книги из ГПНТБ / Кац М. Статистическая независимость в теории вероятностей, анализе и теории чисел
.pdfНОРМАЛЬНЫЙ ЗАКОН |
61 |
ностей. Мощный метод был предложен М арковым, ыо он не сумел сделать его строгим. Около двадцати лет
спустя |
метод был обоснован П. |
Леви. |
М арковскому |
|||||||
методу посвящены следующие два пункта. |
|
|||||||||
2. |
Основная идея |
метода. П усть |
|
|
|
|||||
|
|
|
1, |
|
|
(Oj < X < |
G)2, |
|
( 2 . 1) |
|
|
|
|
О, |
в противном |
случае. |
|||||
|
|
|
|
|||||||
Из элементарной |
теории |
интеграла |
Фурье |
известно, |
||||||
что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
*(*>= Ш 5 |
---- Ч— |
е |
|
dl |
( 2 . 2) |
|||
|
|
|
|
|||||||
при обычном условии, что |
для х — Ыу |
и х = |
со2 полу |
|||||||
чается |
значение, |
равное |
|
. Далее, если только fOj |
||||||
и со2 не |
являются |
целыми |
кратными |
числа |
1/га , то |
|||||
имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Р jo)! < |
ri |
(0Ч ~ • • • Ч~гп ( О |
< |
" г |
= |
|
|
|
|
|
|
|
Y n |
|
|
|
}" |
|
|
|
|
^ g (rA l)±-..- + rn (0 ^ dt |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
Y n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
eia>2%_ |
|
|
|
|
|
|
« * . |
|
- S i r ) = * < = |
|
|
|
|
|
|
||||
(2.3)
(>2 |
ГЛАВА 3 |
Изменяя порядок интегрирования в последнем выра жении [в данном случае это легко обосновывается, так как сумма ^ ( £ ) + . . . + rn (t) принимает только конечное число значений], мы получим
И ®i < |
r i(;) Ч~ • • • Ч~гп (О < Ш, |
|
]/"п |
_ i |
[ |
е*“2&—е4®1* |
|
|
ri (*)~Ь • • •+>'n (O' |
|||
~~2п } |
11 |
|
|
|
|
V* |
||
|
— СО |
|
|
|
|
|
||
|
|
1 |
,»Иг1_JtoiS / |
cos |
J L ’ |
|||
|
|
: |
е |
|
|
|||
|
|
2л 5 |
|
«’5 |
|
I |
| / п, |
|
Для |
каждого действительного | |
|
|
|
||||
|
|
lim (cos—2=' |
|
? - £ 2/ 2 , |
||||
|
|
п-»-оо \ |
У |
П |
|
|
|
|
и напрашивается вывод, что |
|
|
|
|
||||
lim р 4 ol>i < ri (04~ • • • -\~гп (О |
|
< ®2} |
||||||
П |
- * С О |
*» |
j/"п . |
|
|
|||
(2.4)
(2.5)
*<02w 2*
- s i
it |
e^ /2d^ - f ^ \ e~vV2dy- |
(2-6’) |
|
(01 |
|
Каковы затруднения с этим методом? Единственный шаг, требующий обоснования, — это переход к преде
НОРМАЛЬНЫЙ ЗАКОН |
|
03 |
лу под знаком интеграла при п —^оо. |
К |
сожалению, |
пределы интегрирования суть — оо и -1-оо, |
а функция |
|
ч |
|
|
не является абсолютно интегрируемой. |
математиком, |
|
Марков, который был великолепным |
||
не смог преодолеть эту трудность и отказался от этого метода!
Физики, понятие строгости у которых менее точно, чем наше, так и называют метод «марковским мето дом», тогда как математики едва ли знают о его про исхождении.
3. Метод Маркова становится строгим. Обоснова ние марковского метода в действительности совсем просто. Оно основано на простой и широко примени мой идее.
Исследуем сначала формулу (2.2). Это обычная формула Фурье:
С О |
со |
(3.1) |
S |
S S{y)eiUv~x) dydl, |
|
—00—со |
|
|
примененная к специальной функции (2.1).
Введем теперь две вспомогательные функции: g£ (х ) и gl (х), графикиг) которых приведены ниже (е > О, 2е < со2 — coj).)*
*) Вырота обоих графиков равна 1.
