Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Кац М. Статистическая независимость в теории вероятностей, анализе и теории чисел

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

29.10.2023

Размер:

3.17 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 148 9 10 11 12 13 14 > Следующая >>>

НОРМАЛЬНЫЙ ЗАКОН

Замечание: тем же самым способом, но используя более хитрые комбинаторные соображения, можно доказать, что если

	2		\ск \<М,
и	/1=1
и
то		пк	> 7 > 1.
то
		ок cos 2nnkt			0>2
Нш р,	У 2	у п	со2	-4= Гe-vm dy.
П - + С О				у2л	.)
					0>1
				СО
В частности,	отсюда следует,		что равенство ^		cft — со влечет
			со	I
за собой расходимость		почти	всюду ^ ск cos 2nnkt (аргументы,
			1	косинус заменяется
конечно, применимы и в том случае, когда				косинус заменяется
на синус).
Как читатель может видеть, это близко связано с методом,
использованным в примере 2			п. 5 гл. 2.

3.Пусть a ((a) —функция распределения, и пусть

СО

Доказать, что

Jim	\ \|с (!)\|г<2£равенсуммеквадратовскачковфункцииа(ш).
Т-оо	.)
	О

72	ГЛАВА .4
(Эта простая,	но замечательная теорема	принадлежит
Н. Винеру.)		что
Доказательство может основываться на том,		что

с{1)= ^

где / (1)—функция, обратная а (со) в том смысле, как это опи сано выше. Таким образом,

		т				еч </<»>—/(О)		*
	4- J lc(i)S2^ =					еч </<»>—/(О)		*
и		о
и
	liin		ei6(/(!)-/(«)) dg =				0, /(0¥=/(*).
	Т~*оо "г		5				1, f(t) = f(s).
			о
Отсюда	но	теореме об ограниченной					сходимости	следует, что
					т
			Иш	*	^	I е(S) I* dg
			Т-оо -		J
					О
существует		и равен мере множества					точек (<, s)	(0 < ;/,	s <11^
плоскости,		для	которых	/( 0	=	/ ( s)-	Это эквивалентно		нашей
теореме.			что
4.	Доказать,		что
			ОО			СО
		/ (0= J!				2	eh < °°
			/t=i			1

не может быть константой на множество положительной меры, за исключением случая, когда все величины с, кроме конеч ного числа их, равны 0.

НОРМАЛЬНЫЙ ЗАКОН	73
5. Закон природы или математическая	теорема?

В заключение главы мы рассмотрим пример, который поучителен с точки зрения пак используемых понятий, так и технических приемов.

Сначала нам понадобятся три определения.

1. Относительная мера. Пусть А — множество дей

ствительных чисел. Рассмотрим		часть А,	которая
лежит в интервале	( - Т , Т), т. е.	Л(~\|( — Т,	Т). Отно
сительная мера множества ря{-4}		определяется как
предел
рй {Л} =	Н т ^ _ р { Л П ( - 7 \ Т)},		(5.1)
	Т-их ^

если он существует. Относительная мера не является

вполне аддитивной; так, если A { = (i, £ + 1), £ = 0, zt 1, zb 2, ... , то

Ря{. U ^i} = 1,

г=—СО

и то время как

оо

2 рн {'Ы = о.

г=—оо

2. Среднее значение функции. Среднее значение

М {/(£)} функции /(£), — о о < £ < о о ,		определяется
как предел	т
	т
М {/(£)} = Пш — ■ \f(t)dt,		(5.2)
Т-+-оо	J

если он существует.

ГЛАВА :i

3. Линейная независимость действительных чисел.

Действительные числа Ах, Х2, . .. называются линейно независимыми (или независимыми над полем рацио нальных чисел), если единственным решением(kv к2, ...) (в целых числах) уравнения

к1Х1+	к2к2+	. .. = 0	(5.3)
является
/с1 = /с2 = /с3= . .. = 0 .
Наиболее известный	пример	линейно	независимых
чисел представляет собой последовательность
log Pi,	logp2,	logp3, . . .	(5.4)

логарифмов простых чисел (рх = 2, р2= 3, ...). Как читатель, несомненно, отметит, линейная независи мость величин (5.4) эквивалентна теореме о единст венности разложения чисел на простые сомножители. Это простое, но замечательное наблюдение было сде лано в 1910 г. Г. Бором, для которого оно стало отправной точкой нового подхода к проблемам, свя занным со знаменитой ^-функцией Римана.

Пусть теперь X.,, Х2, ... линейно независимы. Рас смотрим функцию

A-COS Ххt-\- . . . 4-COS Xnt	(5.5)
)/2

V n

Обозначим через ^ n(coj, co2) множество, на котором

(ax < ]/2 cos У*+ : • • f cos W < ^	(5.6)
V n

Мы можем теперь доказать, что ря {_4„ (top to2)} опре

НОРМАЛЬНЫЙ ЗАКОН

делена		и,	более	того, что				0)2
								0)2
		lim Цн {Ап (coj, « 3)} = 7 7 =						$	e-W*dy.		(5.7)
		n-wo				У ^	Ш1
Использовав систему					обозначений			п.	3	этой	главы,
будем иметь
4 г					у
-Уг					у
	< 4 r		-г
			-г
	.	1	Г ^	Л ^	СО5^ +	" - +		С08^ Л		М	(5.8)
	< 1 Г		H	' v		V»			J
м			- Т
м
±_	Г	„± f Y z cosX't + ' " ^ cosknt^ldt =
2 Т	J	\	^		Y П		J
-Т
		— 2Г $ ^ [ т г Г				) « p ( i 6 V 2 x
			—СО		”	^	\| г/р 1у				(5.У)
			cos)-iH----+cosXnt_\ ^				\| г/р 1у				(5.У)
				т/- п	/		J
1)	Напомним,			что мы воспользовались сокращением
					СО
				с±(5)= ? ?<) е‘\|А^-
				с	О

—оо

7(>

где обе функции (|) и 6'ё (g) абсолютно интегри руемы в интервале ( — со, со). (Таким образом, изме нение порядка интегрирования легко обосновывается.)

