to, при котором X(t) =max, первая производная X'(t) была бы меньше нуля.

При действительных корнях характеристического уравнения третьей степени решение дифференциального уравнения можно за­ писать так:

где ри ру, рз— корни характеристического уравнения. Из трех со­ ставляющих процесса определяющей является та, которая медлен­ нее остальных затухает. Очевидно, этой составляющей соответ­ ствует ближайший к мнимой оси корень.

Если принять распределение корней |pi|<C \р Л <-|Рз!> то из теории автоматического регулирования известно, что необходимые и достаточные условия монотонности можно свести к условию

0, (3.24)

где Ai— коэффициент в уравнении (3. 23) при составляющей про­ цесса, соответствующей ближайшему к мнимой оси корню. При действительных отрицательных корнях и условии, что pi есть бли­ жайший к мнимой оси корень, (3.24) выражает условие монотон­ ности процесса.

Значение коэффициента At может быть выражено через корни характеристического уравнения и начальные условия следующим образом:

X (0) рчРз -f- X ' (0) (р2 4~Рз) 4- X " (0)

(3.25)

(.Р2— Pi)(P3— Pi)

Используя это выражение для Аь можно получить условие мо­ нотонности для различных начальных условий, в том числе и для нашего случая, когда Х (0)ф 0; Л', (0)=0; Х"(0)ф 0.

Для комплексных корней характеристического уравнения необ­ ходимым условием монотонности является условие

показывает, что ближайшим к мнимой оси является действитель­ ный корень pi.

Введем в рассмотрение скорость изменения регулируемого пара­ метра, т. е. продифференцировав (3.23), получим

—X ’ (t)= В {е~Р1 + В 2е~р*< -\-В3е~Р‘‘

или при комплексных корнях

— X ' (t) = В Хе-Р‘<+ Д2е(-»+г13н + .ез£ <-“- ' ■ * * ) ( 3 . 2 7 )

Рассмотрим также комплексную функцию действительного

з_

,V “я

ку ^= -— 1 т:

В случае действительных корней характеристического урав­ нения и распределения |//, | < \Ря I <С|/*з1>используя (3.25) и учи­

тывая известное соотношение между корнями в виде PiP2p3 —

°о

для заданных выше начальных условий получим такое необходи­ мое и достаточное условие монотонности:

Используя зависимость для pi от коэффициентов нормирован­ ного уравнения в виде

и значения самих коэффициентов по (3. 34), это же условие моно­ тонности можно написать так: