книги из ГПНТБ / Кац М. Статистическая независимость в теории вероятностей, анализе и теории чисел
.pdfПРОСТЫЕ ЧИСЛА «ИГРАЮТ В АЗАРТНУЮ ИГРУ» |
Ю1 |
и потому |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
J_ 2 |
eix |
(n)—v (n))_ |
|
||||
|
|
7 1 = 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N |
|
|
|
|
|
|
|
- |
4 |
2 |
ех? х |
[ ix |
2 |
|
(ap(w) - ~ 6 p ^ ] | = |
||
|
|
n = l |
|
|
|
|
|
|
|
|
~ |
2 |
exp [ ix 2 |
|
(«p (n) - |
QP(n)) ] (elxSh (n) - 4) < |
|||
|
|
П = 1 |
|
|
Р^РЬ |
|
|
|
|
|
|
iV |
|
|
|
|
|
|
iV |
< |
4 |
2 |
1 е Ч < п ) - |
1 ! < |
у 2 |
* » ( » ) • |
|||
|
|
7 1 = 1 |
|
|
|
|
|
71=1 |
|
Так как |
|
N |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
4 |
2 |
exp Гix |
2 ( s w - P p ^ ) ) ! = |
|||
|
|
|
|
71=1 |
|
|
|
PSSPft |
|
|
|
= M {exp [ ix |
2 (Op (») - Qp (л)) ] } = |
||||||
|
|
|
|
|
|
р^рь |
|
||
Д M {elx(ap.(n)-°p (n))} =
P^Pb
- n ( ‘ ~ K ) 0 + i = W >
P^Pb
102 ГЛАВА 4
то в силу |
(3.11) заключаем, что расстояние |
каждой |
||||
предельной точки последовательности |
|
|||||
|
|
|
|
N |
|
|
|
|
|
|
JV 2 g i x (со (n)—v (п)) |
|
|
|
|
|
|
п=1 |
|
|
ОТ |
|
|
|
|
|
|
меньше, чем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
\ Х \ 2 |
( р — 1)2 • |
|
|
|
|
|
p>pk |
|
|
Так как |
к произвольно, |
отсюда сразу следует, |
что |
|||
|
|
N |
|
|
|
|
lim — |
V |
eix |
(™)—1v <п» = М {eix (а> (")—v ("))} = |
|||
ЛГ-соо |
Я |
^ |
|
|
|
|
|
|
П = 1 |
|
|
|
|
|
|
= |
П |
( * - 7 |
- ) 0 + 7 = З г ) |
<3 -13> |
|
|
|
Р |
|
|
|
и, таким образом, (3.8) |
обосновано. |
|
Возвращаясь назад к (3.5) и (3.6), мы получаем |
||
dh= D {со (га) — v (п) = к} — |
||
2п |
|
|
= г г 1 ‘‘“ |
П |
( 1 - т Х 1 + - ? = г = - )‘Ь!- |
0 |
р |
|
(3.14)
ПРОСТЫЕ ЧИСЛА «ИГРАЮТ В АЗАРТНУЮ ИГРУ» ЮЗ
Рассмотрим теперь функцию
|
^ W = n ( i - y ) ( 1 + 7 ^ r ) - |
<ЗЛ5> |
||
|
Р |
|
|
|
Она |
аналитическая во всей плоскости, |
исключая про |
||
стые |
полюсы в точках z = 2, |
3, 5, . .. |
. В частности, |
|
F (z) |
аналитична в круге \z\ < 2, и ее |
можно |
разло |
|
жить там в степенной ряд |
|
|
|
|
|
ОО |
|
|
|
|
F{Z)='2} |
akZ>1’ |
|
|
|
h = 0 |
|
|
|
радиус сходимости которого равен 2.
Каковы коэффициенты а.к? Если мы используем известную формулу
1 |
F( z ) |
dz, |
a , i ~ 2 n i |
zh*i |
|
где интеграл берется по контуру |
\z\ = i, то, подстав |
|
ляя z — elx, получаем |
|
|
ah~dk- |
|
|
Или в других терминах |
|
|
2 ^ = П ( ‘ - т ) ( 1 + ^ г > |
(ЗЛ6) |
|
k=0 |
р |
|
Эта прекрасная формула была открыта (другим спосо бом) А. Реньи.
