Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Кац М. Статистическая независимость в теории вероятностей, анализе и теории чисел

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

29.10.2023

Размер:

3.17 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 146 7 8 9 10 11 12 13 14 > Следующая >>>

БОРЕЛЬ И ПОСЛЕ НЕГО

атак как сп—» 0 при п ~ >со (вспомните, что 2 си < 00)> то

т	2я
И т 2 С/,		= 0,
	2>n-h
оо

этого достаточно для завершения доказательства. Только что доказанная теорема о сходимости ряда

2 ск sin 2п 2kt

является фактически частным случаем известной тео ремы Колмогорова о том, что сходимость

СО

2 <*< со

влечет за собой сходимость почти всюду ряда

ОО

2 chsin 2я nht fe=t

при условии существования числа q, для которого

Лп ± > д > \ .

пк

Колмогоров при доказательстве использовал сущест венным образом то, что рассматриваемый ряд является тригонометрическим. Однако, обобщив аргументацию Палея — Зигмунда, можно доказать следующую зна чительно более общую теорему.

52		ГЛАВА 2
	Если функция	g (t) — периодическая с периодом I
и если
(a)		J g (*)<« = О,
		о
(б)	\ g { t ' ) - g { t " ) \ < M \ t ' - t " \ \		0 < а < 1,
то	сходимость	влечет за собой	сходимость почти
всюду ряда

ОО

2 СкёШ),

где целые числа пк таковы, что

Доказательство этого утверждения из-за нескольких технических трудностей не будет здесь воспроизведено, хотя по существу никакой новой идеи, сверх принад лежащей Палею и Зигмунду, не требуется.

Какой вывод можно сделать из разобранного при мера? На вид случайный факт, заключающийся в том, что

rh (t) = sgn sin 2я2,‘~1£,

наводит	на мысль,	что здесь могут		быть проведены
аналогии между		rk (t)	и sin2n2ft~1£.	Так как rh(t)
имеют	определенную		вероятностную	интерпретацию,

то этим открывается путь к установлению связи между игрой «герб или решетка» и математической областью,

КОРЕЛЬ И ПОСЛЕ НЕГО

где нет понятий случая и вероятности, монет и чего бы то ни было подобного. Могло ли это быть достиг нуто, если бы мы настояли на абстрактной трактовке игры «герб или решетка»? Может быть, но я сомне ваюсь.

6. Пример 2. Расходимость ряда со случайными знаками. Что происходит с рядом

		СО	± Cfc,
		2	± Cfc,
если		/l=l
если		00
		00
		2 сё = со?		(6.2)
		1
На	это можно	ответить,	что ряд	(6.1) расходится
с	вероятностью	1. Доказательство		крайне просто.

Заметим, во-первых, что наша задача состоит соб ственно в определении меры множества сходимости ряда

I ]ckrh(t)	(6.3)
при условии (6.2). Во-вторых,	множество сходимости

ряда (6.3) должно иметь меру или 0, или 1 (частный

случай так называемого		закона		нуля или единицы).
Вспомним,	что
	rk (0 =	ri	1)х),
х) Здесь	подразумевается,		что	rfl (г) определены таким

образом, чтобы они были периодичпы с периодом 1. Другими словами, rh (t-\-\) = rh (t).

54 ГЛАВА 2

и, следовательно, вместе с t множеству сходимости

принадлежит	и
при I — 0, 1,	2, . . . .		t заменить на t-\- 2~‘, то
Действительно,		если
в (6.3) изменится лишь			конечное число членов, а это
не может повлиять		на	сходимость. Таким образом,
характеристическая		функция множества сходимости

имеет произвольно малые периоды, и по известной теореме она должна быть постоянна почти всюду, причем эта константа равна или 0, или 1 г).

i) Для ограниченной измеримой (следовательно, инте грируемой по Лебегу!) функции cp(f) доказательство следую щее: имеем

1	2*-1	(h+l)/2l		(M-1V21	tp(i)d/.
/=^ф(«)с^ = ^		^	(f(t)dt — 2l ^		tp(i)d/.
О	fc=0	fe/2i		fe/2<
Пусть <o таково,	что при kill1< г0			l)/2(
		( h , - H ) / 2 1
	lim 2l		cp(i)d<= cp(i0).
	(—►CO	h,/21
		h,/21

По фундаментальной теореме анализа (см. п. 5) почти каждое ta имеет такое свойство. Таким образом, <р (<0)= / для почти каждого f0. Если ф (t ) не предполагается ограниченной, то те

же аргументы применимы к ei4>^K Это доказательство пред

ложено Гартманом и Кершнером; теорема была доказана сна чала более сложным способом Бурстиным. Характеристичес кая функция множества сходимости ряда из измеримых функ ций измерима, так как измеримо само это множество.

БОРЕЛЬ И ПОСЛЕ НЕГО

Мы можем предположить, что с?1—» 0, в противном случае утверждение нашей теоремы будет тривиальным.

Допустим теперь, что (6.2) выполняется, сп —>0 и ряд (6.3) сходится на множестве положительной меры. По вышеприведенному замечанию он должен сходиться почти всюду. Следовательно, существует измеримая функция g(t), такая, что почти всюду

lim	2 ciirh(t) — 8 (*)■	(56-4)
7 1 -+ C O	1

.Теперь в силу (6.4) для каждого действительного £ Ф 0

почти всюду

lim exp [il 2 ckrh(*)] = e{W .