64 ГЛАВА 3
|
|
|
|
s, <*> |
|
|
щ-е (о. |
|
Щ |
Шг+£ |
Ш, (v,*£ |
(Jj2-e шг |
|
Мы имеем |
|
|
|
|
|
|
|
gi (*) < |
В (х)< gi (*) |
(3.2) |
|||
и, следовательно, |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
Г1 (0+ ■■. -\-rn (t) |
dt < |
|
|
|||
$й ( |
Y п |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
< Ц |
| со, < |
(0Т~ |
■~t-rn (t) |
<M 2 |
< |
|
|
Y n |
|||||
|
|
|
|
|
||
Теперь функции
СО |
СО |
G l ( l ) = \ gl {у) eivldy и G l { Q = \ g l { y ) e {^ d l
— со |
- с о |
|
|
Н О Р М А Л Ь Н Ы Й ЗА К О Н |
65 |
|
|
|
|
абсолютно |
инт егрируемы по £ в интервале |
( — сю, сю) |
|
ч |
вследствие этого аргум ентация п. 2 |
приводит |
|
к |
ст рогом у |
выводу |
|
lira |
( |
gl ( |
\/ П |
= |
П-+00 |
J |
Ч |
У |
|
|
О |
|
9 |
|
|
|
со |
|
со |
|
|
= 2)7 \ |
6-12/2 |
5 ££" (у) eiiy dy d^ |
|
|
—со |
|
—оо |
|
|
|
оо |
|
|
|
= 7Sf |
I «-(г/)»-”1'2*/ |
|
|
|
— со |
|
|
iim
п-+со
со со
= 4 S е-|г/2 S g i ( y ) ^ d y d l =
—оо |
—оо |
|
со |
- y f e S —00
К ом бинируя (3.4) и (3 .5) с (3.3), получаем
ОО
У Ш I S l ( y ) e ~ ^ d y <
— СО
(3.4)
(3.5)
5 М . К а п
6б ГЛАВА 3
< lim inf р j щ < |
7-1(г)+ ' ■•+ M iL. < (о2| |
< |
|||||
П->оо |
I |
у |
и |
|
' |
|
|
< |
lim sup р {(Oi < |
г1(*)+-"_+ГпМ < |
0)2| |
< |
|
||
|
71->со |
I |
у 71 |
|
J |
|
|
|
со |
|
|
|
|
|
|
|
5 g i(y)e ~ vV2diy. |
|
|
|
(3.6) |
||
|
— СО |
|
|
|
|
|
|
Так как (3.6) справедливо при |
любом |
е > |
0, |
то мы |
|||
сразу получим |
|
|
|
|
|
|
|
П т |
р {£ох < |
^ W+ |
|
< соД = |
|
|
|
n —foo |
t |
|
у П |
J |
|
|
|
|
ОО |
|
|
0 ) о |
|
|
|
~ w A |
^ ) t -', V d y = T |
s \ ‘- M 2iy <3 -7> |
—т |
“ |
/л. |
ЗАДАЧИ
1.В 1917 г. Г. Вейль доказал, что при любом ирраци
нальном а |
последовательность ап —па— [ла], л = 1 , 2, . . . . |
|||
равномерно |
распределена |
на (0,1). Другими словами, |
если |
|
O < (O !< 02< 1 и кп (cOj, со2) обозначает число величия а,, |
1 < |
|||
■ 0 < л , которые попали |
в интервал (сох, со2), то |
|
||
|
,. |
кп (ш,, со2) |
|
|
|
lim ■ |
|
■— — — = оз2 — % . |
|
|
п-+ оо |
|
Л |
|
Вводя периодическую функцию |
g (х) с периодом 1, заданную |
па (0,1) соотношением (2.1), и |
используя ряд Фурье вместо |
интеграла Фурье, доказать теорему Вейля.
|
НОРМАЛЬНЫЙ ЗАКОН |
|
67 |
|
2. Использопать метод Маркова для доказательства формулы |
||||
Лапласа |
|
|
|
|
|
|
|
0)2 |
|
Нт е |
V |
хк - 1 |
( c-vV2 |
<iV |
х-к© |
а |
_*! |
3 ' |
|
x+Mi Y x |
< ft < хЧ-Мо Vx |
|
|
|
4. Более внимательный взгляд на |
метод. |
Анализ |
||
материала п. 3 обнаруживает, что в действительности доказана следующая теорема.
Пусть /„ (*), 0 < t < 1, — последовательность изме римых функций, такая, что для каждого действитель-
НОГО I |
1 |
|
|
|
|
lim f е'&п dt = е~&/2. |
(4.1) |
||
Тогда |
п-оо J |
|
|
|
|
0)2 |
|
||
Пт [Д.{со1</п(0 < |
(4.2) |
|||
$ e - W d y . |
||||
n—vco |
* |
0)‘i |
|
|
Пусть |
ап (ш) = И {/„(0 < |
|
(4.3) |
|
|
|
|||
тогда о„ (со) |
обладает следующими |
свойствами: |
|
|
1) О п ( - оо) = 0> ffn( + °°)= 1;
2)ап (со) — неубывающая;
3)сгп(со) непрерывна слева.
