книги из ГПНТБ / Кац М. Статистическая независимость в теории вероятностей, анализе и теории чисел

и вводящая в заблуждение терминология, к сожале­ нию, непоправимо теперь закрепилась). Посмотрим, как включается в эту схему «герб или решетка».

Пространство выборок й в этом случае — просто мно­ жество всех бесконечных последовательностей симво­ лов Н и Т, т. е. последовательностей, подобных

со: Н Т Н Н Т Т Т . .. .

Что является элементарными событиями? Обычно это «цилиндрические множества», т. е. множества последо­ вательностей, у каждой из которых на конечном числе выбранных мест стоят одни и те же символы. Напри­ мер, множество всех последовательностей, у которых третий элемент Я , седьмой— Т и одиннадцатый— Т, есть цилиндрическое множество. Какие значения меры должны быть приписаны этим множествам? Это зави­ сит, конечно, от нематематических допущений относи­ тельно опытов с бросанием монеты. Эти допущения мы должпы перевести на математический язык. Не­ зависимые бросания «симметричной монеты» перево­ дятся на этот язык сопоставлением каждому цилиндри­

ческому множеству меры

1 V

42 ГЛАВА 2

где /с —число фиксированных символов. Теперь возни­ кает важная проблема, заключающаяся в доказатель­ стве единственности продолжения меры. В нашем случае это может быть сделано очень просто посред­ ством сведения к единственности меры Лебега. Послед­ нее означает, что если мера [х, определенная на (0,1), удовлетворяет 1, 2 и 3 и если ц-мера любого интер­ вала равна его длине, тор, — обычная мера Лебега. Если мы будем писать 1 вместо Н и 0 вместо Т, то каждой последовательности символов Н и Т будет соответство­ вать (однозначно, исключая счетное множество двоично­ рациональных чисел) число t , 0 < 1, а именно число, двоичные цифры которого получаются заменой симво­ лов И и Т данной последовательности единицей и нулем соответственно. Получившееся отображение имеет также то свойство, что оно переводит цилиндрические мно­ жества в объединения пепересекающихся интервалов, концевые точки которых являются двоично-рациональ­ ными числами. Кроме того, мера, приписанная нами цилиндрическому множеству, равна лебеговой мере (длине) множества, полученного при его отображении. Теперь мы довели дело до конца!

Единственность продолжения может быть также доказана без использования отображения. Наиболее общая теорема такого рода была доказана Колмогоро­ вым в его книге «Основные понятия теории вероят­ ностей» в 1933 г.

Если мера на Q введена, то можно стандартным путем построить теорию интегрирования, параллель­ ную обычной теории Лебега.

Ясно, что Х и(ш) дают нам модель независимых броса­ ний симметричной монеты.4

4. В чем ценность абстракции? Абстрагировать — это, по-видимому, значит переходить к сути дела. Это значит освобождаться от случайных черт и сосре­ дотачивать внимание на особо важных свойствах. Абстрактно теория игры «герб или решетка» (симмет­ ричная монета, независимые бросания) сводится просто

к изучению функций X h((o) со свойством (3.1), опре­ деленных на некотором пространстве Q (с единичной мерой), где задана мера ц, удовлетворяющая требова­ ниям 1, 2 и 3 предыдущего пункта. Не важно, чем является Q — разрешено лишь пользоваться (3.1)

тическим вакуумом, т. е. объекты, о которых мы гово­

мерой Лебега на нем), можно рассматривать как несу­ щественное. Отметим, что, за исключением занима­ тельного доказательства формулы Виета, где мы ис­ пользовали весьма специальное свойство функций Раде­ махера, именно что

СО

мы никогда не обращались к чему-либо, кроме как к свойству (3.1) и общим свойствам меры. Однако цена, которой придется расплатиться за неограничен­ ную абстракцию, в действительности значительно боль­ ше. Неограниченному абстрагированию свойственна тенденция отвлекать внимание от целых областей при­ менения, самое открытие которых зависит от тех черт, какие абстрактная точка зрения исключает как слу­ чайные. Иллюстрации этого разбросаны по всей книге. Начнем с нескольких примеров из области, уже хорошо нам знакомой.

5. Пример 1. Сходимость ряда со случайными знаками. Какова вероятность того, что ряд

СО

2 ± ск (ск действительны) h—1

со знаками, выбранными независимо и с вероятностью у

каждый, сходится? Эта задача была впервые постав­ лена в такой форме Г. Штейнгаузом в 1922 г. (и неза­ висимо от него Н. Винером), которому мы обязаны также постановкой проблем, изложенных в п. 3. Штейнгауз отметил, что задача эквивалентна нахо­ ждению меры множества точек t, в которых сходится

ряд

00

1

Этот вопрос был тогда уже разрешен Радемахером, который доказал, что если

то ряд (5.1) сходится почти всюду. Мы могли, конечно, рассматривать вопрос сходимости ряда

где Х к (со) обладают свойством (3.1). Действительно, доказательство Колмогорова, который максимально

46 ГЛАВА 2

обобщил теорему Радемахера, использовало лишь (3.1). Существует, однако, замечательное доказательство, принадлежащее Палею и Зигмунду, которое суще­ ственно опирается на свойства функций Радемахера. Это доказательство мы воспроизведем здесь по причи­ нам, которые станут понятными несколько позже. Оно основано на двух не совсем элементарных и очень важных теоремах.