ГНОО 1

По теореме Лебега об ограниченной сходимости полу чаем

lim	^ exp	2	СЛ (* )]	dt	= § el^ d t .	(6.5)
'1_>со о		1			о
Однако известно,		что			со
	I	n			со
	5 ехр [ * 2		(о ]	^	= ц cosgcft.	(6.6)
П-*°°	о	1			fc=l

Читателю предстоит самому вывести из (6.2) и усло вия сп —>0, что

lim Ц cos£ch = 0.

n-юо Ь=1

56				ГЛАВА	2
Тогда для	каждого		действительного J-Ф О
			1
			Je*«e«)df = 0.				(6.7)
			о
Выберем теперь последовательность						> О,	но так,
чтобы каждое \ п ф 0				(например, \| (1 = н-1),		тогда для
почти каждого t
			lim l ng(t) = О
и, следовательно,			П -Ю О
и, следовательно,			Н т		= 1
			Н т		= 1
для почти каждого			n-vco
для почти каждого			t.	Лебега о предельном переходе
Снова	по	теореме		Лебега о предельном переходе
под знаком интеграла
		lim		^ e^ngO) dt = 1,
		П->ОО J
что ввиду (6.7) приводит к противоречию:							0 = 1.
Поэтому ряд		(6.3)	не	может	сходиться на	множестве

положительной меры. Следовательно, ряд должен рас ходиться почти всюду.

Этот метод доказательства существенным образом использует независимость rk (t) [см. (6.6)] и, по-види мому, непосредственно неприменим к изучению ряда

^ chsin2nnht,	>4*1	> я > 1.
)(=i	щ
)(=i

15 ОНИЛЬ	И ПОСЛЕ НЕГО	57
		57
при условии
2	с\ = 00 .
I

Однако данный метод все же можно приспособить для этой цели, но мы отложим обсуждение этого вопроса до более позднего момента.

ЗАДАЧИ

	ОО	с£= оо, Cfi — 0;		рассмотрим ряд
I. Пусть 2		с£= оо, Cfi — 0;		рассмотрим ряд
	1
		2	с/г sin 2n2h lt.
		л=и
(а)	Доказать, что
					4
		lim [			di
		П-+СОJ
		О
существует, и найти его значение.					последовательность функций,
(б)	Пусть Fn (t),		0 < * < 1 ,		последовательность функций,
такая,	что	1			1
		1			1
	lim	f F$,(t)dt = a,		lim	[ F*l (t)dt = р
	Л“»00	О		n->oo	J
		о			о

ГЛАВА 2

Доказать тогда, что мера множества Е, на котором Fn (i) стремится к 0, не может превосходить

ср

(в) Используя (а) и (б), доказать, что при условиях да ной задачи ряд

2 Cft sin 2n2h~lt k=i

расходится почти всюду.

2. Следующий пример показывает, что в теореме задачи 1 синус не может быть заменен «произвольной» периодической

функцией /(г) периода 1 ^подчиненной, конечно, условию

[ f(t)dt= о) .

Пусть

/ (0 = sin 2яt — sin 4яг;

показать, что

СО

2 у г /(2,'“)

сходится всюду.

ЛИТЕРАТУРА

B o r e l Е., Les probability denombrables et leurs applications arithmetiques, Rend. Circ, Math. Palermo, 27 (1909), 247 —

271.

		БОРЕЛЬ		И ПОСЛЕ НЕГО				59
G h a m p e r n o w n e			D. G., The construction of decimals normal
in the	scale	of	ten, J. London		Math. Soc.,		8 (1933), 254 —
260.
St e i n h a u s	H.,	Les probabilities denombrables					et leur rapport
a la theorie		de	la mesure, Fund. Math., 4 (1922), 286 —310.
H a d e m a c h e r		H.,	Einige Satze iiber Reihen von allgemeinen
Orthogonalfunktionen,				Math.	Ann.,	87 (1922),		112 — 138.
К a с M., Convergence of certain gap series, Ann. Math.,								44 (1943).
411— 415 (здесь дается ссылка на первоначальные работы
Палея и Зигмунда).
H a r t m a n Ph. and			К i г s h n е г R., The structure of monotone
functions, Amer. J. Math., 59 (1937),						809 — 822.

Глава 3

НОРМАЛЬНЫЙ ЗАКОН

1.	Муавр.	В п, 1 гл. 2 мы обсуждали «слабый
закон	больших	чисел».	Муавром был доказан более
точный результат, а именно что
lim ц {(Oj V n		< r\ (t) +	. . . -f rn (t) < (o2 Y n) =
			( 1. 1)

Читатель не встретит затруднений при интерпретации этого результата в вероятностных терминах. Элемен тарное доказательство может быть основано на фор муле (5.6) гл. 1. При этом (1.1) становится экви валентным чисто комбинаторной формуле

lim

~ + е>1V n < l < ^ + о>2Yn

Прямое использование формулы Стирлинга даст (1.2), но в то же время это доказательство затемнит харак тер теоремы. Попытки обобщить (1.1) дали сильный толчок развитию аналитических методов теории вероят

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 146 7 8 9 10 11 12 13 14 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