(Отметим, что свойство 3 |
есть следствие полной адди |
тивности меры Лебега.) |
Функция о (со), имеющая |
|
5* |
68 |
ГЛАВА |
.4 |
|
свойства 1 ,2 ii |
3, называется функцией распределения. |
||
Тогда |
-|_со |
|
|
I |
|
|
|
^ |
e ^ n ^ d t — ^ |
e^a dan (bi) |
(4.4) |
6—оо
инаша теорема может быть сформулирована так. Если последовательность функций распределения
ап(а>) такова, что для каждого действительного | +°°
lim |
\ |
dan(со) = е~£2/2, |
(4.5) |
|
п->со —•оо |
|
|
||
ТО |
|
|
|
|
°пЮ - |
|
оп (со,) |
G (со2) - G (со,), |
(4.6) |
где |
|
|
|
|
|
|
|
СО |
|
с И |
= г т = |
^ e-W^dy. |
(4.7) |
|
— ОО
Внимательный читатель заметит небольшой логический пробел. Если нам задана какая-либо последователь ность функций распределения пп(со), то последнее утверждение следует из предыдущего только тогда, когда мы можем подобрать последовательность функ ций /„(<), 0 < £ < 1 , таких, что
М /„(0 < ®} = ° п И - |
(4.8) |
В сущности, это затруднение можно обойти, пользуясь аргументами п. 3. Однако конструкция функций / п (<) чрезвычайно проста. Действительно, мы можем взять
Н О Р М А Л Ь Н Ы Й ЗАКОН |
69 |
и качестве f n (t) функции, обратные |
к функциям |
цп ((о), имея в виду, что интервалы постоянства ап(со) переходят в разрывы fn (t) и разрывы 0п (со) —в интер валы постоянства /„(£). Мы оставляем детали чита
телю. Заключение, |
что |
(4.5) |
влечет |
за собой (4.6), |
|
является специальным случаем |
важной общей теоре |
||||
мы, известной под названием теоремы |
непрерывности |
||||
для преобразований |
Фурье—Стильтьеса. Эта теорема |
||||
может быть сформулирована следующим образом. |
|||||
Если ап (со) — последовательность |
функций распре |
||||
деления, такая, что |
для |
каждого |
действительного | |
||
-fco |
|
|
|
|
|
lim |
С |
dan (со) = с (£) |
(4.9) |
||
П->00 v
ис (|) непрерывна в точке | = 0, то существует един
ственная функция распределения н(со), такая, что
-fco |
|
|
^ |
da (со) = с (£) |
(4.10) |
— СО |
|
|
И |
|
(4.11) |
lim оп (со) = а (со) |
||
ТХ-ЮО
при каждом со, для которого а (со) непрерывна. Доказательство в дополнение к уже изложенным
идеям использует так называемый принцип выбора Хелли и ввиду некоторых технических трудностей не может быть здесь представлено. Поэтому мы про пустим его, но в то же время будем свободно исполь зовать теорему впоследствии.
70 |
|
ГЛАВА 3 |
ЗАДАЧИ |
|
|
1, 2, |
1. Пусть функции |
/„(/), |
. .. мы имеем |
. |
|
|
, |
|
|
1 |
+СО |
Jim |
( |
^ yhe В2/2 ^ . |
|
У 2л |
|
таковы, что при к —О,
О, к нечетно,
/с!
■)h/2f *
, к четно.
Ч )'
Доказать, |
что для |
каждого |
действительного | |
|
|
|
|
I |
|
|
|
lira |
\* И У п < ‘) Л = е -6 * /2 |
|
|
|
П -+ С Ю |
J |
|
и, следовательно, что выполняется (4.2). |
||||
2. |
Пусть |
{nm}— последовательность целых чисел, така |
||
что |
|
|
|
|
|
|
|
lim |
i5m±l= 0 o. |
|
|
|
771—VСО |
'« ’т о |
Доказать, |
что при |
* = |
0, 1, |
2, . .. |
lira |
( |
\ г 2 C°S lnnxt'^ C0S 23T/t^ + |
• • • + cos2nnmtN |
_ |
||
п~*со 0 |
V |
|
|/m |
|
) |
|
|
|
|
|
|
CO |
|
|
|
|
= |
* |
^ уЬе~у2/2 dy |
|
|
|
|
У 2я |
J |
|
|
и, следовательно, |
— OO |
|
||||
|
|
|
||||
lira p. { w i< /2 |
- coslntiit -^-coslnn^t Д- . . . + |
cos2я/гт г |
1 |
|||
V ’ |
------ -------- < <»2 Г = |
|||||
|
|
|
|
0)2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
- M |
~W2 dy. |
|
|
|
|
|
/ 2 я |
J |
|
|
|
|
|
|
m. |
|