Докажем теперь, что

lim

ехр Г ft

COS A.-Ji

|—. . . —COS %nt

dt =

Т-*С!о ^ 5

V n

(5.10) I

V 2

Y n J

---

где J 0 —известная

функция

Бесселя.

п —2,

так

как

Мы проведем доказательство для

доказательство для

произвольного п

точно такое

же.

Мы имеем (обозначая

ц = £ ] / 2/]/Зг)

-,i4(COSX1/+COS>.2/) (if =

2Т

)

-т

со

" ^ 7 T ” '2ir

S c°s'!V cos‘M * .

(5.11)

h, f=0

-T

Задача

состоит в том, чтобы найти

lim

^ cos'1%xt cos'

М {cos'1

cos1K2t}.

Т-»oo^' J,

Н О Р М А Л Ь Н Ы Й ЗАКОН

Вычисляем

	h	I
=	^ Г - ^ г 2	S	( гк ) (	1 )	в‘К2г-к)М4(2.-ОМИ
и	2к 2‘ Г= 0 8=О
и
Вследствие	линейной независимости				и Х2 выражение
	( 2 г - к ) К + {2s - l )				Х2
может быть равно нулю			только	тогда, когда 2г — к
и 2s = 1, отсюда почти		немедленно следует, что

если одновременно к п I четны, и равны 0 во всех других случаях. Мы можем записать (5.12) в форме

М {cos'* Xxt cos' X2t } = M {cos* k j } M {cos' k2t }. (5.13)

Теперь, сопоставляя это с (5.11), мы получаем

М (eiti(coeM+cosM)} = м {е>Т)С08Я.1/| Д / | е 4 т]С0 8 Я.2 '} . (5.14)

78		ГЛАВА	3
Ясно,	ЧТО	2Л
	м {eincos\(j _	2Л
	м {eincos\(j _	_L_	в1Лсов0^в 7о (Т1)	(5.15)
п, следовательно, [по		(5.14)]
	М (eiri(cosM+coe^()} = ,/2(г]).

Таким образом, формула (5.10) доказана. Полагая

теперь в (5.8) Т —> со,				мы с помощью (5.9)			и (5.10)
получаем
СО
TST $ в ; < Е № ( У 2 - £ - ) « ! <
—оо
< l i m i n f - ^ r		$ g ( У 2 cos			+ - _ + cos ^	) dt <
• 1*	1	0т		-■ ATTCOS	. . . -4—COS %т%1 \		,,
<. lim	sup ^=r	\	g (	к 2 ----- ‘	------—		) dt <
T~*co	L1	_ ф	V		У П	J
			со
	« - я -		$ с ; ( 1 ) А г ( Г 2 ^ ) « .				(5.16)
Хорошо	известно,		что	при г] ->	± со

' 1 л

НОРМАЛЬНЫЙ ЗАКОН	711
и, следонательно, при п > 3 функция

		'г O '2		)
абсолютно интегрируема по \|.				Из	этого вытекает, что
(при ге> 3)
СО
—оо
			оо
		,И м А _	5		<*5
и_поэтому	предел
т		cos Я]<-\|- ... -f cos			^ d t =
	g	cos Я]<-\|- ... -f cos			^ d t =
i'Z УГ i	g	/ й
					= Н -лИ п(® 1, ®г)}
существует!1). Теперь (5.16)				может быть записано
в форме
ОО
4- J Ge- ( g ) / ? ( / 7 - ^ ) d E			< liB{4n (<B1, ©,)}<

—оо

оо

< -ш S

х) Для п = 1 и /г = 2 это также верно, однако доказатель ство изменяется.

8(1

ГЛАВА Я

и легко проверяется, что

lim /» ( y 2 - ^ r - ' ) = e - W .

Доказательство (5.7) может быть теперь закопчено, как в п. 3. Если мы взглянем на

как на результат суперпозиции колебаний с несоиз меримыми частотами, то теорема, содержащаяся в (5.7), дает точную информацию об относительном времени, которое qn (t) проводит между и <в2. То, что мы пришли здесь к нормальному закону

связанному обычно со случайными явлениями, может служить указанием на то, что детерминистская и вероятностная точки зрения пе такие уж неприми римые, какими они кажутся с первого взгляда. Далее мы не будем останавливаться на этом вопросе, ибо это увело бы нас слишком далеко в сторону. Однако может быть уместной ссылка на Пуанкаре, который сказал (отчасти, несомненно,-в шутку), что в нормаль ном законе должно быть что-то таинственное, так как математики считают его законом природы, тогда как физики убеждены в том, что он является математи ческой теоремой.

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 148 9 10 11 12 13 14 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