104 |
ГЛАВА |
4 |
|
Хотя вывод точных формул |
для dh затруднителен, |
совсем просто определяется асимптотическое поведение
dh при больших к. |
F (z) может быть записана в форме |
|
Действительно, |
||
F ( z) = - ^ 2 + G ( z), |
|
|
где G{z) — функция, |
аналитическая в круге |
[ z | < 3 , и |
А (вычет в полюсе z — 2) дается формулой |
|
|
' ~ 4 п ( ‘ - 4 ) ( ‘ +тЬ)- |
||
Р> 2 |
|
|
Таким образом, |
|
|
|
оо |
СО |
П ( ‘ - 4 ) 0 + 7 ^ ) s i + 2 М‘, |
||
р > 2 |
fe= 0 |
k=0 |
где радиус сходимости ряда 2 b ftzh равен 3. Вследствие того что
‘*.=-гП(1- т ) ( 1+7=^)^+ь‘
|
Р > 2 |
|
И |
|
|
|
lim |
sup I bh |1/ft = -з - |
|
k-voo |
^ |
имеем при к |
со, |
|
dh~22(ft+i) II С1 |
(3.17) |
|
Р > 2
ПРОСТЫЕ ЧИСЛА «ИГРАЮТ В АЗАРТНУЮ ИГРУ» |
Щ5 |
ИЛИ |
|
Urn № 4 = П О - 7 - ) ( ‘ + т 4 > |
<ЗЛ8) |
Два частных случая (3,16) заслуживают внимания. Полагая z = О, мы получим
^о=П С1_7Г)=Т12Г=^’'
р
Это хорошо известный результат, означающий, что плотность чисел, не делящихся на полный квадрат, равна 6/я2.
Полагая z — 1, получаем
СО
2 *-П(‘- г Х ‘+:Дт)-‘-
к=0 р
В силу того что множества целых |
чисел, |
для которых |
|
(о (п) — v (п) = к , взаимно не |
пересекаются и вместе ис |
||
черпывают множество всех |
целых |
чисел, |
то этот ре |
зультат мог быть совершенно тривиальным, если бы плотность была вполне аддитивной. Так как этого нет, то тот факт, что мы тем не менее получили
СО
2 4 = 1 ,
к=0
является по крайней мере приятно удивляющим.
106 |
|
|
ГЛАВА 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4. |
|
Почти каждое |
целое |
ш |
имеет |
приближенно |
||
log log т |
простых |
делителей. |
Рассмотрим |
целые т, |
||||
1< m < n , |
для которых выполняется или |
|
|
|||||
|
|
v (т) < |
log log п — gn 1/"log log n |
|
(4.1) |
|||
или |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
v (m) > |
log log n + gn V b g log n, |
|
|
|||
где gn — последовательность такая, |
что |
|
|
|||||
|
|
|
li mgn = c o . |
|
|
(4.2) |
||
|
|
|
П - И Х ) |
|
|
|
|
|
Обозначим число таких т через К п и попробуем |
оце |
|||||||
нить |
эту величину. |
Используем для этого чебышевский |
||||||
метод, объясненный в и. 1 гл. 2. |
|
|
|
|||||
Имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
71 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
(v (т) — log logn)2 > |
2Г (v im) —•l°g l°gn)2, |
(“4.3) |
|||||
m=i
где штрих у символа суммы указывает на то, что суммирование распространяется только на целые т, удовлетворяющие (4.1).
Очевидно, |
|
2 ' (v (т) - log log п)2 > K ngl log log п |
(4.4) |
и, следовательно, в силу (4.3) |
|
O T ^ l o g l o g . Е (v И - l o g log л)*. |
(4.5) |
m=l |
|
ПРОСТЫЕ ЧИСЛА «ИГРАЮТ В АЗАРТНУЮ ИГРУ» |
107 |
|||
Остается оценить |
|
|
|
|
П |
|
|
|
|
2 |
(v (т) |
log log и)2 = |
|
|
7П=1 |
|
|
|
|
= 2 v2 (т) — 2 log log п 2 |
v(m) + rc(loglogn)2. |
(4.6) |
||
m — i |
?TU=1 |
|
|
|
Теперь имеем |
|
|
|
|
|
v (m) = 2 еР (т) |
|
|
|
v2 т) ( |
(=т) |
+ |
2 |
2 |
рр < д
(qp = qp); следовательно,
2 |
v(m ) = 2 |
[ 7 ] |
(4.7) |
m = l |
р |
|
|
S v ! W = |
2 [ i J + |
2 2 [ ^ ] . |
(4.8) |
m=l |
|
р < д |
|
Суммирование в (4.7) и (4.8) происходит только по простым р и которые меньше или равны тг. Таким
образом,
П
2 v ( m ) > « 2 7 - я (п), |
(4.9) |
7 7 1 = 1 |
р ^ П |
108 ГЛАВА 4
где л (п) |
обозначает количество простых чисел, не пре^ |
||
восходящих п; аналогично |
|
||
П |
|
2 |
|
2 v2(m)< |
|
||
m=i |
pj^n |
P < Q ^n |
|
|
< |
n 2 7 + n ( 2 j ) * - |
(4.10) |
Известно, |
что |
p$:n |
|
|
|
||
|
2 7 |
= 1°glogn + e„, |
(4.11) |
|
p ^ n |
|
|
где еп ограничено, и потому
п
2 v2 (т) < п (log log n)2 + 2п log log nen +
771=1
+ ne\ + n log log n + nen
и
71
2 v {m )> n log log n + nen — n (n). m=l
Наконец, с помощью (4.6) получаем
71 |
|
|
|
|
|
2 (v (m) — log log rif < |
ие2 + |
|
|
||
m=1 |
+ и log log n + nen + 2 log log пл (n) |
||||
|
|||||
и, следовательно, |
|
|
|
|
|
Kn < J _ , |
«n |
, |
en |
, 2 л (”) |
1 |
П ^ gl |
gn log log n 'gn log log n |
n |
g% |
||
ttPOCTblE ЧИСЛА «ИГРАЮТ В АЗАРТНУЮ ИГРУ» |
Ц)9 |
Так как еп ограничено, я (п) < п и gn —>со, то отсюда следует, что
П т — = 0. |
(4.12) |
п -> оо ^ |
|
Ввиду того что величина log log т меняется очень медленно, полученный результат (4.12) влечет за собой следующее:
Если 1п обозначает количество целых чисел т, 1 < т о < п , для которых имеет место или
v (т) < |
log log т — gmV log log m |
(4.13) |
или |
|
|
v (m) > |
log log m-\-gmY log log m , |
|
TO |
|
|
|
lim — = 0. |
(4.14) |
|
n —к о n |
|
Доказательство предоставляется читателю (см. задачу 1 в конце этого раздела). Утверждение (4.14) было впер вые доказано Харди и Рамануджаном в 1917 г. Именно они сформулировали его очень образно, в такой форме: почти каждое целое т имеет приближенно log log т простых делителей. Доказательство, приведенное выше, предложено П. Турином, и оно гораздо проще перво начального доказательства Харди —Рамануджана. Как читатель может заметить, прием Турина является прямым аналогом доказательства слабого закона боль ших чисел, которое мы дали в п. 1 гл. 2. Это еще
110 |
ГЛАВА 4 |
один пример, когда идеи, заимствованные из одной области, приводят к плодотворным применениям в другой.
ЗАДАЧИ |
|
|
|
1. |
Доказать (4.14). Указание: |
пусть 0 < а < 1 ; |
рассмотреть |
лишь |
целые числа из отрезка |
па <Ст -^п и показать, что |
|
в этих |
пределах каждое целое т, удовлетворяющее |
||
|
| v (то) — log log от | > |
gm У log log то, |
|
удовлетворяет также неравенству |
|
||
|
| v (m) — log log n | > |
hn Y log log n |
|
при соответствующе выбранном hn -> оэ. |
|
||
2. Доказать (4.12) для ш (то). |
|
|
|
5. |
Нормальный закон в теории чисел. |
То обстоя |
|
тельство, что v(m), число простых делителей т, равно сумме
Ivj Qp H |
(5-1) |
независимых функций, подсказывает нам, |
что распре |
деление величин v (т) может быть дано нормальным законом. Это действительно имеет место, и в 1939 г. Эрдёш и Кац доказали следующую теорему.
Пусть |
К п (©!, со2) — количество целых чисел |
т, |
|
1 < т < п , |
для |
которых |
|
log log п + |
С0ХY log log п < |
|
|
|
< |
v(m) < loglogH + 0)2V/ log log n. |
(5.2) |